2022年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）（学生版+解析版）.docx

1、2022年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x22x80，Bx|x1，则AB（）A（1，4）B（1，2）C（4，+）D（2，+）2（5分）复数z=5+5i1-3i的实部与虚部之和为（）A1B1C3D33（5分）已知sin（+）+2sin（+2）0，则tan（+4）（）A3B3C13D-134（5分）已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（）A27B37C47D575（5分）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的

2、珍品，也是中国瓷器的主流品种之一已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）Ax216-y29=1Bx24-y23=1Cx28-y29=1Dx24-y216（5分）已知a=2，blog36，c0.90.2，则（）AbacBcbaCabcDbca7（5分）随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：下列结论正确的是（）A该款服装这3个月的销售额逐月递减B该

3、款服装这3个月的销售总额为23.69万元C该款服装8月份和9月份的销售额相同D该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额8（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，则异面直线B1D与CD1所成角的余弦值是（）A33B63C336D369（5分）已知函数f（x）2sin2x+3sin2x1，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2Bf（x）的图象关于点（-56，0）对称Cf（x）在，-2上单调递增Df（x+12）是奇函数10（5分）我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵已知堑堵ABCA1B1C1中，ABAC，AA

4、12BC，若堑堵ABCA1B1C1外接球的表面积是40，则堑堵ABCA1B1C1体积的最大值是（）A42B82C162D32211（5分）已知函数f（x）|x2+3x+1|a|x|恰有4个零点，则a的取值范围是（）A（5，+）B（1，5）C（1，+）D（0，1）（5，+）12（5分）已知函数f（x）4lnxkxk+8，若关于x的不等式f（x）0恒成立，则k的取值范围为（）A1，+）Be，+）C4，+）De2，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13（5分）已知向量a=(2，-3)，b=(-1，2)，且(a+kb)a，则k 14（5分）(2x-1x)7的展

5、开式中x2的系数是 （用数字作答）15（5分）如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以30km/h的速度匀速行驶，在A处测得马路右侧的一座高塔P的仰角为30，行驶5分钟后，到达B处，测得高塔P的仰角为45，AOB150，其中O为高塔P的底部，且O，A，B在同一水平面上，则高塔的高度是 km（塔底大小、汽车的高度及大小忽略不计）16（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F的直线l：xmym0与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且|AFBF|=2，则ABO（O为坐标原点）的面积是 三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为

6、必考题，每个试题考生都必须作答、第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）等差数列an的前n项和为Sn，a36，S990（1）求Sn的通项公式；（2）若bn=1Sn，求数列bn的前n项和Tn18（12分）某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标（1）从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；（2）从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，

7、记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望19（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BCAD，ADAB，E，F分别是棱AB，PC的中点（1）证明：EF平面PAD（2）若PAABBC，AD2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值20（12分）已知函数f（x）a（x1）（x+1）lnx（1）当a2时，求曲线yf（x）在xe处的切线方程；（2）若关于x的不等式f(x)x+10在（1，+）上恒成立，求a的取值范围21（12分）已知椭圆E：x24+y2=1的左、右顶点分别是A，B，且M，N是椭圆E上异于A，B的不同的两点（1）若kAMkAN=-14，

8、证明：直线MN必过坐标原点O；（2）设点P是以AM为直径的圆O1和以AN为直径的圆O2的另一个交点，记线段AP的中点为Q，若kAMkAN1，求动点Q的轨迹方程（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=3+2sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin+40（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（3，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值

9、选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）2|x+1|+|x3|（1）求不等式f（x）7的解集；（2）若a0，b0，且a+bM，其中M是f（x）的最小值，求1a+4b的最小值2022年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x22x80，Bx|x1，则AB（）A（1，4）B（1，2）C（4，+）D（2，+）【解答】解：集合Ax|x22x80x|2x4，Bx|x1，则ABx|x2故选：D2（5分）复数z=5+5i1-3i的实部与虚部之和为（）A1B1

10、C3D3【解答】解：z=5+5i1-3i=5(1+i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-2+4i2=-1+2i，复数z的实部和虚部之和为1+21故选：A3（5分）已知sin（+）+2sin（+2）0，则tan（+4）（）A3B3C13D-13【解答】解：因为sin（+）+2sin（+2）0，所以sin+2cos0，即tan2，所以tan（+4）=tan+tan41-tantan4=2+11-21=-3故选：B4（5分）已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（）A27B37C47D57【解答】解：从4名男生3名女生中选

11、2人的所有选法共有C72=21种选法，恰有1名女生被选到的情况有C31C41=12种选法，所以恰有1名女生被选到的概率P=1221=47故选：C5（5分）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）Ax216-y29=1Bx24-y23=1Cx28-y29=1Dx24-y21【解答】解：由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面的一个交点，设双曲线的方程为：x2a2-y2b2=1（a0，b0）花瓶的最

12、小直径A1A22a4cm，则a2，由已知可得M（4，3），故164-9b2=1，解得b=3，该双曲线的方程为：x24-y23=1故选：B6（5分）已知a=2，blog36，c0.90.2，则（）AbacBcbaCabcDbca【解答】解：因为121.5，0.90.21，所以ac，因为log32log33=0.5，所以log36log32+11.5，所以ba，故bac故选：A7（5分）随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：下列结论正确的是（）A该款服装这3个月的销售额逐月递减B该款服装这

13、3个月的销售总额为23.69万元C该款服装8月份和9月份的销售额相同D该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额【解答】解：由题意可知，该款服装7月份、8月份，9月份的销售额分别是5024%12万元，4015%6万元，4812.5%6万元，则这3个月的销售总额为24万元，故选项A，B，D错误，C正确故选：C8（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，则异面直线B1D与CD1所成角的余弦值是（）A33B63C336D36【解答】解：如图，连接A1C，记A1CB1DF，则F是A1C的中点取A1D1的中点E，连接B1E，EF，则EFCD1，则EFB1是异面直线B1D

14、与CD1所成的角或其补角设AB2，则B1E=5，EF=3，B1F=2由余弦定理可得cosEFB1=3+4-5232=36异面直线B1D与CD1所成角的余弦值是36故选：D9（5分）已知函数f（x）2sin2x+3sin2x1，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2Bf（x）的图象关于点（-56，0）对称Cf（x）在，-2上单调递增Df（x+12）是奇函数【解答】解：因为函数f（x）1cos2x+3sin2x12sin（2x-6），则函数的周期为T=22=，故A错误，当x=-56时，f（x）2sin2(-56)-6=2sin（-116）10，故B错误，当-x-2时，2x-6-136，-

15、76，根据正弦函数的单调性可得函数此时不单调，故C错误，由f（x）可得f（x+12）2sin2(x+12)-62sin2x，且2sin（2x）2sin2x，定义域为R，则函数f（x+12）为奇函数，故D正确，故选：D10（5分）我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵已知堑堵ABCA1B1C1中，ABAC，AA12BC，若堑堵ABCA1B1C1外接球的表面积是40，则堑堵ABCA1B1C1体积的最大值是（）A42B82C162D322【解答】解：分别取BC，B1C1的中点E，F，连接EF，如图所示，ABAC，A1B1A1C1，点E，F分别为ABC和A1B

16、1C1外接圆的圆心，设EF的中点为点O，则点O为堑堵ABCA1B1C1外接球的球心，设堑堵ABCA1B1C1外接球的半径为R，连接OA，AE，设BCa，则AA12a，在RtOAE中：OAR，OEa，AE=12BC=12a，R2=a2+(12a)2=54a2，又堑堵ABCA1B1C1外接球的表面积是40，4R240，R210，a22，设ABx，ACy，则x2+y2a28，堑堵ABCA1B1C1的体积V=12ACABAA1=12xy42=22xy2(x2+y2)=82，当且仅当xy2时，等号成立，即堑堵ABCA1B1C1体积的最大值是82，故选：B11（5分）已知函数f（x）|x2+3x+1|a|

17、x|恰有4个零点，则a的取值范围是（）A（5，+）B（1，5）C（1，+）D（0，1）（5，+）【解答】解：当x0时，f（0）10，所以x0不是f（x）的零点；当x0时，由f（x）0，即|x2+3x+1|a|x|0，得a=|x+1x+3|，则f（x）的零点个数等价于直线ya与函数y=|x+1x+3|图象有4个交点，作出函数y=|x+1x+3|的大致图象（如图所示），由图可知a（0，1）（5，+）故选：D12（5分）已知函数f（x）4lnxkxk+8，若关于x的不等式f（x）0恒成立，则k的取值范围为（）A1，+）Be，+）C4，+）De2，+）【解答】解：由题意可知函数f（x）的定义域为（0，

18、+），从而f（x）0等价于k（x+1）4lnx+8，即转化为函数yk（x+1）的图象恒在函数y4lnx+8的图象上方，结合图象可知，当直线yk（x+1）与曲线y4lnx+8相切时，k取得最小值设直线yk（x+1）与曲线y4lnx+8相切时，切点为A（x0，4lnx0+8）因为y4lnx+8，所以y=4x，则k0=4x0=4lnx0+8x0+1，整理得x0lnx0+x010设g（x）xlnx+x1，则g（x）lnx+2由g（x）0，得x1e2；由g（x）0，得0x1e2则g（x）在(0，1e2)上单调递减，在(1e2，+)上单调递增，从而g(x)min=g(1e2)=-2e2+1e2-1=-1e

19、2-10当0x1时xlnx0，x10，所以g（x）0，当x1时，g（1）0，则方程x0lnx0+x010有唯一解x01，即A（1，8），从而k04，故k4故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13（5分）已知向量a=(2，-3)，b=(-1，2)，且(a+kb)a，则k138【解答】解：根据题意，向量a=(2，-3)，b=(-1，2)，则a+kb=(2-k，-3+2k)因为(a+kb)a，所以（a+kb）a=2（2k）3（3+2k）0，即138k0，解得k=138；故答案为：13814（5分）(2x-1x)7的展开式中x2的系数是 448（用数字作答）

20、【解答】解：因为(2x-1x)7的展开式的通项为Tr+1=C7r(2x)7-r(-1x)r=(-1)r27-rC7rx7-3r2，令7-3r2=2，得r1，则T2=-26C71x2=-647x2=-448x2，所以x2的系数为448，故答案为：44815（5分）如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以30km/h的速度匀速行驶，在A处测得马路右侧的一座高塔P的仰角为30，行驶5分钟后，到达B处，测得高塔P的仰角为45，AOB150，其中O为高塔P的底部，且O，A，B在同一水平面上，则高塔的高度是 5714km（塔底大小、汽车的高度及大小忽略不计）【解答】解：由题意可知，PO平面AOB，PAO

21、30，PBO45，AOB150，AB30560=2.5，设塔高POx，则 BO=x，AO=3x，在AOB中，由余弦定理可得AB2BO2+AO22BOAOcosAOB，所以252=x2+3x2-2x3x(-32)，即7x22.52，解得x=5714，故答案为：571416（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F的直线l：xmym0与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且|AFBF|=2，则ABO（O为坐标原点）的面积是 3216【解答】解：抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，F（p2，0），过点F的直线l：xmym0与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，p2-m

22、=0，解得m=p2，直线l的方程为x=p2y+p2，联立x=p2y+p2y2=2px，得y2p2yp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2p2，y1y2p2，|AFBF|=2，y12y2，y2=-p2，2y222p4p2，解得p=22，y1-y2=32，ABO（O为坐标原点）的面积是：S=12|OF|y1-y2|=122432=3216故答案为：3216三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）等差数列an的前n项和为Sn

23、，a36，S990（1）求Sn的通项公式；（2）若bn=1Sn，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设数列an的公差为d，因为a36，S990，所以a1+2d=69a1+36d=90，解得a12，d2，故Snna1+n(n-1)2dn2+n（2）bn=1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1，所以Tn=(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+118（12分）某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图若日用电量不低于200度，

24、则称这一天的用电量超标（1）从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；（2）从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望【解答】解：（1）从这15天中随机抽取4天的情况有C154种，其中符合条件的情况有C101C53+C51种，故所求概率P=C101C53+C51C154=113（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X0）=C101C154=213，P(X=1)=C103C51C154=4091，P(X=2)=C102C52C154=3091，P(X=3)=C101C53C154=2

25、0273，P(X=4)=C51C154=1273，故X的分布列为：X01234P213 4091 3091 20273 1273 故E(X)=0213+14091+23091+320273+41273=4319（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BCAD，ADAB，E，F分别是棱AB，PC的中点（1）证明：EF平面PAD（2）若PAABBC，AD2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值【解答】（1）证明：取CD的中点G，连接EG，FG因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以FGPD，又FG平面PAD，PD平面PAD，所以FG平面PAD因为BCAD，且E

26、，G分别是棱AB，CD的中点，所以EGAD，又EG平面PAD，AD平面PAD，所以EG平面PAD因为EG，FG平面EFG，且EGFGG，所以平面EFG平面PAD因为EF平面EFG，所以EF平面PAD（2）解：以A为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AB2，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），E（1，0，0），P（0，0，2）因为F是棱PC的中点，所以F（1，1，1），所以AE=(1，0，0)，AF=(1，1，1)，CD=(-2，2，0)，CF=(-1，-1，1)设平面AEF的法向量为n=(x1，y1，z1)，则nAE=x1=0n

27、AF=x1+y1+z1=0，令y11，得n=(0，1，-1)设平面CDF的法向量为m=(x2，y2，z2)，则mCD=-2x2+2y2=0mCF=-x2-y2+z2=0，令x21，得m=(1，1，2)设平面AEF与平面CDF的夹角为，则cos=|cosm，n|=|mn|m|n|=162=36所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为3620（12分）已知函数f（x）a（x1）（x+1）lnx（1）当a2时，求曲线yf（x）在xe处的切线方程；（2）若关于x的不等式f(x)x+10在（1，+）上恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）a2时，f（x）2（x1）（x+1）lnx，f（x）2（x+1x

28、+lnx）1-1x-lnx，而f（e）e3，f（e）=-1e，故切线方程是：y（e3）=-1e（xe），即y=-1ex+e2；（2）若关于x的不等式f(x)x+10在（1，+）上恒成立，则f（x）0在（1，+）恒成立，即a(x+1)lnxx-1在（1，+）上恒成立，令g（x）=(x+1)lnxx-1，则g（x）=x-1x-2lnx(x-1)2，令h（x）x-1x-2lnx，则h（x）=(x-1)2x20，则h（x）在（1，+）上单调递增，故h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）在（1，+）单调递增，而limx1(x+1)lnxx-1=limx1（1+1x+lnx）2，故g（x）2，故a的取值

29、范围是（，221（12分）已知椭圆E：x24+y2=1的左、右顶点分别是A，B，且M，N是椭圆E上异于A，B的不同的两点（1）若kAMkAN=-14，证明：直线MN必过坐标原点O；（2）设点P是以AM为直径的圆O1和以AN为直径的圆O2的另一个交点，记线段AP的中点为Q，若kAMkAN1，求动点Q的轨迹方程【解答】（1）证明：设M（m，n），则m24+n2=1，即n2=1-m24=4-m24因为A（2，0），B（2，0），所以kAMkBM=nm+2nm-2=n2m2-4=-14因为kAMkAN=-14，所以kBMkAN，所以ANBM同理可证AMBN因为ANBM，AMBN，所以四边形ANBM为平

30、行四边形，因为O为AB的中点，所以直线MN必过坐标原点O（2）解：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx+t，M（x1，y1），N（x2，y2）联立x2+4y2=4y=kx+t，整理得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，则x1+x2=-8kt1+4k2，x1x2=4t2-41+4k2，y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=t2-4k21+4k2，因为kAMkAN1，所以AMAN=0，因为AMAN=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=4t2-41+4k2+-16kt1+4k2+4+16k21+4k2+t2-4k21+4k2，所以5t2-16kt+12k21+4k2=(5t

31、-6k)(t-2k)1+4k2=0，解得t=65k或t2k（舍去），则直线MN的方程为y=kx+65k=k(x+65)，所以直线MN过定点(-65，0)当直线MN的斜率不存在时，则直线MN的方程为x=-65，经验证，符合题意故直线MN过定点(-65，0)因为O1为AM的中点，O2为AN的中点，所以O1O2过定点H(-85，0)因为两圆相交的连心线O1O2垂直平分公共弦AP，所以点Q在以AH为直径的圆上运动，该圆的半径r=12|AH|=12(2-85)=15，圆心坐标为(-95，0)，故动点Q的轨迹方程为(x+95)2+y2=125(x-2)（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题

32、作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=3+2sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin+40（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（3，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值【解答】解：（1）由为x=2cosy=3+2sin（为参数），得x2+y26y+50，即曲线C的普通方程为x2+y26y+50由cossin+40，根据x=cosy=sin，得xy+40，即直线l的直角坐标方程为

33、xy+40（2）将直线l的方程转化为参数方程x=-3+22ty=1+22t（t为参数）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得t2-52t+9=0设A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=52，t1t29，故1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB|PA|PB|=|t1+t2|t1t2|=529选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）2|x+1|+|x3|（1）求不等式f（x）7的解集；（2）若a0，b0，且a+bM，其中M是f（x）的最小值，求1a+4b的最小值【解答】解：（1）函数f（x）2|x+1|+|x3|因为f（x）=1-3x，x-14-x，-1x33x-1，x3，所以f（x）7等价于x-11-3x7，或-1x34-x7，或x33x-17（3分）解得2x2，即不等式f（x）7的解集为2，2（5分）（2）由（1）可知f（x）f（1）4，即M4，则a+b4（6分）1a+4b=14(a+b)(1a+4b)=14(ba+4ab+5)，（8分）因为a0，b0，所以ba+4ab4，当且仅当a=43，b=83时，等号成立，（9分）则1a+4b94，故1a+4b的最小值为94（10分）第20页（共20页）