投资学第7章最优风险资产组合课件.ppt

1、1本章逻辑： 1.风险资产组合 2.无风险资产与资产组合 3.投资者根据风险偏好进行配置27.1 分散化与投资组合风险 投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险(系统风险，systematic risk / nondiversifiable risk)特别因素风险(非系统风险, unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk)图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio3图7.2 投资组

2、合分散化457.2 两种风险资产的投资组合的方差越大越大，组合又：则有：组成和股票基金由长期债券组合设某一风险资产组合PwwwwrrCovrrCovwwwwrEwrEwrEEDDEDEEDEDEEDDPEDDEEDEDEDEEDDPEEDDP112),( ),(2 )()()(P2222222222表7.1 两只共同基金的描述性统计6表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差7表7.3 不同相关系数下的期望收益与标准差8图7.4 作为投资比例函数的组合标准差910情况一：的风险并未降低时组合结论：即：则有：，若PwwwwEEDDPEEDDPDE1 )(12211情况二：的风险可降至零时组合结论：

3、令即：则有：，若PwwwwwwwwwEDDDEEDEDEEDDEEDDPEEDDPDE11,0- )(12212情况三：低的风险可有一定程度降时组合结论：则有：，若PwwEEDDPDE1 1113组合的机会集与有效集资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和空间中的一个点。有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、有效前沿（ Efficient fronti

4、er）,它是有效组合的集合（点的连线）。14 命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErEwwwwwrEwrEwrE)()()()()( )()()()/()() 3)(2() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(由式15两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。收益收益 E(rp)风险风险pDE16两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关，

5、即DE =-1，则有0,)/(0,)/(0,)/()3( 1)2( ) 1 ( )()()(DDEEPEDEDEEDDPEDEDPEDEDEDEEDDPEEDDPwwwwwwwwwwwrEwrEwrE时当时当时当17命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPDEEDDPEDEDrErErErErErErErEfwwww)()()()()( )()1 ()()(),(,)/(从而时当18命题成立。从而时当同理可证，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEfwwww)()(-)()(

6、)()(),(-,)/(19 两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险pDE20命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线(双曲线)证明：略21各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组合机会集合(portfolio opportunity set)D收益收益E(rp)风险风险p=1=1=0.3=0.3=-1=-1E比较相关比较相关系数带来系数带来的影响的影响用用excel演示演示227.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置p组合方法：组合方法：两项风险资产先组合形成新两项风险资产先组合形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无的风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产风险

7、资产p形成的形成的资本配置线资本配置线(CAL)中斜率最高的，中斜率最高的，效用水平最高效用水平最高图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可行的CALs2324最优风险资产组合P的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPPwwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEwwwrrCovwwwwrEwrEwrEtsrrESMaxi1 ),()()()()(),()()(1 ),(2 )()()( . .)(2222/12222图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds wi

8、th the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio25图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio2627 最优风险资产头寸2*)(pfpArrEy图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio2829小结：两种风险资产与无风险资产组合的配置程序p确定各类证券的收益风险特征确定各类证券的收益风险特征p建造风险资产组合建造风险资产组合 根据式根据式(7-13)计算最优风险资产组合计算最优风险资产组合P的构成比例的构成比例根据式根据

9、式(7-2)、(7-3)计算资产组合计算资产组合P的收益风险特征的收益风险特征p配置风险资产组合和无风险资产配置风险资产组合和无风险资产资本市场线资本市场线风险偏好计算最终投资组合中具体投资品种的份额。风险偏好计算最终投资组合中具体投资品种的份额。307.4 马科维茨的资产组合选择模型 均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险

10、的条件下，收益最大化31 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示种风险资产的组合二维表示32总结：可行集的两个性质1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2. 可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。为什么？投资学 第6章33收益收益rp风险风险p不可能的可行集不可能的可行集AB34N个组合的风险收益状况 对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为1npi iirwrTw r=n222Ti 11, 1

11、, 1wwnnnpiiijijijijij i ji jwwwww111n12121.=( ,.,) , =( , ,., ) ,VTTnnnnnw wwr rrwr其中， 若、分别代表权重向量 则352) var( )cov( , )ppqrPErPVPr rPVQ（361111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=( , ,., )w=( ,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知资产组合收益、方差 协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有37 对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优

12、化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw 上式左右两边对上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件求导数，令其一阶条件为为0，得到方程组，得到方程组38111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niiiniiw rcw39 这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。40正式证明正式证明: : n项风险资产组合有效前沿项风险资产组合有效前沿假定假定1：市场上存在：市场上存在 种风险资产，令种风

13、险资产，令Tnwwww),(21代表投资到这代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许且卖空不受限制，即允许0iw 2. 也是一个也是一个n维列向量，它表示每一种资维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益产的期望收益率，则组合的期望收益2nTnrErEr)(,),(1rwrET)(413.使用矩阵使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn 0注：方差协方差矩阵是注：方差协方差矩阵是正定、正定、非奇异非奇异矩阵。所以，矩阵。所以，对于任何非对于任何非0

14、的向量的向量0,aaaT都有42。）, ( ， 2) (0),(121为非奇异矩阵则是单位矩阵使如果存在一个矩阵列的非零矩阵行、对一个正定则称，都有如果对任何非零向量阶实系数对称矩阵，为、设AIIAB = BA = BAnndefinitepositiveMMXXxxxXnMTTn43其中，其中， 是所有元素为是所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造由此构造LagrangeLagrange函数函数11 )( . .21minmin22TTTwTwwrErwtswwwwT1)1,1 (1，)11 ()(21min,wTTTwrwrEwwL44因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，

15、又是充分条因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条件件0=0,0,0T) 3( 011)2( 0)() 1 ( 01TTwLrwrELrwwL45mnmnmnmnnTnxfxfxfxfXXfxxxxXxfxfXXfXXfXXfyxxX1111111111)()()()(,),() 1 (，则：若的微商定义为：关于则的实函数，为为实向量若：矩阵微商公式46BXXBXXbBXXXXAXAXaaAxxXTnnijTTTnTn2)()(2)(,)(,),(,),()2(11为对称阵，则：若则于是，若：矩阵微商公式47 1)4( )1()(1)11，得方程组：和再分别左乘以解得：由TTrrw )

16、11()1(1 )1()()(1111TTTTrrrrrE21111 , 11 , 11ABCDCrrBrrATTTT此时令： D)()( 1 )(rAEBDArCECAABrE解得则方程组变为481)(1)(1)1()()()(4)111111rEABrArrCEDDrEABrDArECw式得：将代入1)(111111ArCrErABD11 111111ArCDnrABDm再令：，此即为最优权重向量得：nrEmw)(附加定理 定理，设c为常数 设向量Z为方程组R-c=Vz的解，则x为一有效投资组合491iinjjzxz50有效组合集的几何特征nrEmwPP)(P：为任一有效组合，则有设)()

17、(2PnrEmnrEmwwPTPTPTP于是，性质：有效组合集是均方平面上的双曲线性质：有效组合集是均方平面上的双曲线nnrEmnrEnrEmmmTPTPTPTT)()( )(251)()1(1)()1(11111rABDrABDmmTTT DBBAAABABACBDrABrABDTT)(1)()1(11222112DrECnnrEDrAEmnrEDrAEnrEmPTPPTPPTPT)()( ,)()()()(22同理，52CCArEDCDrECDrAEDBPPPP1)()()(2222于是，命题得证。即：1/)/)(/1222CDCArECPP53 这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方

18、差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是（0，A/C），渐近线为1/)/)(/1222CDCArECPPP/)(CDCArEP54g点是全局最小方差组合点（点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）均值均值方差方差wgCB/C/155 注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点wg以上的部分（子集），被称为均方效率边界(mean-variance efficient frontier)均值均值方差方差wg56不同理性投资者具有不同风险厌恶程度57结合投资者效用曲线的最优组

19、合选择 最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。58资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。 开创了数量分析方法在金融学当中的应用59资产组合理论的缺点 当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。 均值方差分析的成立条件：收益正态分布或二次型效用函数图7.10 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets

20、60图7.11 The Efficient Frontier of Risky Assets with the Optimal CAL61图 7.12 The Efficient Portfolio Set62图7.13 Capital Allocation Lines with Various Portfolios from the Efficient Set63647.4.2 两基金分离定理（mutual-fund separation theorem） 表述： 在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。 或：有效组合边界上任意两个不同的点代表两个不同的有效投资组合，

21、而其他任意点均可由该两点线性组合生成65)()()()()()1 ()()()()()()()(2122121212121rErErErErErErEwrEPwwrErErErEPPPPPP使得：，则必存在一实数和例为对应的收益率和组合比，另外任意的点、组合比例，且、对应的收益率为、上任意两个分离的点证明：设有效组合边界66证毕。线性表示。、可由即得：组合起来、的比例将按又由2121212121)()()1 ()()()(1 ()()1 ()1 ( ,)(wwwwnrEmnrErEmnrEmnrEmwwwwnrEmwPPP67两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不

22、同的，即两基金分离。金融含义：若有两家基金都投资于风险资产，且经营良好(即达到有效边界)，则按一定比例投资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。这就方便了投资者的选择。CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风险资产组合之间又进行了一次两基金分离。此时投资者仅需确定一个有风险组合，即可达到各种风险收益水准的组合。资本配置更加方便。68分离定理对组合选择的启示v若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。v资本配置决策：考虑

23、资金在无风险资产和风险组合之间的分配。v资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。v基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。697.4.3 分散化的力量_2_2211_1221121222112,11),() 1(1,1),(11, 2 , 1,1),(CovnCovnnnrrCovnnCovnrrCovnnninwrrCovwwnPPnijjnijiniinijjnijiniiPijijnjniiP有：时于是当定义：则有：不妨设：项资产组合的方差：表7.4 Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios i

24、n Correlated and Uncorrelated Universes70717.4.4 资产配置与证券选择 投资管理的复杂化 投资工具的复杂化 大规模投资管理的高业绩727.5 风险聚集、风险分担与长期投资的风险 保险公司持有大量相互独立的保单，并不能有效分散风险，相反却是风险聚集从收益率的角度看，一系列打赌的收益标准差小于单次打赌从收益金额来看，美元收益的标准差会随着打赌次数的增加而增加 即：资产组合的美元方差增大，而收益率方差下降了 结论：若存在固定的投资预算，要更多地考虑美元方差。亦即简单的风险聚集不能实现风险分担。nn/)(nnRR)(什么是真正的风险分散？什么是真正的风险分

25、散？7.5 风险聚集、风险分担与长期投资的风险 考虑如下保险事件:1 p = .999p = .001Loss: payout = $100,000No Loss: payout = 0737.5.1 保险原则与风险聚集 考虑组合方差: 似乎卖掉越多的保险，风险就会被分散，此即保险原则 此种想法的缺点类似于长期股票投资的风险会变小221Pn74保险原则与风险聚集Continued 将n个不相关的保单组合到一起，单个保单的期望收益 额为 $ , 则期望总收益与标准差与n保持同比例增长:222()( )()( )()E nnEVar nn VarnSD nn757.5.2 风险分担真正意义上的风险

26、分担是：将一个固定数额的风险在众多投资者中分配7677本章小结p风险资产组合分散化原理风险资产组合分散化原理pMarkowitz投资组合理论、最优效率边界投资组合理论、最优效率边界p资本配置与证券选择资本配置与证券选择p两基金分离定理两基金分离定理p保险原则保险原则78作业p请在我国证券市场上选择请在我国证券市场上选择10只股票，算出其有只股票，算出其有效投资组合边界。效投资组合边界。p假设无风险利率为假设无风险利率为5%，画出资本市场线，画出资本市场线p假设投资者风险偏好系数为假设投资者风险偏好系数为2，请算出投资者，请算出投资者的资产配置情况，并计算组合的风险与收益。的资产配置情况，并计算组合的风险与收益。