数学分析6习题课课件.ppt

1、定理定理 f(x)在在I上可导，则上可导，则f(x)在在I严格严格递增（减）递增（减）的充要条件是的充要条件是:)0)( . 0)(, )1( xfxfIx . 0)(, )2( xfI的任何子区间上的任何子区间上在在推论推论 f(x)在在I上可导，若上可导，若则则f(x)在在I严格严格递增（减）。递增（减）。),0( 0)( xf1 1、函数单调性、极值、最值、函数单调性、极值、最值 一般一阶导数可解决一般一阶导数可解决二、应用导数研究函数的性质二、应用导数研究函数的性质极值的必要条件：极值的必要条件：是是极极值值点点，有有定定义义，且且点点的的某某邻邻域域在在若若00 )(xxxf.)(0

2、)(00不存在不存在或或xfxf 极值的充分条件：极值的充分条件：第第1充分条件充分条件第第2、3充分条件充分条件.)(0)(00均均适适合合不不存存在在的的点点及及xfxf 的点的点仅适合仅适合0)(0 xf单调性和极值的判定步骤单调性和极值的判定步骤1. 在在 f 的定义域上求的定义域上求 f 的零点及的零点及 f 不存在的点；不存在的点；2. 用用 f 的零点及的零点及 f 不存在的点将不存在的点将 f 的定义区间划分的定义区间划分为子区间；为子区间；3. 根据根据 f 在各子区间内的符号及在各子区间内的符号及 f 在各子区间端点在各子区间端点处的连续性确定处的连续性确定 f 的严格单调

3、性和极值。的严格单调性和极值。4. 二、三两步可借助于表格方式完成。二、三两步可借助于表格方式完成。求最值的步骤求最值的步骤: :1.求稳定点和不可导点求稳定点和不可导点;2.求区间端点及稳定点和不可导点的函数值求区间端点及稳定点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,哪个大哪个就是最大值哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个哪个小哪个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2、函数凹凸性和拐点、函数凹凸性和拐点一般二阶导数可解决一般二阶导数可解决xyo1x2x)(xfy 切线切线曲线曲

4、线弦弦xyo1x2x弦弦曲线曲线切线切线凸函数凸函数凹函数凹函数)(xfy ),()1()()1(2121xfxfxxf ),()1()()1(2121xfxfxxf 000 xxxfxfxf 000 xxxfxfxf 0)( xf0)( xf凹凸性和拐点的判定步骤凹凸性和拐点的判定步骤不不存存在在的的点点；的的零零点点以以及及求求 )( )( )1(xfxf 间间；的的定定义义区区间间分分割割为为子子区区用用上上述述点点将将 )( )2(xf与与拐拐点点。确确定定凹凹凸凸在在各各子子区区间间上上的的符符号号以以确确定定 )( )3(xf 。两两步步可可用用列列表表方方式式完完成成、 )3()

5、2(不存在。不存在。或或的拐点的拐点是是)(0)()()(,(0000 xfxfxfxfx ; )( (, ( )( 000的的拐拐点点）为为异异号号两两近近旁旁在在xfxfxxfx） 4 4、函数作图步骤、函数作图步骤3 3、分段函数在分段点求导法、分段函数在分段点求导法方法方法1：利用导数的定义。（适合于任意函数）利用导数的定义。（适合于任意函数）方法方法2： 利用导数极限定理。（只适用于连续函数）利用导数极限定理。（只适用于连续函数）例例1 1.)23(limsin10 xxxxe 求求解解 1原原式式三、例题)23ln(sin1lim0 xexxxe ）（xxexxxxe/)23ln(

6、limsin0 1)2/(1)3/(lim0 xeexxxe 连连 .1 e）（xxexxe/)2ln()3ln(lim0 例例1 1.)23(limsin10 xxxxe 求求另解另解 1原原式式xxexexxxxxxxexsin)2(1120)211(lim xxexexxxxxxxxexsin)2(1lim1200)211(lim xxexxxxxe)2(1limsin0 xexxe221lim0/00 洛洛.1 e0211 e连连例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求求解解阶泰勒展开）阶泰勒展开）对分母进行对分母进行次数多项式，次数多项式，的的分子是分子是（ 2 2 x515

7、)51(51xx 由由)()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 例例2 2.sin)(cos112lim22202xexxxxx 求求解解)()121(21! 21211122xoxxx 222440)(23()(81limxxoxxoxx 原式原式)()121(21! 2121114422xoxxx ).(1 222xoxex 同理同理).(211cos22xoxx ,sin22xx又又)1(23)1(81lim0oox 121 例例3 3解解的导函数。的导函数。求求 0 , 1)1ln(0

8、,tan)(2 xxxxexfx 0 ,110 ,sec2)(22 xxxxexfx),0(0)(fxxf 限限定定理理求求点点连连续续，故故可可用用导导数数极极在在显显然然)(lim)0(0 xffx )sec2(lim220 xexx , 3 )(lim)0(0 xffx xx 11lim0, 1 不存在。不存在。)0(f 0 0 ),1(10 ,sec2)(22 xxxxxexfx不存在，不存在，例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明不等式证明不等式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(

9、),(ln)(是凸的是凸的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例5 5).1( ,32)1ln( 32 xxxxx证明：证明：证：证：4432)1(432)1ln( xxxxx4432)1(4)32()1ln( xxxxx0 .32)1ln( 32xxxx 即即例例6 6).10( ,)1(ln)(1 22 xxxx证明：证明：证：证：,)1(ln)(1 )(22xxxx , 0)0( ,2)1ln( 2)1(ln )(2xxxx , 0)0( ,)1ln(12 )(xx

10、xx , 0)0( 0)(1)1ln(2 )(2 xxx 32! 3)(! 2)0()0()0()(xxxx 36)(x 0 .)1(ln)(1 22xxx 即即例例7 7的麦克劳林公式。的麦克劳林公式。写出写出)2ln()(xxf 解解)21(2ln)2ln()(xxxf )21ln(2lnx )()2()1()2(31)2(2122ln132nnnxoxnxxx 11132)1()2(1)1()2()1()2(31)2(2122ln nnnnnxnxnxxx 11132132)1)(1()1()1(3121 )()1(3121)1ln( nnnnnnnnxnxnxxxxoxnxxxx 例例

11、8 8使使）可导，证明：）可导，证明：连续，在（连续，在（在在),(,)(,0321baxxxbabaxfba )(lnln4)()(2)(33223222211xfxababxxfbaxxf 证证的的导导数数有有关关，个个式式子子中中的的分分母母分分别别与与注注意意到到xxxln,342,ln)(,)(,)(34221xxFxxFxxF 取取得：得：定理，定理，分别用分别用和和对对, 3 , 2 , 1)()( iCauchyxFxfi)(2)()(1122xfxafbfab ，即即)()()(21122afbfxfxab )(4)()(23244xfxafbfab ，即即)()()(423

12、244afbfxfxab )(1)()(lnln33xfxafbfab ，即即)()()(/1lnln33afbfxfxab ).(lnln4)()(2)(33223222211xfxababxxfbaxxf )(/1lnln4)()(2)(33322441122xfxabxxfabxxfab ）（故故* *例例9 9).1 , 0(21)(1)(),1()0(1 , 0)( xxfxfffxf。证证明明：上上二二阶阶可可微微，且且在在若若证证,1 , 00 x设设处处一一阶阶泰泰勒勒展展开开，有有在在把把 )(0 xxf20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令, 1

13、, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)(1) (2),则有则有2022010)1)(21)(21)(xfxfxf , 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 21020 xx21 .,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x例3 设)(xf在, 0上可导，0) 0 (f，并设有实数A0，使得)(xfA)(xf在, 0上成立，试证, 0)(xf), 0 x 证明 ：)(xf在0，A21上连续，故存在1xA210 使得 )(1xf=Axo21max)(xf=M 于是 M=111)(

14、0)() 0()(xfxffxfA)(f1x )(21f M21。 故M=0，)(xf在0，A21 上恒为0。 用数学归纳法， 可证在一切AiAi2,21 （ i=1,2,）上恒有)(xf=0,所以)(xf=0, x, 0。 利用柯西中值定理研究函数的某些特性 例例1010内有唯一的实根。内有唯一的实根。在在。试证：。试证：上上，在，在上可微，且上可微，且在在设设 )1 , 0( )(1)( )1 , 0( 1)(01 , 0)( xxfxfxfxf 证证存存在在性性)1(,)()(xxfx 令令唯唯一一性性)2(1 ,0)(Cx 则则, 0)0()0( f 且且. 01)1()1( f 于于

15、是是，由由零零点点定定理理知知内内有有零零点点，在在 )1 , 0( )()(xxfx 内内有有（实实）根根。在在即即方方程程 )1 , 0( )( xxf )1 , 0( 2121为为方方程程的的两两个个实实根根，且且、假假设设xxxx （反反证证） )1 , 0(), (21，则则由由罗罗尔尔定定理理， xx 内内方方程程的的实实根根唯唯一一。在在)1 , 0( , 0)( , 1)( f即即相相矛矛盾盾。与与1)( xf例例1111.,12并作函数的图形并作函数的图形渐近线渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy解解:)1(定义域定义域, 1 x)

16、, 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3( yx;没有水平渐近线没有水平渐近线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )

17、(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线直直线线yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为稳定点稳定点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极大值极大值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐点为拐点为xyoxy 1 1作图作图P124. 2(2),)(qpxxxfn ,)(1pnxxfn ,)1()(2 nxnnxf,)2)(1()(3 nxnnnxf是偶数是偶数n)1(至多有一个零点，至多有一个零点，单调增，单调增，因而因而0)(, 0 xfff定理，得定理，得个根，由个根，由有有若若Rollexf30)( 有两个根，矛盾！有两个根，矛盾！0)( xf是奇数是奇数n)2(至多有一个零点，至多有一个零点，单调增，单调增，因而因而0)(, 0 xfff定理，得定理，得个根，由个根，由有有若若Rollexf40)( 定理，得定理，得个根，再由个根，再由有有Rollexf30)( 有两个根，矛盾！有两个根，矛盾！0)( xf