高等数学函数展开成幂级数课件.ppt
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- 关 键 词:
- 高等数学 函数 展开 幂级数 课件
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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在复习复习:)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式拉格朗日余项拉格朗日余项 .目录 上页 下页 返回 结束 )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为1) 对
2、此级数, 它的收敛域是什么 ?2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在为f (x) 的 泰勒级数泰勒级数 .麦克劳林级数麦克劳林级数 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 各阶导数, )(0 xU则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足:.0)(limxRnn证明证明 ,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xUxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xU
3、x设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 则这种展开式是唯一设 f (x) 所展成的幂级数为目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数
4、)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开目录 上页 下页 返回 结束 例例1xxfe)(展开成 x 的幂级数. 解解 ,e)()(xnxf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!211e32nxxnxxxnRlim!1n! ) 1(1nn0),(
5、x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 将函数目录 上页 下页 返回 结束 例例2xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解 )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx将目录 上页 下页 返回 结束 例例3mxxf)1 ()(展开成 x 的幂级数,
6、 其中m为任意常数 . 解解, 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 将函数易求出目录 上页 下页 返回 结束 推导 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(
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