数学建模两个综合模型案例分析课件.ppt

1、2022-3-241这时要考虑两方面因素：一是当零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高,试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1，x2，x7）决定，经验公式为7616.1242/356.02485.01235136.0162.2142.174xxxxxxxxxxxy2022-3-242y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当y偏离y00.3时产品为废品，损失为9000（

2、元）。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%,B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如表1（符号/表示无此等级零件）。2022-3-243表1 标定值容许范围 C 等 B等 A等 x1 0.075 , 0.125 / 25 / x2 0.225 , 0.375 20 50 / x3 0.075 , 0.125 20 50 200 x4 0.075 , 0.125 50 100 500 x5 1.125 , 1.875 50 / / x6 12 , 20 10 25 100 x7 0.56

3、25 , 0.935 / 25 100 2022-3-244现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。2022-3-245二、模型的假设及符号说明（1）模型的假设假设各零件的参数为随机变量，且是相互独立的，它们都服从以零件标定值为均值，容差的三分之一为均方差的正态分布。(假设生产1000个批量产品时，每个零件参数只按一种容差等级进行

4、生产，7个零件可以按不同的容差等级进行组合生产。2022-3-246考虑到题目所给条件，产品参数y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000元，y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9000元，可假设产品参数y偏离目标值y0造成的单件产品质量损失函数L（y）与（y-y0）2成正比即（1）易见20)()(yykyL523101 .0/10k2022-3-247（2）符号说明第i个零件的参数，它是随机变量；第i个零件的标定值，即xi的期望值；第i个零件的均方差；第i个零件的容差，即第i个零件的相对容差，即；:)71( ixi: )71(0ixi: )71( ii: )71( iri: )71

5、( itiiir30/iiixrt 2022-3-248y0：产品质量参数的目标值；y：产品质量参数，它是随机变量；y：y的均方差；ai：标定值xi0的取值下限（已知的）bi：标定值xi0的取值上限（已知的）x0=（x10，x20，x70）标定值向量t=（t1，t2，t7）：相对容差向量2022-3-249三、问题的分析及数学模型（1）问题的分析问题的目标函数是总费用函数最小，而总费用是由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和产品的成本费用两部分组成。一般来说，标定值设计不合理或容差设计得太大，会使产品参数远离目标值，造成质量损失；而容差设计得太小，又会增加零2022-3-2410零件制造成本

6、，综合考虑产品质量损失费和成本费是问题的关键。由题目所给条件知，单件产品的零件成本取决于相对容差等级，第种零件的成本记作，于是单件产品的成本，即7个零件的总成本为（2）产品参数y由决定，71)()(iiitctCiti( )iic t127,x xx2022-3-2411记作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7），而xi是随机变量，且xiN（xi0，i2），所以产品参数y也是随机变量。进行成批生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用损失函数L（y）的期望来度量，它取决于零件参数标定值x0和容差t，记为：)(),(0yLEtxQ2022-3-2412由(2)式为了得到的简单表达式，在

7、处对作Taylor展开，并略去二阶及二阶以上项，有2yEy和0 x),(721xxxfy)()()(),(22020200yyEykyEyEyykEyykEtxQ7100)()(iiiixxdxfy2022-3-2413其中于是所以)71(0ixfdxxii7120712220)(91)(iiiiiiiytxddDyxfEy71202000)(9)(),(iiiitxdkyxfktxQ2022-3-2414通过以上分析讨论可知，成批生产时平均每件产品的总费用可表示为（2）数学模型问题的目标函数是总费用函数Z（x0，t）达到最小，且约束条件是标71712020000)()(9)()(),(),(

8、iiiiiiitctxdkyxfktCtxQtxZ2022-3-2415定值x0落在给定的容许范围内，所以该问题的数学模型为：（3）2022-3-2416四、模型的分析及求解1.模型的分析注意到在模型（3）中，决策变量x0是连续的，t是离散型的，而且t的取值共有23332=108种，对每种固定的t值，求解如下一系列子问题：（4）)71(.)(910)5 . 1)(10)(min07120520501ibxatstxdxfxZiiiiiii2022-3-2417得到最优解和最优值，然后对108个t比较（5)得到全局最优解和最优值。子问题（4）是非线性规划问题，它的计算量是很大的，为了减少计算子问

9、题的次数，在程序设计时，每解出一个子问题，由（5）式算出当前的最优值，对待求解的子问题，先判断是否成立，若成立，则该子问题不必再解。*0 x*1Z)(),(*1*0tCZtxZ*0 x*ZccCZZ*1*)(cZtC 2022-3-24182.模型的求解按照上面对模型（3）的分析，下面设计在MATLAB中计算模型（3）的程序。为了方便起见，记5 . 07685. 01235116. 1245 . 156. 024)/()()/()(/(42.174)()/()(62. 21)()/(36. 01)(xxxuxxxxxxfyxxxvxuxxxv2022-3-2419分别建立函数文件v.m，u.m

10、，fy.mfunctionv=fun(x)v=1-0.36*x(2)0.56*x(4)(-0.56);functionu=fun(x)u=1-2.62*v(x)1.5*(x(4)/x(2)1.16;functionfy=fun(x)fy=174.42*(x(1)/x(5)*(x(3)/(-x(1)+x(2)0.85*sqrt(u(x)/(x(6)*x(7);2022-3-2420分别建立函数u(x)对x2,x4的偏导数函数文件uu2.m,uu4.mfunctionuu2=fun(x)uu2=0.792288*v(x)0.5*x(2)(-1.6)*x(4)0.6+3.0392*v(x)1.5*x

11、(2)(-2.16)*x(4)1.16;functionuu4=fun(x)uu4=(-0.792288)*v(x)0.5*x(2)0.6*x(4)(-0.4)-3.0392*v(x)1.5*x(2)(-1.16)*x(4)0.16;2022-3-2421分别建立函数fy(x)对x1,x2,x7的偏导数函数文件y11.m,y21.m,y71.mfunctiony11=fun(x)y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1);functiony21=fun(x)y21=fy(x)*(-0.85)/（x(2)-x(1)+0.5*(1/u(x)*uu2(x);functiony

12、31=fun(x)y31=fy(x)*(0.85/x(3);2022-3-2422functiony41=fun(x)y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x);functiony51=fun(x)y51=fy(x)*(-1/x(5);functiony61=fun(x)y61=fy(x)*(-0.5/x(6);functiony71=fun(x)y71=fy(x)*(-0.5/x(7);2022-3-2423建立子问题（4）的目标函数文件ch721.mfunctionch721.g=ch721(x,p2,p3,p4,p6,p7)ch81=100000*(fy(x)-1.5)2+

13、(100000/9)*(y11(x)*x(1)*0.05)2+(y21(x)*x(2)*p2)2+(y31(x)*x(3)*p3)2+(y41(x)*x(4)*p4)2+(y51(x)*x(5)*0.1)2+(y61(x)*x(6)*p6)2+(y71(x)*x(7)*p7)2;g=-x(1);2022-3-2424用MATLAB语言设计计算模型（7-8）的程序，可存为M文件ch722.mtic%启动计时器p2=0.1;p3=0.1;p4=0.1;p6=0.1;p7=0.05;%原设计方案的相对容差x0=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%原设计方案的标定y0=fy(x0

14、);%原设计方案产品的参数值2022-3-2425Q0=ch81(x0,p2,p3,p4,p6,p7);%原设计方案的质量损失费Z0=Q0+200;%原设计方案的总费用Zmin=Z0;%原设计方案的总费用作为优化初值t1(2)=0.05;%对各等级零件相对容差赋值t2(2)=0.05;t2(3)=0.1;t3(1)=0.01;t3(2)=0.05;t3(3)=0.1;2022-3-2426t4(1)=0.01;t4(2)=0.05;t4(3)=0.1;t5(3)=0.1;t6(1)=0.01;t6(2)=0.05;t6(3)=0.1;t7(1)=0.01;t7(2)=0.05;c2(2)=50

15、;c2(3)=20;c3(1)=200;c3(2)=50;c3(3)=20;c4(1)=500;c4(2)=100;c4(3)=50;c6(1)=100;c6(2)=25;c6(3)=10;c7(1)=100;c7(2)=25;2022-3-2427fori2=2:3fori3=1:3fori4=1:3fori6=1:3fori7=1:2C=75+c2(i2)+c3(i3)+c4(i4)+c6(i6)+c7(i7);%计算单件产品的成本p2=t2(i2);p3=t3(i3);p4=t4(i4);p6=t6(i6);p7=t7(i7);2022-3-2428ZminifC=Zminx0=0.1,

16、0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%优化的初始值v1b=0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625%变量x的下界vub=0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935%变量x的上界options=;%优化中的参数均采用缺省值2022-3-2429jacob=;%将空阵赋给雅可比阵x,options=constr(ch81,x0,options,vlb,vub,jacob,p2,p3,p4,p6,p7);%计算非线性规化问题（7）Z=C+cs97(x,p2,p3,p4,p6,p7);%当t值给定时的最小总费用ifZj

17、numjnum=mjnum;jno=mjno;ydian=-I,-j;jiao=h*18./pi;endendend2022-3-2436end执行后输出问题一可利用井数jnum=4井号：24510移动值为-0.3500，-0.1500问题二2022-3-2437forj=1:39HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendfori=16:39forj=1:15HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendHH;2022-3-2438 自动化车床管理 一、 问题的提出 这是1999年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序

18、会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一2022-3-2439零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录（见表75），计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=200元/件；进行检查的费用t=10元/件；2022-3-2440发现故障时进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）。未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/次。（1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序

19、设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。2022-3-2441（2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。（3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。2022-3-2442表75459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 4

20、28 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 2022

21、-3-2443二、模型假设及符号说明（1）假设刀具的寿命用生产出的零件个数来衡量，刀具寿命的概率分布由所给100次故障记录确定。（2）假设检测零件时间和更换刀具时间忽略不计。（3）假设刀具每加工u个零件后定期更换，更换费用为k（已知）。（4）假设每生产n个零件后定期进行检查，检查费用为t（已知）。2022-3-2444（5）假设在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记作p。（6）假设检查时工序停止生产，若发现该零件为不合格品，则进行刀具更换，费用为d（已知）；否则继续生产。（7）对第一问假设工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95%

22、。2022-3-2445（8）记生产每件不合格品的损失费为f（已知）；生产每个零件的平均费用为L；生产每个零件刀具定期更换费为L1；生产每个零件检查费用为L2；工序故障造成不合格品的损失费为L3。三、问题分析及数学模型根据所给的实际问题，要对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略，也就是生产每个零件的成本2022-3-2446最低，它等价于生产每个零件的平均费用L最小。生产每个零件的平均费用L包括刀具定期更换费用L1，检查费用L2，工序故障造成不合格品的损失费用L3，易知:cdmfLntLukL)(3212022-3-2447其中m为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时，n个零件中不合格品

23、的平均数，c为工序的平均故障间隔，于是问题的数学模型为:（7-18）cdmfntuknuL),(min2022-3-2448四、模型的分析与计算（1）模型中m的计算记事件A表示在相邻两次检查的后一次检查发现故障，它等价于在一个检查间隔内至少一个零件出现为不合格品，由假设（4）和假设（5）可知：ppAPn)1 (1)(2022-3-2449记事件B表示在相邻两次检查，出现i件不合格品，即前n-i件合格，下一件不合格的事件，则由此可知，在相邻两次检查的后一次检查发现故障的条件下，出现i件不合格品的概率为：ppBPin)1 ()()1()1 ()()()()()(nipppAPBPAPABPABPi

24、n2022-3-2450于是由于pppiminni)1 (1niinnpipp1)1 ()1 (1)(1 ()1 (,)1 (1 ()1 (1pinpnpnppinn2022-3-2451所以其中由于很小（见后面计算结果），所以m近似等于，代入（7-18）得pnnpnnnnnnnnipinpinpininppmnininini6121)6)12)(1(2)1(2)1(11)(1 (2212111cp121ncdcfnntuknuL2) 1(),(min（7-19）2022-3-24522.模型中c的计算首先，根据给出的100个数据算出无预防性更换时刀具故障平均间隔（即100个数据的平均值）为a

25、0=600件，由假设知，刀具故障占95%，非刀具故障占5%，故非刀具故障平均间隔为。其次，为计算刀具每加工u个零件后定期更换时刀具故障的平均间隔，由100个数据统计出刀具)(11400)95/5/(0件 ab2022-3-2453故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组：2022-3-2454对于给定的u，可确定刀具故障的平均间隔a。如若u=300件，可知100次更换有7=1+1+1+2+2次故障，平均故障间隔为：一般地，记刀具完成件数为Ni，频率为fi，若对于给定的u有Nku，则计算刀具每加工u个零件后定期更换时417993300) 2275222511751125150(71202

26、2-3-2455刀具故障的平均间隔为工序的平均故障间隔c由a（u）和b决定，易见满足，于是如果u=300件，则niinkiikiiiffufNua111)(bac111bac1113058)11400/1 ()4179/1/(1c2022-3-24563.模型的求解通过以上的分析可知，给定u，模型（7-19）中的c也确定，L（u,n）就变为是n的函数，且令，得cfntdndL220dndLfctn22022-3-2457即当时，L达到最小。比如步长取50，对于一系列的u=100，150，200，逐个求出L的极小值及相应的n值，其中使L最小者所对应的u和n即为所求。下面给出MATLAB计算程序。

27、%自动化车床管理ch751%文件名：ch751.mfctn22022-3-2458f=200;t=10;d=3000;k=1000;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;2022-3-2459u=100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,

28、650,.700,750,800,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);end2022-3-2460a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t/n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j);forn=1:200L0=k/u(j)+t/

29、n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;2022-3-2461nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);good_u=u(j);good_n=nn(j);endend2022-3-2462disp(生产每个零件的最小费用)min_Ldisp(更换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n执行后输出生产每个零件的最小费用min_L=5.13152022-3-2463更换刀具的最优间隔数good_u=400定期检查的最优间隔数good_n=15五、

30、问题的进一步讨论1.问题2的进一步讨论2022-3-2464要考虑两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将使检查费用增加；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格品的损失费增加。此时效益函数为:（7-20）cdwwnncfvsptnuknuLn)121()1 (1),(2022-3-2465与问题1中的模型（7-19）式相比（7-20）式多了两项，其中是两次检查间工序正常的概率，是工序正常时的不合格品率，s=1500为第一种误判停机的损失费；w=40%是工序故障时的合格品率，是第二种误判增加的不合格品数。np)1 ( )/ 1(cp%2vwwn12022-3-2

31、466%自动化车床管理ch842%文件名：ch842.mf=200;t=10;d=3000;k=1000;v=0.02;s=1500;w=0.4;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;2022-3-2467u=100,150,200,250,300,350,400,450,500,5

32、50,600,650,.700,750,800,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);end2022-3-2468a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.n*(w/(1-w)*(f/c(j

33、)+d/c(j);forn=1:200L0=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.2022-3-2469n*(w/(1-w)*(f/c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);2022-3-2470good_u=u(j);good_n=nn(j);endenddisp(生产每个零件的最小费用)min_Ldisp(更换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n2022-3-2471执行后输出生产每个零件的最小费用min_L=7.5760更换刀具的最优间隔数good_u=350定期检查的最优间隔数good_n=222022-3-24722.问题（3）的进一步讨论由于工序故障时的合格品率相当高，可考虑检查时当查到的那个零件为合格品时，再查一个零件，若仍是合格品则判定工序正常，若为次品则判定工序故障，这样虽使检查费用增加，但不合格品的损失费将减少，相应地效益函数为：2022-3-2473作为练习，由读者自己编程计算。cdwwnncfvaptwpvptnuknuLnnn121)1()1(1()1()1(1),(22