数学建模题目080420课件.ppt
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- 数学 建模 题目 080420 课件
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1、玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的,对客观事物的一部分是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.2 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速,表示船速,y 表示水速,列出方程:表示水速,列出方程:75050)(7503
2、0)(yxyx答:船速每小时答:船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米,船从甲到乙顺水航行需千米,船从甲到乙顺水航行需30小时,小时,从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少小时,问船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数);作出简化假设(船速、水速为常数); 用符号表示有关量(用符号表示有关量(x, y表示船速和水速);表示船速和水速); 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元
3、一次方程);时间)列出数学式子(二元一次方程); 求解得到数学解答(求解得到数学解答(x=20, y=5);); 回答原问题(船速每小时回答原问题(船速每小时20千米千米/小时)。小时)。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模(数学建模(Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象,为了一个,为了一个特定目的特定目的,根据其根据其内在规律内在规律,作出必要的,作出必要的简化假设简化假设,运用适当的运用适当的数学工具数学工具,得到的一个,得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程(包括表述、求解、解释、检
4、验等)(包括表述、求解、解释、检验等)数学模型数学模型数学数学建模建模1.3 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展;电子计算机的出现及飞速发展; 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地; 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具; 数学进入一些新领域,为数学建模开辟了
5、许多处女地。数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识,根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型统计分析,找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法,主要通过实例研究机理分析没有统一的
6、方法,主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模模型型假假设设针对问题
7、特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较,与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用性检验模
8、型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数
9、学学世世界界理论实践 近几年全国大学生数学建模竞赛题近几年全国大学生数学建模竞赛题A 出版社的资源配置出版社的资源配置 2006 B 艾滋病疗法的评价及疗效艾滋病疗法的评价及疗效的预测的预测 A 中国人口增长预测中国人口增长预测 2007 B 乘公交,看奥运乘公交,看奥运 A 数码相机定位数码相机定位 2008 B 高等教育学费标准探讨高等教育学费标准探讨 A 制动器试验台的控制方法制动器试验台的控制方法分析分析 2009 B 眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排 2010A储油罐的变位识别与罐容表储油罐的变位识别与罐容表标定标定B20102010年上海世博会影响力的年上海世博会影响力的定量评
10、估定量评估2011A城市表层土壤重金属城市表层土壤重金属污染分析污染分析B交巡警服务平台的设交巡警服务平台的设置与调度置与调度真是月亮惹的祸吗真是月亮惹的祸吗? ?三国人物:谁是天下第一?三国人物:谁是天下第一?图论与网络优化一、最小生成树问题二、最短路问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题CADB抽象为图的问题:图G(V,E)能经过每条边恰好一次回到原点 每个顶点与偶数条边相关联图G(V,E)Fleury算法网络优化及实例网络优化及实例从某点出发,经过图上每条边从某点出发,经过图上每条边恰好一次回到原点恰好一次回到原点Euler环游环游图图G(V,E)有有Euler环游环游 图图G(V,E)无
11、奇点无奇点例:中国邮递员问题例:中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem)一名邮递员负责投递某个街区的邮件一名邮递员负责投递某个街区的邮件. .如何设计一条最短的如何设计一条最短的投递路线投递路线( (从邮局出发,经过投递区内每条街道从邮局出发,经过投递区内每条街道至少一次至少一次,最后返回邮局最后返回邮局) )?由于这一问题是我国学者?由于这一问题是我国学者管梅谷管梅谷教授教授19601960年首先提出的,所以国际上称之为中国邮递员问题年首先提出的,所以国际上称之为中国邮递员问题. . 例:例:1973年,John和 Edmonds结合Fleury算法给出好算法
12、图与网路的基本概念图与网路的基本概念 6.1.1 图与网路图与网路顶点顶点 (Vertex)物理实体、事物、概念物理实体、事物、概念一般用一般用 vi 表示表示边边 (Edge)顶顶点间的连线,表示有关点间的连线,表示有关联联一般用一般用 eij 表示表示图图 (Graph)顶顶点和边的集合点和边的集合一般用一般用 G(V,E) 表示表示顶顶点集点集 V=v1,v2, vn边集边集E=eij 网路网路 (Network)边上具有表示连接强边上具有表示连接强度的权值,如度的权值,如 wij又称加权图又称加权图(Weighted graph)所有边都没有方向的图称为无向图所有边都没有方向的图称为无
13、向图在无向图中在无向图中 eij=eji,或,或 (vi, vj)=(vj, vi)当所有边都有方向时,称为有向图,用当所有边都有方向时,称为有向图,用G(V,A)表示表示在有向图中,有向边又称为弧,用在有向图中,有向边又称为弧,用 aij表示,表示,i, j 的顺序的顺序是不能颠倒的,图中弧的方向用箭头标识是不能颠倒的,图中弧的方向用箭头标识图中既有边又有弧,称为混合图图中既有边又有弧,称为混合图无向图与有向图无向图与有向图返回返回完备图完备图 二元图二元图 完备二元图完备二元图 顶点的次数顶点的次数4)(4vd5)(3)(2)(444vdvdvd定理定理)(2)()(GvdGVv推论推论任
14、何图中奇次顶点的总数必为偶数例例 在一次聚会中,认识奇数个人的人数一定是偶数。返回返回子图子图定定义义设图 G=(V,E,),G1=(V1,E1,1)(1) 若 V1V,E1E,且当 eE1时,1(e)= (e),则称 G1是 G 的子子图图特别的,若 V1=V,则 G1称为 G 的生生成成子子图图(2) 设 V1V,且 V1,以 V1为顶点集、两个端点都在 V1中的图 G 的边为边集的图 G 的子图,称为 G 的由由 V1导导出出的的子子图图,记为 GV1.(3)设 E1E,且 E1,以 E1为边集,E1的端点集为顶点集的图 G 的子图,称为 G 的由由 E1导导出出的的子子图图,记为 GE
15、1. GGv1,v4,v5Ge1,e2,e3返回返回关联矩阵关联矩阵对无向图,其关联矩阵)(ijm,其中:不关联与若相关联与若jijiijevevm01M=43215432110110011000101110001vvvveeeee对有向图,其关联矩阵)(ijm,其中:不关联与若的终点是若的起点是若jijijiijevevevm011注:假设图为简单图返回返回邻接矩阵邻接矩阵对无向图,其邻接矩阵)(ijaA,其中:不相邻与若相邻与若jijiijvvvva01注:假设图为简单图A=432143210111101011011010vvvvvvvv对有向图(,) ,其邻接矩阵)(ijaA,其中:Ev
16、vEvvajijiij),若(),若(01对有向赋权图,其邻接矩阵)(ijaA,其中:EvvjiwEvvwajiijjiijij),(0,),(若若为其权且若无向赋权图的邻接矩阵可类似定义A=4321432105375083802720vvvvvvvv返回返回例 甲、乙、丙、丁、戊五个球队比赛情况。v5v1v3v4v2v1v2v3v4v5v5v1v3v4v2某单位储存八种化学药品,其中某些药品不能存放在同一个仓库,考虑所需最少仓库数v5v1v2v3v4v6v7v8至少四个库房:1,2,5,8任意两个不能同存1,3,4,7258,6 边与顶点均不重复的通路称为路径边与顶点均不重复的通路称为路径
17、路:vi1vi2vin-2vin-1vinvi3vijvik, jk1 41 1 2 54 6223v vTv e v e v e v e v路径1 41 1 2 3 3v vPv ev e v定义定义()任意两点均有路径的图称为连通图连通图()起点与终点重合的路径称为圈圈()连通而无圈的图称为树树定定义义()设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v的路径, 则称)()()(PEeewPw为路径 P 的权权(2) 在赋权图 G 中,从顶点 u 到顶点 v的具有最小权的路 ),(*vuP,称为 u 到 v的最最短短路路返回返回无圈连通图v1v2v3v4v5v6v7v8v1v2v3v4v5v
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