高一数学排列组合与概率统计问题课件.ppt

1、 排列组合是概率及统计的基础，因此，排列排列组合是概率及统计的基础，因此，排列组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对重要。概率是初等概率论中最基本的内容，在重要。概率是初等概率论中最基本的内容，在历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本讲繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本讲主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题的分析和处理方法的分析和处理方法.要明确堆

2、的顺序时，必须先分堆后再把堆数当要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列作元素个数作全排列.即即先分组后到位先分组后到位.若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等堆堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 若干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积法原理作积. 分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序

3、不等分；有序等分；有序等分；有序局部等分；有序局部等分；无序不等分；无序不等分；无序等分；无序等分；无序局部等分无序局部等分.处理问题的原则：处理问题的原则：1.分组（堆）问题分组（堆）问题例例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同共有多少种不同的发包方式？的发包方式？解：解：要完成发包这件事，可以分为要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两两类发包方式类发包方式.先将四项工程分为三先将四项工程分为三“堆堆”，有，有1121352210CAC C种分法；种分法；

4、再将分好的三再将分好的三“堆堆”依次给三个工程队，依次给三个工程队，有有3!6种给法种给法. 1-1-3发包方式共有发包方式共有10660种种.1.分组（堆）问题分组（堆）问题（或（或 种分法）种分法）3510C 完成完成1-1-3发包方式有两个步骤：发包方式有两个步骤：例例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同共有多少种不同的发包方式？的发包方式？解：解：要完成发包这件事，可以分为要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两两类发包方式类发包方式.先将四项工程分为

5、三先将四项工程分为三“堆堆”，有，有1122522315C CAC种分法；种分法；再将分好的三再将分好的三“堆堆”依次给三个工程队，依次给三个工程队，有有3!6种给法种给法. 1-2-2发包方式共有发包方式共有15690种种.1.分组（堆）问题分组（堆）问题完成完成1-2-2发包方式也有两个步骤：发包方式也有两个步骤： 综上，共有综上，共有60+90=150不同的发包不同的发包方式方式.例例2 . 7人排成一排人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：解：分两步进行：分两步进行： 几个元素不能相邻几个元素不能相邻时时,先排一般元素，先排一般元

6、素，再让特殊元素插孔再让特殊元素插孔.第第1步，把除甲乙外的一般人排列：步，把除甲乙外的一般人排列：55A有=120种排法第第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔插孔)：26A有=30种插入法120 303600共有种排法 解决一些不相邻问题时，可以先排解决一些不相邻问题时，可以先排“一一般般”元素然后插入元素然后插入“特殊特殊”元素，使问题得以元素，使问题得以解决解决.2.插空法：插空法：相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用“局部到整体局部到整体”的的排法，即将相邻的元素局部排列排法，即将相邻的元素局部排列(捆绑捆绑)当成当成“一个

7、一个”元素，然后再进行整体排列元素，然后再进行整体排列.3.捆绑法捆绑法例例3 . 6人排成一排人排成一排.甲、乙两人必须相邻甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法有多少种不的排法? 解：解：分两步进行：分两步进行：甲甲 乙乙第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列(捆绑捆绑)：55A有120种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：22A有2种捆法2 120240共有种排法 几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时,先先捆绑成一个元素，再与捆绑成一个元素，再与其它的进行排列其它的进行排列.例例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少个人站

8、成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？种站法？几个元素几个元素顺序一定顺序一定的排列问题，一般是先排列，再的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.4.消序法消序法(留空法留空法)方法方法1：将将5个人依次站成一排，有个人依次站成一排，有方法方法2：先让甲乙之外的三人从先让甲乙之外的三人从5个位置选出个位置选出3个站好，个站好，有有55A种站法，种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数然后再消去甲乙之间的顺序数22A甲总站在乙的右侧的有站

9、法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为5355225 4 3AAA 35A种站法，留下的两个位置自然给甲乙有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法种站法甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为33551AA 变式：变式：如下图所示如下图所示,有有5横横8竖构成的方格图竖构成的方格图,从从A到到B只能上行或右行只能上行或右行共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线? 解解: 如图所示如图所示1234567将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个排法排法(5-1)+(8-1)=11格格:其中必有四个其中必有四个和七个和七个组成组成!所以所以, 四个四个和七个和七

10、个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从A到到B共有共有 5 14(5 1) (8 1)11CC条不同的路径条不同的路径. 4.消序法消序法(留空法留空法)也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，顺序一定的排列，有有种排法种排法.11114747AAA n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球个相同小球串成一串从间隙里选串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成个结点剪截成m段段.例例5. 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学

11、联赛,把把16个选手个选手名额分配到高三年级的名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班至少一个每班至少一个名额名额,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种.5.剪截法（隔板法）：剪截法（隔板法）：分析：分析： 问题等价于把问题等价于把16个相同小球放入个相同小球放入4个盒子个盒子里里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将将16个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 315455C种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有455种种 . n个个 相同小球放入相同小

12、球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球个相同小球串成一串从间隙里选串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成个结点剪截成m段段.变式：变式： 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选个选手名额分配到高三年级的手名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班的名额每班的名额不少于该班的序号数不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种.5.剪截法：剪截法：分析：分析： 问题等价于先给问题等价于先给2班班1个，个，3班班2个，个，4班班3个，个，再把余下的再把余

13、下的10个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒子每个盒子至少有一个小球的放法种数问题至少有一个小球的放法种数问题. 将将10个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 3984C 种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有84种种 .编号为编号为1至至n的的n个小球放入编号为个小球放入编号为1到到 n的的n个盒个盒子里子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编要求小球与盒子的编号都不同号都不同,这种排列称为这种排列称为错位排列错位排列.6.错位法：错位法：特别当特别当n=2,3,4,5时的

14、错位数各为时的错位数各为1,2,9,44.例例6. 编号为编号为1至至6的的6个小球放入编号为个小球放入编号为1至至6的的6个个盒子里盒子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球,其中恰有其中恰有2个小球与盒个小球与盒子的编号相同的放法有子的编号相同的放法有_种种.解：解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有选取编号相同的两组球和盒子的方法有 2615C 种种,其余其余4组球与盒子需错位排列有组球与盒子需错位排列有9种放法种放法.故所求方法有故所求方法有159135种种.变式：求其中恰有变式：求其中恰有2个小球与盒子的编号相同的概率个小球与盒子的编号相同的概率.7.剔除法剔除法 从总体中排除不

15、符合条件的方法数，这是从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法一种间接解题的方法. 例例7.四面体的顶点和各棱中点共四面体的顶点和各棱中点共10个点个点,在其在其中取中取4个不共面的点个不共面的点,不同的取法共有不同的取法共有_种种.解解：本题直接计数很困难：本题直接计数很困难,可用间接法，可用间接法，410210C故不同的取法共有故不同的取法共有210- 60-6-3141种种.从从10个点中取个点中取4个有个有 种方法种方法, 剔除四点共面的情况有剔除四点共面的情况有: (1)四点在同一表面三角形上的种数为四点在同一表面三角形上的种数为 46460C (2)一条棱上三点与其对

16、棱中点共面的种数为一条棱上三点与其对棱中点共面的种数为6 (3) 平行一组对棱过余下四中点共面种数有平行一组对棱过余下四中点共面种数有3种种.变式：求每两个点的连线中异面直线的对数变式：求每两个点的连线中异面直线的对数.8.科学分类法科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生. 例例8 任意相邻两个数码之和能被任意相邻两个数码之和能被3整除的五位数的个整除的五位数的个数是数是_ 分析

17、：分析：由题意，每相邻两个数码各自被由题意，每相邻两个数码各自被3除的余除的余数之和必为数之和必为0或或3.第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位第第4 4位位第第5 5位位所以，需要将十个数字所以，需要将十个数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分为三组：分为三组：第一组为：第一组为：0,3,6,9;第二组为：第二组为：1,4,7;第三组为：第三组为：2,5,8.例例8 任意相邻两个数码之和能被任意相邻两个数码之和能被3整除的五位数的个整除的五位数的个数是数是_ 分析：分析：由题意，每相邻两个数码各自被由题意，每相邻两个数码各自被3除的余除的余数之和必为数之和必为0或或3.第第1 1

18、位位第第2 2位位第第3 3位位第第4 4位位第第5 5位位所以，需要将十个数字所以，需要将十个数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分为三组：分为三组：第第1组为：组为：0,3,6,9;第第2组为：组为：1,4,7;第第3组为：组为：2,5,8.第一类：第一类：五个位置全部由第五个位置全部由第1组的数字填充，有组的数字填充，有 个；个； 第二类：第二类：三个奇位由第三个奇位由第2组的数填充，二个偶位由组的数填充，二个偶位由第第3组的数填充，有组的数填充，有 个；个； 第三类：第三类：三个奇位由第三个奇位由第3组的数填充，二个偶位由第组的数填充，二个偶位由第2组的数填充，有组的数填充，有

19、个个.所以共有符合题意的五位数所以共有符合题意的五位数 个个. 323343 432339.配对的问题配对的问题 如如“10位学生的父母参加了家长联谊会，一次位学生的父母参加了家长联谊会，一次集会中因某种原因仅来了集会中因某种原因仅来了8人，试求恰好有两位学生人，试求恰好有两位学生的父母来齐的概率的父母来齐的概率”的问题的问题. 分析：分析：首先，首先，20人来了人来了8人的所有可能为：人的所有可能为： 820nC其次，其次，20人来了人来了8人中恰好两对夫妻的可能为：人中恰好两对夫妻的可能为：先取出两对夫妻有先取出两对夫妻有 种取法；种取法； 210C再确定不是夫妻的再确定不是夫妻的4人有人

20、有 种方法；种方法； 48C1 42()C24141082()mCCC恰好有两位学生的父母来齐的概率为：恰好有两位学生的父母来齐的概率为：241 41082820()CCCmpnC 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍对答案进行取舍. 以上通过例题的形式，介绍了几类常见的排列以上通过例题的形式，介绍了几类常见的排列组合及古典概率的计算问题的分析和处理方法组合及古典概率的计算问题的分析和处理方法. 仅仅仅仅是起到一个抛砖引玉的作用是起到一个抛砖引玉的作用. 希望能使所有听课同学希望能使所有听课同学的思维得到升华的思维得到升华.综述与期望：综述与期望： 本讲到此结束，请同学们再关注下一讲本讲到此结束，请同学们再关注下一讲. 谢谢！谢谢！再见！