2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一模）（学生版+解析版）.docx

1、2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合Ax|2x2，B2，1，0，1，则AB（）A1，1，2B2，1，0，1C1，0，1D2，1，0，1，22（5分）已知i为虚数单位，若复数z=3-i1+i，则|z|（）A1B2C2D53（5分）关于双曲线C1：x2y22与C2：y2x22，下列说法中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同4（5分）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的

2、条件下，甲地也下雨的概率为（）A112B12C23D345（5分）已知等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n2）Bn（n1）Cn（n+1）Dn（n+2）6（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，BC2，P是线段AB上的动点，则|PC+4PD|的最小值为（）A35B6C25D47（5分）已知alog32，blog43，c=23，则（）AacbBcabCbacDbca8（5分）若函数f（x）ex+x32x2ax，则ae是f（x）在（0，+）有两个不同零点的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条

3、件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A众数是32B众数是5C极差是17D25%分位数是30（多选）10（5分）已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（xR），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点(8，0)中心对称Df（x）的图像关于直线x=-8轴对称（多选）11（5分）已知圆O：x2+y2

4、2，直线l：x+y40，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）A点P到圆心的最小距离为22B线段PA长度的最小值为22CPAPB的最小值为3D存在点P，使得PAB的面积为3（多选）12（5分）若6a2，6b3，则下列不等关系正确的有（）Aba1Bab14Ca2+b212D1a(b+13b)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）2cosxcos2x的最大值为 14（5分）若(2x-1x2)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 （用数字作答）15（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民

5、意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，A1ACA1AB60，BAC90，则四面体A1BB1C1的体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）从bsinC=3ccosB，b2+aca2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答）（1）求B；（2）若b2，ABC的面积

6、为3，求a18（12分）等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2+a414，b2b4a6，且bn0（1）求数列bn的通项公式；（2）已知：bn1000；mN+，使ambn设S为数列bn中同时满足条件和的所有的项的和，求S的值19（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认

7、为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）在甲先手局中，甲赢棋的概率为23，乙赢棋的概率为13；在乙先手局中，甲赢棋的概率为25，乙赢棋的概率为35若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（2k）0.100.050.10k2.7063.8416.63520（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形A

8、BCD是直角梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD2BC22（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的余弦值21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2，离心率为32，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN分别交直线x4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k，求证：kk为定值22（12分）已知f（x）ex1x（1）求证：对于xR，f（x）0恒成立；（2）若对于x（0，+），有f（x）a（x2xxlnx）恒成立，求实数a的

9、取值范围2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合Ax|2x2，B2，1，0，1，则AB（）A1，1，2B2，1，0，1C1，0，1D2，1，0，1，2【解答】解：Ax|2x2，B2，1，0，1，AB1，0，1故选：C2（5分）已知i为虚数单位，若复数z=3-i1+i，则|z|（）A1B2C2D5【解答】解：由z=3-i1+i，得|z|3-i1+i|=|3-i|1+i|=102=5故选：D3（5分）关于双曲线C1：x2y22与C2：y2x22，下列说法中错误的是（

10、）A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同【解答】解：双曲线C1：x2y22焦距4，顶点坐标（2，0），离心率2，渐近线方程yx，双曲线C2：y2x22焦距4，顶点坐标（0，2），离心率2，渐近线方程yx，故选：B4（5分）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（）A112B12C23D34【解答】解：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，P（A）=13，P（B）=14，P（AB）=16，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：P（A|B）=P(AB)P(B)=1614=23

11、故选：C5（5分）已知等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n2）Bn（n1）Cn（n+1）Dn（n+2）【解答】解：等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则a32=a2a5，即a32=(a3-2)(a3+4)，解得a34a1a340an的前n项和Sn=n(n-1)22=n(n-1)故选：B6（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，BC2，P是线段AB上的动点，则|PC+4PD|的最小值为（）A35B6C25D4【解答】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0

12、），C（2，0），设A（0，m），D（1，m），P（0，y），所以PC=（2，y），PD=（1，my），所以PC+4PD=（6，4m5y），所以|PC+4PD|=36+(4m-5y)2，当4m5y0，即AP=15AB时，|PC+4PD|取得最小值，为6故选：B7（5分）已知alog32，blog43，c=23，则（）AacbBcabCbacDbca【解答】解：alog32=13log3813log39log3323=23=c，blog43=12log2312log222=12log2232=34，所以b34，0a23=c，故bca故选：A8（5分）若函数f（x）ex+x32x2ax，则ae是f

13、（x）在（0，+）有两个不同零点的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）ex+x32x2ax，令f（x）0，则a=exx+x2x，令g（x）=exx+x2x（x0），则g（x）=xex-ex+2x3-2x2x2=0可得xexex+2x2x（ex+2x）（x1）0，解得x1，所以当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，当0x1时，g（x）0，g（x）单调递减，又当x0时，g（x）+，所以g（x）最小值为g（1）e1，f（x）在（0，+）上有两个不同零点的充要条件为函数g（x）与ya的图象在第一象限有2个交点，所以ae1，即f（x）有2个零点

14、的充要条件为ae1，又ae是ae1充分不必要条件，所以ae是f（x）在（0，+）有两个不同零点的充分不必要条件，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A众数是32B众数是5C极差是17D25%分位数是30【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；极差是452817，选项C正确；因为2025%5，

15、所以百分位数是30，选项D正确故选：ACD（多选）10（5分）已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（xR），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点(8，0)中心对称Df（x）的图像关于直线x=-8轴对称【解答】解：函数f（x）sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=22sin（2x-4）+12（xR），故它的最小值为1-22，故A错误；它的最小正周期为22=，故B正确；令x=8，求得f（x）=-12，可得f（x）的图像关于点（ 8，-12）中心对称，故C错误；令x=-8，求得f（x）=-22-12，为最小值，可得f（x）的图像

16、关于直线x=-8轴对称，故D正确；故选：BD（多选）11（5分）已知圆O：x2+y22，直线l：x+y40，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）A点P到圆心的最小距离为22B线段PA长度的最小值为22CPAPB的最小值为3D存在点P，使得PAB的面积为3【解答】解：点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d=1+1=22，故A正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小值为min2-r2=8-2=6，故B错误；由向量运算可知PAPB的最小值为PA长度的最小同时APB最大时，所以PA=6时，APB60，所以PAPB=66cos603，故C正确；由平面几何知识知线段

17、PA长度的最小时，PAB的面积最小值为SABP=1266sinAPB=3323，所以存在点P，使得PAB的面积为3故D正确；故选：ACD（多选）12（5分）若6a2，6b3，则下列不等关系正确的有（）Aba1Bab14Ca2+b212D1a(b+13b)2【解答】解：由6a2，6b3，得alog62，blog63，所以ba=log63log62=log231，故选项A正确；由6a6b6a+b236，得a+b1，又a0，b0，ab，所以ab(a+b)24=14，故选项B正确；由选项B可知a2+b2（a+b）22ab12ab1214=12，故选项C错误；由换底公式得a=ln2ln6，b=ln3ln

18、6，所以1a（b+13b）=ln6ln2（ln3ln6+ln63ln3），由ln3ln60，ln63ln30，且ln3ln6ln63ln3，得ln3ln6+ln63ln32ln3ln6ln63ln3=213，又ln6ln2ln4ln2=2，所以1a（b+13b）22132，故选项D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）2cosxcos2x的最大值为 32【解答】解：f（x）2cosxcos2x2cos2x+2cosx+1，设tcosx，t1，1，则g（t）2t2+2t+12(t-12)2+32，当t=12时，g（t）max=32，函数f（x）2c

19、osxcos2x的最大值为32，故答案为：3214（5分）若(2x-1x2)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 192（用数字作答）【解答】解：由已知可得2n64，则n6，所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1C 6r(2x)6-r(-1x2)r=C 6r26-r(-1)rx6-3r，令63r3，解得r1，则x3的系数为C 6125(-1)=-192，故答案为：19215（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是

20、 12【解答】解：记A与A分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，由题意可得，P（A）=58，P（A）=38，P（B|A）=35，P（B|A）=13，由全概率公式可得，P（B）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=5835+3813=12，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12，故答案为：1216（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，A1ACA1AB60，BAC90，则四面体A1BB1C1的体积为 26【解答】解：如图，设A1在底面ABC上的射影为O，A1ACA1AB60，O在BAC的角平分线上，过O作OEAB，垂足为E

21、，连接A1E，则A1EAB，在RtA1EA中，AA12，A1AB60，AE1，A1E=3，在RtAEO中，AE=3，OAE45，可得OE1，A1O=A1E2-OE2=2VA1-ABC=1312112=26，SABC=SA1B1C1，且A1到平面ABC的距离等于B到平面A1B1C1的距离，VA1-BB1C1=VB-A1B1C1=VA1-ABC=26即四面体A1BB1C1的体积为26故答案为：26四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）从bsinC=3ccosB，b2+aca2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答已知ABC中，角A，

22、B，C的对边分别为a，b，c，且_（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答）（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为3，求a【解答】解：（1）选择条件：由正弦定理及bsinC=3ccosB，知sinBsinC=3sinCcosB，因为sinC0，所以sinB=3cosB，所以tanB=sinBcosB=3，因为B（0，），所以B=3选择条件：由余弦定理知，cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，所以B=3（2）因为ABC的面积S=12acsinB=12ac32=3，所以ac4，由（1）知，b2+aca2+c2，所以4+4a2+c2，即8a2+(4a)2，化简得a48a2+1

23、60，解得a24，又a0，所以a218（12分）等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2+a414，b2b4a6，且bn0（1）求数列bn的通项公式；（2）已知：bn1000；mN+，使ambn设S为数列bn中同时满足条件和的所有的项的和，求S的值【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d和等比数列bn的公比为q，q0，由a1b11，a2+a414，b2b4a6，可得1+d+1+3d14，qq31+5d，解得d3，q2，则an1+3（n1）3n2，bn2n1；（2）bn1000，即2n11000，解得n1，2，3，.，10；mN+，使ambn，即3m22n1，可得m1，n1；m2，n3；

24、m6，n5；m22，n7；m86，n9所以S1+4+16+64+25634119（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就

25、获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）在甲先手局中，甲赢棋的概率为23，乙赢棋的概率为13；在乙先手局中，甲赢棋的概率为25，乙赢棋的概率为35若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（2k）0.100.050.10k2.7063.8416.635【解答】解：（1）22列联表如下： 先手局 后手局 合计 赢棋 45 10 55 输棋 30 15 45 合计 75 25100K2=100(4515-1030)2752555453.032.706，有90%的把握认为赢棋

26、与“先手局”有关（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，P（X2）=2325+1335=715，P（X3）1P（X2）=815，故X的分布列为：X 2 3 P 715815 故E（X）=2715+3815=381520（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD2BC22（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的余弦值【解答】（1）证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PAAB，PAAD，又ABAD，AB、AD、AP两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴

27、、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图，因为PAAB2，AD=2BC=22，则A（0，0，0），B（2，0，0），C(2，2，0)，D(0，22，0)，P（0，0，2），AC=(2，2，0)，BD=(-2，22，0)，PC=(2，2，-2)，因为ACBD=-22+222=0，BDPC=-22+222=0，所以ACBD，BDPC，即ACBD，BDPC，又因为ACPCC，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BD平面PAC（2）解：设平面PCD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量n2=(x2，y2，z2)，由CD=(-2，2，0)，PD=(0，22，-2)，PC=(2，2，-2)

28、，BC=(0，2，0)，得n1CD=-2x1+2y1=0n1PD=22y1-2z1=0，n2PC=2x2+2y2-2z2=0n2BC=2y2=0，令y1=2，得x11，z12；令x21，解得y20，z21，所以n1=(1，2，2)，n2=(1，0，1)，则|cosn1，n2|=|n1n2|n1|n2|=1+272=31414，所以二面角BPCD的余弦值为-3141421（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2，离心率为32，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN分

29、别交直线x4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k，求证：kk为定值【解答】解：（1）由题意可知，2b2，即b1，离心率e=ca=1-b2a2=32，则a2，c=3，所以椭圆C的方程：x24+y2=1；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程yk（x1），由y=k(x-1)x2+4y2-4=0，消去y，整理得（1+4k2）x28k2x+4k240，所以x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2-41+4k2，又A（2，0），所以直线AM的方程为：y=y1x1+2(x+2)，其与直线x4的交点为P(4，6y1x1+2)，同理Q(4，6y2x

30、2+2)，所以PQ的中点为G(4，3y1x1+2+3y2x2+2)，所以GE的斜率为k=3y1x1+2+3y2x2+24-1=y1x1+2+y2x2+2=y1(x2+2)+y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)=k(x1-1)(x2+2)+k(x2-1)(x1+2)(x1+2)(x2+2)=k2x1x2+(x1+x2)-4x1x2+2(x1+x2)+4 =k8k2-81+4k2+8k21+4k2-44k2-41+4k2+16k21+4k2+4=k8k2-8+8k2-4-16k24k2-4+16k2+4+16k2 =k-1236k2=-13k，所以kk=-1322（12分）已知f（x）ex1x

31、（1）求证：对于xR，f（x）0恒成立；（2）若对于x（0，+），有f（x）a（x2xxlnx）恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）证明：由f（x）ex1x，得f（x）ex11，（xR），令f（x）0，得x1，当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）f（1）0，对于xR，f（x）0恒成立（2）f（x）a（x2xxlnx），ex1xa（x2xxlnx），ex-1x-1=ex-1elnx-1a（x1lnx），即ex1lnx1a（x1lnx），令tx1lnx，则t=1-1x=x-1x，当x（0，1）时，t0，函数tx1lnx单调递减，当x（1，+）时，t0，函九tx1lnx单调递增，t11ln10，即t0，et1at，即et1at0对t0，+）恒成立，令g（t）et1at（t0），则g（0）e01a00，g（t）eta，若a0，g（t）0，g（t）在0，+）上单调递增，g（t）ming（0）0，g（t）0，符合题意，若a0，令g（t）0，得tlna，则当t（0，lna）时，g（t）0，g（t）单调递减，当tlna，+）时，g（t）0，g（t）单调递增，g（t）ming（lna）g（0）0，不符合g（t）0，综上，a0，a的取值范围是（，1第19页（共19页）