机械振动噪声与控制课件.ppt

1、pagepage 1授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 本节考虑的杆假设是细杆，且沿其长度方向是均质的。由于轴向力的作用，横截面沿着杆的轴向产生位移u ，这个位移是位置x和时间t的函数。设u(x,t)是杆的微元dx的左横截面的轴向位移。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rods杆微元dx的隔离体图pagepage

2、2授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering根据牛顿第二定律 ，有PdxxPPtuAdx)(22xuEAP由虎克定律得应力应变关系为其中P是x处的轴向力，A是横截面积，E是杨氏弹性模量。式中是杆单位体积的质量。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 3授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程

3、学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering由前页两式得到即设 ，则有dxxuAExtuAdx)(222222xuEtuEa 222222xuatu其中a是杆中纵波沿轴向传播的速度Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 4授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy En

4、gineeringPower and Energy Engineering利用分离变量法，设 代入上述一维波的方程，得到 即 tGxUtxu,22222dxUdGadtGdU2222211dxUdUadtGdG 上述方程左边的值依赖于时间变量，而右边的值依赖于空间变量，因此，只有当方程的左边和方程的右边等于同一个常数，才能成立。为了使解在时域内是有限的，并且可得到满足边界条件的非零解，设常数为-2，则有Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 5授课人柳贡民2022年3

5、月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering0222GdtGd02222UadxUd tBtAtGcossin xaDxaCxUsincos这两个方程的一般解为其中A、B、C、D4个常数由边界条件和初始条件确定。系统的解为)sin()cossin()cossin)(cossin(,txaCxaDtBtAxaCxaDtxuChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration

6、of Rodspagepage 6授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringType Boundary ConditionFixed EndFree EndSpring LoadInertial Load0 xuxuEAkuxuEAtum220uChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 7授课人柳贡民20

7、22年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种典型边界条件是：0, 0tu0,tlu0 xu0 xu杆端条件 左端边界条件 右端边界条件xuEAkuxuEAkuxuEAtum22xuEAtum22固定端 自由端 应力为零xuAEF弹性载荷惯性载荷Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagep

8、age 8授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering例4-1 针对两端自由的杆，其边界条件为在任何时刻杆的两端应变为零，即将上述边界条件代入解中，得到)sin()cossin(,txaCxaDtxu这里用到解的表达式Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 9授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能

9、源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering因此;0D 此时C不能为零，否则就得到u（x，t）0的非振动解，因此必有 上式为杆纵向振动的频率方程，它有无限多个固有频率。由上式可得 杆的固有角频率为（实际上还有对应于刚体运动的零频率）：Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 10授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College o

10、fCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering由于X(x）幅值的任意性，对应于i的振型可取 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固有频率和相应的主振型，即cosii xXl1231,( )cos222,( )cos333,( )cosExiXxllExiXxllExiXxll123当时，当时，当时，Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 11授课人柳贡民2022年3

11、月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering这三阶主振型如下图所示。1-1-1-1-111Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.2 Longitudinal Vibration of Rodspagepage 12授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engi

12、neeringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rods 本节讨论等截面直圆轴的扭转振动。除了理想弹性体假设之外，我们还假设轴的横截面在扭转振动过程依然保持为平面。 如图所示长度为dx的等截面直圆微轴段，(x，t)为扭转角，T(x，t)为扭矩。另外设J为单位长度轴段绕纵轴的转动惯量，Ip为轴截面极惯性矩，为单位体积质量，G为材料的剪切弹性模量。pagepage 13授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy

13、 EngineeringPower and Energy Engineering由材料力学可知，扭矩与扭转应变之间的关系为由以上两式可得xGITp根据动力学方程，有TdxxTTtdxIp)(222222xGItIppChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rodspagepage 14授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 令Gc

14、 上式化为22222xct 式中c为扭转波的传播速度。该方程与杆作纵向振动的方程形式上完全相同，因此解的形式也一样。)sin(cossin),(tcxBcxAtxChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rodspagepage 15授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 例 如图表示的系统中，长度为L的等截面圆轴两端带有两个圆盘，

15、它们的转动惯量分别为J1和J2,轴的扭转刚度为GIP,轴两端都是自由边界条件。计算轴系扭转振动的固有频率和主振型。xoChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rodspagepage 16授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering解：按照前面的介绍，轴运动的微分方程为（b为波速）22222xbt)sin(cossin),(tbxBbx

16、Atx其解为 本题边界条件为轴的端部带有集中质量，类似于杆的纵向振动的边界条件，针对其两端可列方程有21200( , )( , )pxxx tx tJGItx222( , )( , )px lx lx tx tJGItx Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rodspagepage 17授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering将

17、所得边界条件代入运动方程中，有从式中消去A、B，得112212000(ppJJJJlRRJbJlIJlI令，是轴绕自身中心线的转动惯量），于是有Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rodspagepage 18授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering或 此式为轴扭转振动的频率方程。这个超越方程有无穷组解，即为系统的固有频率。把各

18、阶频率代入振型方程，就可得到系统的各阶主振型。 可见连续系统的各阶固有频率和主振型完全取决于系统的边界条件，亦即边界条件决定弹性体自由振动的解。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Torsional Vibration of Rods(cossin)(1,2,)ixixiiiiBRibb pagepage 19授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringHome Works1.

19、1. 求两端固定的等截面均匀杆纵向振动的固有角频求两端固定的等截面均匀杆纵向振动的固有角频率和主振型函数，并画出前四阶振动的主振型率和主振型函数，并画出前四阶振动的主振型2.2. 确定悬臂确定悬臂均匀圆杆的自由扭振特性均匀圆杆的自由扭振特性. .pagepage 20授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringThank you and have a nice day!pagepage 21授课人柳贡民2022年3月24日星期四动

20、力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beams 本节考虑等截面细长梁的横向振动，假设梁的长度与截面高度的比相当大，截面在弯曲时保持平面。同时假设梁具有对称平面。A、梁的横向振动微分方程pagepage 22授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energ

21、y EngineeringPower and Energy Engineering 若梁的横向位移yy(x，t)仅由弯曲引起，这种梁模型称为“欧拉一伯努利梁”。设：Q(x，t)为剪力，M(x，t)为弯矩，I(x，t）为梁截面绕中性轴的惯性矩，A（x）为梁的截面积，为材料的质量密度，E为材料的杨氏模量。对上图中梁的微单元体，按牛顿第二定律有整理后得到Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 23授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofColle

22、ge of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering由梁微元体对右端面任意点的力矩平衡，有021),(),(),(dxdxtxqdxxtxMdxtxQ即xtxMtxQ),(),(由此式可得22),(),(xtxMxtxQ22),(xtxyEIM由材料力学,有式中EI为梁的抗弯刚度。由以上三式，得),(),(),(2244txqttxyAxtxyEIChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 24授课人柳贡民2

23、022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering定义AEIa2当梁作自由振动时，有上述欧拉伯努利方程化为42242( , )( , )1( , )y x ty x taq x txtEI42242( , )( , )0y x ty x taxtChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 25授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与

24、能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringB、运动微分方程的解 利用前面用过的分离变量法，设上述四阶偏微分方程解的形式为)()(),(txYtxy)(xY)(t其中 为振型函数， 为同步谐振动函数。 将上式代入梁作自由运动的微分方程中，0)()(1)()(22244dttdxYadxxYdt044222xyaty得到Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage

25、 26授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering或22442)()(1)()(1dttdtdxxYdxYa2令方程两边都等于 ， 为常数，得到 0)()(2244xYadxxYd0)()(222tdttd令 ，上面(a)化为2242AEIa 0)()(444xYdxxYd(a)(b)(c)Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beams

26、pagepage 27授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering由线性微分方程理论可以证明上述方程(b)、(c)的解为 式中C、D、E、F为待定常数，由边界条件和初始条件确定。常用的边界条件有( )sincossincosY xCxDxEh xFh xbbbb=+tBtAtcossin)(22( , )y x tMEIx( , )( , )M x tQ x txChapter 4 Vibration of Continuous

27、Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 28授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering对两端固定的梁，边界条件为将边界条件代入下式( )sincossincosY xCxDxEh xFh xbbbb=+得sinh()/2cos()/2xxxxxeeh xeebbbbbb-=-=+Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bendi

28、ng Vibration of Beamspagepage 29授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering由以上几式可得及sincossincos0ClDlCh lDh l得;ECFD cossincossin0ClDlCh lDh l(sinsin)(coscos)0Clh lDlh l(coscos)(sinsin)0Clh lDlh lcoscossinsinsinsincoscosClh llh lDlh llh l C

29、hapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 30授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering展开得而所以2222cos2coscoscossinsinllh lhlhll222222222sinh()242cos()24xxxxxxxxeeeexeeeehx22cossinh1hxx从而coscos1lh lChapt

30、er 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 31授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 这就是两端固定梁的频率方程，式中的只能用数值计算求出。于是频率和振型函数可写为式中：Ai为i的函数，即24()AEIChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibrat

31、ion of Beamspagepage 32授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering这是因为式中可根据前页公式求得( )sincossincosiiiiiiiiiY xCxDxEhxFhx(coscos)(sinsin)iiiiiiDxhxCxhx(coscos)(sinsin)iiiiiiiDCxhxxhxC()iiDACcoscossinsinsinsincoscosiiiiiiiiiiClh llh lDlh llh

32、l Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 33授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering系统前三阶振型曲线为Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 34授课人柳贡民2022年3月24日星期四

33、动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering不同边界条件下欧拉伯努利梁的频率方程、振型函数和前4阶il的值Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 35授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Enginee

34、ringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 36授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringC、振型的正交性 与离散系统一样，连续系统包括梁振动在内也存在主振型的正交性。 设Ym（x）和Yn（x）为对应于m和n阶的固有角频率 、 的振型函数，因此满足梁横振方程，有mn)(a)(b424( )( )mmmd Y

35、xAYxdxEIrw=424( )( )nnnd Y xAY xdxEIrw=Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 37授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 将上述(a)式乘以Yn（x）、(b)式乘以Ym（x）后相减。再从0到l 对x 进行积分，得Chapter 4 Vibration of Conti

36、nuous Systems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 38授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 对自由、简支、固定三种支承条件作任意组合的边界条件，上式的右边恒等于零。因此，当mn时， ，由此得正交关系为mn当m=n=i时，若Yi(x)为正则化的振型函数，则有以上几式表示了欧拉一伯努利梁振型函数的正交性。Chapter 4 Vibration of Continuous S

37、ystems4.3 Bending Vibration of Beamspagepage 39授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringHome Works1.1.求悬臂梁弯曲振动时的特征（频率）方程和振型函求悬臂梁弯曲振动时的特征（频率）方程和振型函数。数。pagepage 40授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy Engineeri

38、ngPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft SystemsA、概述 舰船轴系在工作过程中，承受着不断变化的扭矩、推力和弯曲力矩，因而轴系可能产生扭转振动、横向振动和纵向振动三种振动形式。a.扭转振动是指轴系产生的周期性的扭转变形现象；b.横向振动是由于轴系旋转件不平衡，及螺旋桨在不均匀的尾流场中工作产生的循环变化的弯曲力矩引起的周期性弯曲变形的现象；c.纵向振动是螺旋桨在不均匀的尾流场中工作，产生不均匀的推力及主机装置产生的不均匀的轴向力，使轴系产生的

39、周期性的拉压变形现象。pagepage 41授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft SystemsB、 船舶轴系的扭转振动 船舶发动机轴系（特别是柴油机轴系）的扭转振动是影响该动力装置安全运行的重要动力性能之一。因此世界各国的船舶检验机构均规定新造船舶必须进行轴系的扭转振动计算和测量。 自十九世纪末开

40、始，各种船舶断轴事故的报告层出不穷，对于轴系扭转振动的研究也逐渐深入，到二十世纪五十年代已经取得相当成熟的研究成果。pagepage 42授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft SystemsDiesel EnginesMain Gear PortMain Gear StbdGas TurbineCr

41、oss-Connect GearFlexible Coupling ShaftFluid CouplingDiesel ModeCODAG ModeSSS Overrunning clutchPre-stage multi-disc clutchesIntermediate shaft clutchesIdling Gearpagepage 43授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration o

42、f Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systems（A）、轴系扭转振动的危害 船舶发动机轴系扭转振动的危害主要表现形式为轴系的疲劳断裂，特别是柴油机曲轴的疲劳断裂:曲轴、中间轴断裂，弹性联轴节连接螺栓切断，弹性元件碎裂，传动齿轮齿面点蚀和齿断裂，凸轮轴断裂，轴段局部发热等。pagepage 44授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibration of

43、 Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systems（B）、轴系扭转振动的研究内容 建立扭振系统当量模型； 系统固有特性计算分析； 激振力矩分析、相对振幅矢量和计算； 轴系强迫振动分析：共振计算，非共振计算法 解析法； 计算轴段扭振应力； 采取必要的减振、避振措施； 轴系扭转振动实测与分析。pagepage 45授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy EngineeringChapter 4 Vibra

44、tion of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systems（C）、船舶轴系扭转振动的激振力矩 激振力矩是引起轴系扭转振动的能量来源，主要有发动机的激振力矩和负载工作不稳定造成的激振力矩。 对于柴油机装置来讲，产生激振力矩的因素主要有：a、柴油机气缸内气体压力变化形成的扭矩的周期性波动；b、柴油机运动部件的重力和往复惯性力引起的作用扭矩的周期性波动；c、负载吸收功率不均匀而形成的周期性反扭矩的波动。 对于汽轮机组来讲，低频激振力的产生主要与结构因素有关，这里不作介绍。pagepage 46授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学

45、院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering(D)、扭转振动的计算模型及当量转化 由于对内燃机轴系扭转振动计算精度的期望不断提高，绝大多数情况下不能将整个内燃机装置看作一个质量。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systems 当然最理想的情况是将内燃机轴系看作连续（分布）质量系统，这样当干扰力矩的求取附合实际情况时，扭振的计算结果会很好。但这几乎是不可能的。 以有限元法计算轴系的扭转振动也

46、能取得较为精确的解，但仍嫌繁琐。并且如果一些简化措施采取不当的话，会使计算结果大打折扣。 这里主要介绍离散（集总参数）系统计算模型的建立过程。pagepage 47授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 通常的做法是将内燃机动力装置轴系简化为一些只有转动惯量而无弹性的集中质量和一些只有弹性而无转动惯量的弹性轴段的所谓集总参数系统。针对这样一个模型进行计算的结果一般均能满足工程要求，这样一个理想化的计算模型叫做当量系统。 由于

47、简化的程度不同，一个实际轴系往往可以简化为多个当量系统。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systemspagepage 48授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering 对于柴油机轴系，通常的做法是： a. 以每一曲柄中心线作为单缸转动惯量的集中点，单轴多列式发动机则每一排合并为一个质量； b. 对飞轮、传动轴系、推力盘、螺旋桨等转动惯

48、量较大的部件各作为一个质量，集中在各自的中心线位置； c. 由于齿轮传动时弯曲变形甚小，可以忽略，可把各齿轮的转动惯量按传动比关系合并成一个质量，并以该轮系平面在主动齿轮的中心线作为质量的集中点； d. 通过皮带传动的设备可不予考虑，因为皮带的柔度很大（近似于断开），对系统扭振特性的影响非常小； Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systemspagepage 49授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy Eng

49、ineeringPower and Energy Engineering e. 对弹性联轴节、气胎离合器等，应把主、从动部分各作为一个质量，集中在各自的中心线处，弹性元件的柔度作为同值的轴段进行处理； f. 对于相邻集中质量间连接轴的转动惯量，当轴较短时可以忽略，较长的轴应将其转动惯量均分到两相邻集中质量上，更长的情况下应将其平分到两端上的连接法兰上，形成单独的集中质量，这样做对双节及其以上的振动计算是必要的，但实践表明不必分得过多；Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Systemspagepage 5

50、0授课人柳贡民2022年3月24日星期四动力与能源工程学院College ofCollege of Power and Energy EngineeringPower and Energy Engineering g. 对螺旋桨等在水中转动的质量要考虑附连水的影响；h. 两集中质量之间的连接轴以其弹性值作为当量轴段；i. 当系统中有液力耦合器时，以其为分界面将系统一分为二，一般只需计算耦合器主动盘以前的振系；j. 对于干摩擦片式离合器可以近似地认为是刚性连接。Chapter 4 Vibration of Continuous Systems4.4 Vibration of shaft Syst