黄安基第2章平面力系的简化和平衡课件.ppt
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1、理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡2012091220120912第二章第二章 平面力系的简平面力系的简化和平衡化和平衡2 21 1 平面汇交力系合成与平衡2 22 2 平面平面力偶系的合成与平衡23 平面任意力系的简化与平衡理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡网上作业系统网上作业系统1、告知作业网站的网址:、告知作业网站的网址:222.18.54.19homework。2、告知学生用户的初始密码都是:、告知学生用户的初始密码都是:123。3、开学三周之内改选过教学班的学生,需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课,使作业系统中的选课与教
2、务处网站上的选课结果相同。4、开学后才选课的学生,可先通过作业系统提交一份登录申请,并等候教师审批。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 平面力系包括平面基本力系平面基本力系和平面任意力系平面任意力系,平面基本力平面基本力系系包括平面汇交力系平面汇交力系和平面力偶系平面力偶系,它是研究复杂力系的基础。o平面汇交力系的定义:平面汇交力系的定义:各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。如图所示。本章研究的两个问题:本章研究的两个问题:平面汇交力系的合成与平衡问题。几何法和解析法。研究方法:研究方法:1F2FnF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡
3、应用由力三角形法则推广得到的力多边形法则,合应用由力三角形法则推广得到的力多边形法则,合力即为力多边形的封闭边。力即为力多边形的封闭边。 P34P342-1 平面汇交力系合成与平衡如下图所示。如下图所示。一、合成一、合成c2FRFd3Fab1FO1F3F2F用解析式表达为用解析式表达为321FFFFRnRFFFF.21niiF1F理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 平面汇交力系平衡的充要条件是:力多边形自行封闭,平面汇交力系平衡的充要条件是:力多边形自行封闭,即即 P35P35二、平衡二、平衡 0RF04321FFFF或或ab1Fc2Fd3F4FO1F2F3F4F理论
4、力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力矢量关系如何?合成结果是什么?矢量关系如何?合成结果是什么?思思 考考 题题(a)(d)(c)(b)理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 水平梁AB中点C作用着力F,其大小等于20kN,方向与梁的轴线成60角,支承情况如图a 所示,试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。 例例2-2-1 16030aa图 aF 解:1. 取梁AB作为研究对象。 FA = F cos30=17.3 kN2. 画出受力图。3. 作出相应
5、的力三角形。4. 由力多边形解出: FB = F sin30=10 kN30DCBA60FAFBFE6030HKFBFAF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡三、 力在坐标轴上的投影 由图a知,若已知力FR 的大小FR 和其与x轴、y轴的夹角为a、b,则absincosRRyFFFacosRxFF 即力在某个轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。当a、b为锐角时,Fx、Fy均为正值;当a、b为钝角时,Fx、Fy为负值。注意力在坐标轴上的投影是代数量注意力在坐标轴上的投影是代数量。xF图a力在坐标轴上的投影yxOBAabb1a1RFabyF理论力学电子教程
6、理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影与分力大小之间关系与分力大小之间关系 而如将力FR沿垂直的x、y坐标轴方向分解(图a),则所得分力 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。RyRxFF 、应注意应注意(1)力的投影是代数量,而力的分量是矢量; (2)力投影无所谓作用点,而分力必须作用在 原力的作用点。yxOBAabb1a1yFRFRxFxFRyF若已知FR在直角坐标轴上的投影为Fx和Fy,则由几何关系可求出力FR的大小和方向,即22yxRFFF22cosyxxFFFa22cosyxyFFFb式中 和 称为力 FR 的方向余弦。acos
7、bcos当Ox、Oy两轴不垂直时,则没有这个关系。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡思思 考考 题题 试分析在图示的非直角坐标系中,力试分析在图示的非直角坐标系中,力 沿沿 x、y轴方向的分力的大小与力轴方向的分力的大小与力 在在x、y 轴上的投影的大轴上的投影的大小是否相等?小是否相等?FFxyOF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即数和。即 P36P36四、四、 合力投影定理合力投影定理xnxxxxFFFFF21ynyyyyFFFFF21
8、这个定理也可很直观地理解,如下图表示这个定理也可很直观地理解,如下图表示adFcdFbcFabFxxxx,321因 ,故 cdbcabadxxxxFFFF321同理可得yyyyFFFF321yoxbdCABDcaF1F2F3Fo1F2F3F理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡五、合成五、合成 当应用合力投影定理求出力系的合力在直角坐标系下的当应用合力投影定理求出力系的合力在直角坐标系下的投影投影Fx x、Fy y后,可用下式求出合力的大小和方向后,可用下式求出合力的大小和方向2222)()(yxyxRFFFFF22)()(cosyxxRxFFFFFa式中a表示合力F与x
9、轴间所夹的锐角。合力指向由Fx 、Fy 的正负号用图判定。这种运用投影求合力的方法,称为解析法或投影法。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡即平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中各力在两个坐即平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中各力在两个坐标轴上的投影之代数和均等于零。标轴上的投影之代数和均等于零。由于提供的独立的方程有两个,故可以求解两个未知量。六、平六、平 衡衡 由几何法知:平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零,即0)()(2222yxyxRFFFFF因而0 xF0yF思考:若某刚体在5个力作用下平衡,其中4个力的作用线交于一点,另外一个力的作用线应该
10、满足什么条件。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡例例2-22-2 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向已知 kNFkNFkNFkNF1,25. 0,5 . 0,5 . 14321kNFFixRx332. 045cos160cos25. 05 . 0000kNFFiyRy99. 145sin160sin25. 005 . 100RFaxy1F2F3F4F060045先计算合力FR在x、y轴上的投影,有【解】【解】即 故合力 的大小为RFkNFFFRyRxR02. 222其方向余弦则为986. 0cos,164. 0cosRRyRRxFFFFba034.80a理论
11、力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 水平梁AB中点C作用着力F,其大小等于20kN,方向与梁的轴线成60角,支承情况如图a 所示,试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。 20120917例2-16030aa图 aF 解:1. 取梁AB作为研究对象。FA = F cos30=17.3 kN2. 画出受力图。30DCBA60FAFBF FB = F sin30=10 kNxyy1x1030sin60cos30cos, 0000BAxFFFF030cos60sin30sin, 0000BAFFFFy思考:可否向其它轴,如(思考:可否向其它轴,如(x1、y1)
12、投影?)投影? 可否向(可否向(x、x1)投影?结论?)投影?结论?P36、61理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡ABCD0900450300601F2F例2-4 如图所示结构ABCD,杆重及摩擦均可不计;在铰链B上作用着力 ,在铰链C上作用着力 ,方向如图。试求当机构在图示位置平衡时 和 两力大小之间的关系。 P691F1F2F2F首先可判断出BC是二力杆,作B铰、C铰的受力图【解】【解】分析铰B有:045cos, 0021BCxFFF22FFBC(1)分析铰C有:030cos, 001FFFCBx123FFCB(2)612. 0462112FF)、(理论力学电子教
13、程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向力的移动效应取决于力的大小和方向;为了度量力的转动效应,需引入力矩的概念。为了度量力的转动效应,需引入力矩的概念。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡一、力对点之矩一、力对点之矩(1)用扳手拧螺母;(2)开门,关门。 由下图及生活常识知,力F 使物体绕O点(某轴)转动的效应,不仅与力的大小,而且与转轴(平面上O点)到力的作用线的垂直距离d有关,故用乘积Fd 来度量力的转动效应。2-2-2 2 力面力偶系的合
14、成与平衡图2-1OAldBF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡该乘积根据力使物体的转动效应的不同,取适当的正负号称为力F对点O之矩,简称力矩,以符号 表示。即O点称为力矩的中心,简称矩心矩心;力矩的正负号:力使物体绕逆时针方向转动为正,反之为负。dFFMO)( 力矩的大小还可视为三角形OAB 的面积的两倍。 P39)(FMOO点到力F 作用线的垂直距离d,称为力臂。力臂。图2-1OAldBF应注意:应注意: 在平面问题中,力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向(力矩的正负),因此它是一个代数量代数量。力矩的单位: 国际制 Nm,kNm 工程制 公斤力米(kgfm)理
15、论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡二、二、力矩的性质:力矩的性质: P391、力对任一已知点之矩,不会因该力沿作用线移动而改变;Od图 2-2 (a) FABCDaFl 2ll理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 2、力的作用线如通过矩心,则力矩为零; 3、互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 反之,如果一个力其大小不为零,而它对某点之矩为零,则此力的作用线必通过该点。o图 2-2 (b) FO图 2-2 (c) 2F1F理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡三、三、 合力矩定理合力矩定理 P39表达式:证明:)()(R
16、FMFMOO)sin()(arFdFFMOxyFyFxOxydxyAaarFyFxF)()(xOyOFMFM)(FMO若作用在 A点上的是一组汇交力系 )()(RFMFMOO平面汇交力系合力对某一点之矩平面汇交力系合力对某一点之矩等于分力对同一点之矩的和。等于分力对同一点之矩的和。nFFF、.21)cossincos(sinaarFaasincoscossinrFrFABCDaFl 2llFllsin)cot3(aa理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡四、力偶和力偶矩四、力偶和力偶矩1、力偶的概念、力偶的概念
17、P41例如:丝锥、改锥(刀)、水龙头、方向盘等 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。力偶。并记作 。可用图2-4表示:),(FFd力偶臂力偶作用面图 2-3FFABCD图2-41F1FFF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡2、力偶矩、力偶矩 P42 其转动效应力对点之矩,即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。例如:dFxdFxFFMFMOO )()()(dFMdFFFM或),(dOxFF力偶对作用面内任意一点之矩与矩心位置无关力偶对作用面内任意一点之矩与矩心位置无关P42理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡思考题
18、思考题2-1 一力偶 作用在Oxy平面内,另一力偶 作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效,为什么?11, FF22, FFxyz图2-5O1F1F2F2F3、力偶的三要素、力偶的三要素(a)力偶矩的大小;(b)力偶的转向;(c)力偶作用面在空间的方位。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡4、力偶的性质、力偶的性质 P42中中(a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零;(b) 力偶不能合成为一力,或者说力偶没有合力,它是一它是一个基本力学量个基本力学量,它不能与一个力等效,因而也不能被一个力平衡;力偶只能由力偶来平衡力偶只能由力偶来平衡。(c
19、) 力偶对物体不产生移动效应,只产生转动效应,它只能改变物体的转动状态。d力偶臂力偶作用面图 2-6FFP62思2-4、2-5、2-6;P65(2-12)理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡DABCE0.6m0.3m0.5m0.4mMDABCE0.6m0.3m0.5m0.4mMDABCE0.6m0.3m0.5m0.4mFDABCE0.6m0.3m0.5m0.4mF判断A、D两处约束反力方向理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡作业:作业:今天交上次:全部交今天交上次:全部交布置本次:课后习题布置本次:课后习题2-32-3(c c)、()、(2-42
20、-4)、)、2-122-12理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡20120919五、平面力偶等效五、平面力偶等效定理定理 1、定理:在同一平面内(或两平行平面)的两个力偶,如它们的力偶矩的大小相等,而且转向相同,则此两力偶等效。例如:方向盘) ,() ,(11FFMFFMABCD图2-71F1FFF理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡),(),(),(PPQQFFFF)()(),(FMFMFFMAA),(),(PPMFFM证明:证明:考虑对刚体应用力的可传性两三角形同底等高 设有一力偶 ,如图所示 . 运用加减平衡力系的公理并注意到:FF,),(
21、),(PPFF图2-8ABABbaCDFPQPQF1P1P)()(),(PMPMPPMAAABCABDSS),(),(11PPMPPM),(),(11PPMFFM,2)(0ABDASFMABCASPM2)(0),(),(11PPPP理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡(1 1)推论)推论1 1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的转动效应。对刚体的转动效应。2、两个重要推论:两个重要推论:如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。( )ABaM( )ABCbM理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简
22、化和平衡(2 2)推论)推论2 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下,可在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下,可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。转动效应。如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。B( )Aad1F1F( )BAbD2F2F其中其中DFdF21注意:上述结论只适用于刚体,而不适用于变形体。注意:上述结论只适用于刚体,而不适用于变形体。理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡1 1、合成、合成20120320平面力偶系: 作用在物体上同一平面内的若干力偶的总作用在
23、物体上同一平面内的若干力偶的总称称。 , 或 nMMMM21MM1M2M3M2、平衡条件、平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是:力偶系中各力偶矩的代数和等于零,即利用这个平衡条件,可以求解一个未知量。 0M0)(FMOP65(2-14)、 P68(2-23C)理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 位于同一平面内且各力作用线既不汇交于一点,也不互相位于同一平面内且各力作用线既不汇交于一点,也不互相平行的力系。平行的力系。定义:定义:工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。图2-10所示钢桁梁桥简
24、图,在初步分析时可简化为平面一般力系。图2-10 钢桁梁桥简图1P2P3PEFAxFAyF23 平面任意力系的简化与平衡理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡如图2-11所示的屋架,它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化为平面一般力系。图2-11 屋架及计算简图(a)(b)平面汇交力系与力偶系合成结果回顾平面汇交力系与力偶系合成结果回顾理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡定理定理 :作用在刚体上某点A的力 F ,可以平行移动平行移动到刚体 上任意一点B,但必须同时附加一个力偶,其力偶 矩等于原力 F 对平移点B之矩。 P47证明:证明:如下图所示:
25、)(),()(FMFFMMFdFMBB 图2-12 力的平移定理的证明(a)ABdFBdAM=Fd(c)FFABd(b)FF 1、力的平移定理、力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡 可见,一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。力线平移定理的逆过程也成立BdAMFFABd=M/FFF ABdF 反之,一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力,也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。(a)ABdFBdAM=Fd(c)FFABd(b)FF 理论力学电子教程理论力学电子教程第二章 平面力系的简化和平衡图2-12 设在某一刚体上作用着平面一般
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