数值积分与数值微分课件.ppt
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1、1第第4 4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分24.1 4.1 引言引言 4.1.1 4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 依据微积分基本定理,对于积分,)(badxxfI只要找到被积函数 的原函数 ,便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式: )( xf)( xF).()()(aFbFdxxfba但对于下列情形:3 (1)被积函数,诸如 等等,找不到用初等函数表示的原函数; 2sin,sinxxx (2)当 是由测量或数值计算给出的一张数据表时,牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. )( xf 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知,在积分区
2、间 内存在一点,成立 ,ba),()()(fabdxxfba4就是说,底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 ab )(f曲边梯形的面积 (图4-1).I图4-15 问题在于点的具体位置一般是不知道的,因而难以 准确算出 的值.)(f 将 称为区间 上的平均高度. )(f,ba 这样,只要对平均高度 提供一种算法,相应地便)(f获得一种数值求积方法. 用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度)(af)(bf)(f的近似值,这样导出的求积公式)()(2bfafabT(1.1)是梯形公式(几何意义参看图4-2). 6图4-2 用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ,则又可导出所谓中矩形公式(
3、简称矩形公式) 2bac)(cf)(f).2()(bafabR(1.2)7 一般地,可以在区间 上适当选取某些节点 ,,bakx然后用 加权平均得到平均高度 的近似值,)(kxf)(f, )()(0nkkkbaxfAdxxf(1.3)式中 称为求积节点求积节点;kx权 仅仅与节点 的选取有关,kAkx的具体形式. )( xf这样构造出的求积公式具有下列形式:kA称为求积系数求积系数,亦称伴随节点kx的权权. 而不依赖于被积函数8 这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难. 9 4.1.2 4.1.2 代数精度的
4、概念代数精度的概念 定义定义1 1 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式m均能准确地成立,但对于 次多项式就不准确成立,1m则称该求积公式具有 次代数精度次代数精度. m 梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度. 数值求积是近似方法,为保证精度,自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.10nkkabA0, 欲使求积公式(1.3)具有 次代数精度,则只要令它m对 都准确成立,就得到mxxf,2, 1)((1.4)nkmmmkkabmxA011).(11nkkkabxA022),(2111 如果事先选定求积节点 ,譬如,以区间 的等距分点作为节点,这时取 ,求解方程组(1.
5、4)即可确定求积系数 ,而使求积公式(1.3)至少具有 次代数精度. kx,banm kAn 构造形如(1.3)的求积公式,原则上是一个确定参数 和 的代数问题. kxkA12 4.1.3 4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点 ,210bxxxxan且已知函数 在这些节点上的值,)(xf作插值函数 .)(xLn取 banndxxLI)(作为积分 的近似值,badxxfI)(nkkknxfAI0)((1.5)这样构造出的求积公式13称为是插值型插值型的,式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 kA)( xlk.)(bakkdxxlA(1.6) 由插值余项定理(第2章的定理
6、2)即知,对于插值型的求积公式(1.5),其余项 nIIfR式中与变量 有关, x).()()(10nxxxxxxx(1.7),)()!1()()1(bandxxnf14 当 是次数不超过 的多项式时,插值多项式就是n)( xf函数本身,余项 为零, fR至少具有 次代数精度.n 反之,如果求积公式(1.5)至少具有 次代数精度,则n. )()(0banjjkjkxlAdxxl 事实上,这时公式(1.5)对于插值基函数 应准确)(xlk它必定是插值型的. 成立,即有所以这时插值型求积公式15 定理定理1 1形如(1.5)的求积公式至少有 次代数精度的n注意到,)(kjjkxl上式右端实际上即等
7、于 ,kA因而式(1.6).)(bakkdxxlA成立. 这样,有充分必要条件是,它是插值型的. 16 4.1.4 4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 2.)()(lim00bankkkhndxxfxfA其中),(max11iinixxh 在求积公式(1.3)中,由于计算 可能产生误差 ,)(kxfk实际得到将是 ,kf即.)(kkkfxf, )()(0nkkknxfAfI在求积公式(1.3)中,若则称求积公式(1.3)是收敛的. 记nkkknfAfI0.)(17如果对任给小正数,0只要误差 充分小就有 knkkkknnfxfAfIfI0)()()((1.
8、8),则表明求积公式(1.3)计算是稳定的,由此给出: 定义定义3 3),1 ,0()(nkfxfkk就有(1.8)成立,则称求积公式(1.3)是稳定的. ,0对任给,0若只要18 定理定理2 2 证明证明取,ab ,)(kkfxf),1 ,0(0nkAk若求积公式(1.3)中系数 则此求积公式是稳定的. ,0对任给都有nk,1 ,0若对则当 时有0kAnkkkknnfxfAfIfI0)()()(nkkkkfxfA0)(19由定义3 ,知求积公式(1.3)是稳定的. nkkA0)(ab .204.2 4.2 牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式 4.2.1 4.2.1 柯特斯系数柯特斯系数 设将
9、积分区间 划分为 等分,,ban选取等距节点 构造出的插值型求积公式khaxknkknknxfCabI0)()()((2.1)称为牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式,式中 称为柯特斯系数柯特斯系数. )( nkC 按(1.6)式,引进变换,thax,nabh步长则利用等距节点的插值公式,有21 nnkjjnkdtjkjtabhC00)((2.2).)()!(!)1(00 nnkjjkndtjtknnk 当 时,1n,21)1(1)1(0 CC这时的求积公式就是梯形公式(1.1)()(2bfafabT22 当 时,按(2.2)式,2n,61)2)(1(4120)2(0dtttC相应的求积公式是辛
10、普森辛普森(Simpson)公式公式 ),()2(4)(6bfbafafabS(2.3),64)2(2120)2(1dtttC.61)1(4120)2(2dtttC柯特斯系数为 23 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式,4n),(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC(2.4)这里 .4,abhkhaxk 按(2.2)式,可构造柯特斯系数表.其形式是 2428350989228350588828350928283501049628350454028350104962835092828350588828350989817280751172803577172801
11、32317280298917280298917280132317280357717280751784041359280910534280935984041628819962514425144259625288195907451615245169074818383813613261221211)(nkCn1表425 从柯特斯系数表看到 时,柯特斯系数 出现负值,8n)( nkC,10)(0)(nknknknkCC特别地,假定,0)()(kknkfxfCnkkknknnfxfCfIfI0)()()()(于是有,)(kkfxf且则有 nkkknkfxfC0)()(nkkknkfxfC0)()(26它
12、表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大,即计算不稳定,故 的牛顿-柯特斯公式是不用的. 8n.0)(nknkC27 4.2.2 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度 由定理1, 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. nn 先看辛普森公式(2.3),它是二阶牛顿-柯特斯公式,因此至少具有二次代数精度. 用 进行检验,3)(xxf.)2(46333bbaaabS本节讨论代数精度的进一步提高问题. 按辛普森公式计算得 28均能准确成立,.4443abdxxIba另一方面,直接求积得 这时有 ,IS 而它对 通常是不准确的,4)(xxf辛普森公式实际上具有三次代数精度.
13、即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此, 定理定理3 3当阶 为偶数时,牛顿-柯特斯公式(2.1)至少n有 次代数精度. 1n29 证明证明我们只要验证,当 为偶数时,牛顿-柯特斯n公式对 的余项为零. 1)(nxxf 由于这里,)!1()()1(nxfn.)(0 banjjdxxxfR引进变换 并注意到 有 ,thax,jhaxj按余项公式(1.7)nIIfR,)()!1()()1(bandxxnf有 30,)2(2202 nnnjndujnuhfR因为被积函数.0fR若 为偶数,则 为整数,n2n,)(002 nnjndtjthfRnjjnuuH0)2()(为奇函数,所以,2nut再令进
14、一步有2/2/)(nnjju31 4.2.3 4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 按余项公式(1.7),梯形公式(1.1)的余项 ,)(2)( baTdxbxaxfTIR这里积分的核函数 在区间 上保号(非正),)(bxax,ba应用积分中值定理,在 内存在一点 使 ,ba, baTdxbxaxfR)(2)((2.5).,)(12)(3baabf 32 为研究辛普森公式(2.3)的余项 构造次数,SIRs不超过3的多项式 满足 ),(xH),()(),()(bfbHafaH(2.6)).()(),()(cfcHcfcH其中.2bac 辛普森公式具有三次代数精度,对于这样构
15、造出的三次式 应是准确的,即 )(xH),()(4)(6)(bHcHaHabdxxHba33basdxxHxfSIR)()(对于多项式 ,其插值余项由第2章(5.11)得 )(xH),()(!4)()()(2)4(bxcxaxfxHxf由插值条件(2.6),上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3)求得的积分值 ,S因此积分余项 故有 .)()(!4)(2)4(basdxbxcxaxfR34这时积分的核函数 在 上保号)()(2bxcxax,babasdxbxcxaxfR)()(!4)(2)4(类似的,对于柯特斯公式(2.4),结果如下: ).(4945)(2)6(6fababCIRC(2.8)
16、(非正),再用积分中值定理有 (2.7)).(2180)4(4fabab354.3 4.3 复化求积公式复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分),再在每个子区间上用低阶求积公式,目的是提高精度. 4.3.1 4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式 将区间 划分为 等分,,ban, 1 , 0nk在每个子区间 上)1, 1 ,0(,1nkxxkk,nabhkhxk分点采用梯形公式(1.1),则得 36badxxfI)( 101)(nkxxkkdxxf(3.1)).()()(2101fRxfxfhnnkkk记 101)()(2nkkknxfxfhT称为复化梯形公式复化
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