2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x|3，Bx|x+10，则A（RB）（）Ax|2x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|2x32（5分）已知复数z满足iz1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A异面或平行B异面或相交C异面D相交、平行或异面4（5分）已知sin(+)cos=-12，则tan2（）A34B43C43或34D125（5分）在平面直角坐标系

2、xOy中，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，且OMF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A3+1B32+1C2（3-1）D3+126（5分）国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效该企业对参与试验的1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如图表所示：年龄频率20，30）0.2030，40）0.3040，50）0.1050，60）0.2060，70）0.1070，800.1

3、0则下列结论正确的是（）A在受试者中，50岁以下的人数为700B在受试者中，抗体呈阳性的人数为800C受试者的平均年龄为45岁D受试者的疫苗有效率为80%7（5分）已知函数f（x）=13x3+4x，记等差数列an的前n项和为Sn，若f（a1+2）100，f（a2022+2）100，则S2022（）A4044B2022C2022D40448（5分）已知函数f（x）2sin（x-6）+b（0），若存在实数a，对任意的实数x都有f（a+x）+f（ax）2，且f（x）在区间0，1上有且仅有3个零点，则f（34）的取值范围是（）A1，-32）B1，3）C1，3+1）D0，3+1）二、选择题：本题共4小题

4、，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知二项式（x-12x）n的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有（）A展开式共有7项B二项式系数最大的项是第4项C所有二项式系数和为128D展开式的有理项共有4项（多选）10（5分）在ABC中，已知BC6，且BD=DE=EC，ADAE=8，则（）AAD=12AB+12AEBAE=23AB+13ACCAB2+AC2=36DABAC（多选）11（5分）已知点P（x0，y0）是直线l：x+y4上的一点，过点P作圆O：x2+y22的两条切线，切点分别为A

5、，B，连接OA，OB，则（）A当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）B|PA|的取值范围为6，+）C当PAB为等边三角形时，点P的坐标为（1，3）D直线AB过定点（12，12）（多选）12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an+1=an+(-2)n，n为奇数an+2n+1，n为偶数，则下列选项正确的是（）A数列an的奇数项构成的数列是等差数列B数列an的偶数项构成的数列是等比数列Ca138191DS10671三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）抛物线x24y上一点A（22，2）到焦点的距离为 14（5分）函数f（x）x3+lnx在点（1，f（1）

6、处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为 15（5分）已知ABC是等腰直角三角形，点P在平面ABC的同一侧运动，P到平面ABC的距离为6，三棱锥PABC的体积为18且其外接球的半径为5，则满足上述条件的点P的轨迹长度为 16（5分）已知函数f（x）9xm3x+m+6，若方程f（x）+f（x）0有解，则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an是等比数列，公比q0，且a3是2a1，3a2的等差中项，a532（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（2n+1）an，求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，在四棱锥PA

7、BCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，PAPDPB，BCDC=12AD2，E为AD的中点，且PE4（1）求证：PE平面ABCD；（2）记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，求线段BM的长19（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学当年毕业人数x（千人）3456自主创业人数y（千人）0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的

8、线性回归方程y=a+bx；（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴（）若该市E大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（）若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p1（12p1），该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围参考公式：回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx20（12分）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c是三个连续的

9、正整数，且abc，C2A（1）求a；（2）将线段AB绕点A顺时针旋转3到AD，求ACD的面积21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点E（2，322），左顶点为D，右焦点为F已知点P（0，2），且D，P，E三点共线（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线y32的垂线，垂足为G，求证：直线AG过定点22（12分）已知函数f（x）axlnx+1，g（x）（a2）x23ex2+2xlnx+1，aR（1）当a3时，判断函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷参

10、考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x|3，Bx|x+10，则A（RB）（）Ax|2x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|2x3【解答】解：Ax|3x3，Bx|x1，RBx|x1，A（RB）x|1x3故选：C2（5分）已知复数z满足iz1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：iz1+2i，z=-1+2ii=(-1+2i)ii2=2+i，z=2-i，复数z在复平面内对应的点（2，1），位于第四象限故选：D3（5分）若a和b是异面直线，b和c是

11、异面直线，则a和c的位置关系是（）A异面或平行B异面或相交C异面D相交、平行或异面【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，而a和c相交；若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面；故选：D4（5分）已知sin(+)cos=-12，则tan2（）A34B43C43或34D12【解答】解：因为sin(+)cos=-sincos=-tan=-12，所以tan=12

12、，则tan2=2tan1-tan2=2121-(12)2=43故选：B5（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，且OMF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A3+1B32+1C2（3-1）D3+12【解答】解：如图，OMF2为等边三角形，M（c2，32c），代入双曲线方程，可得c24a2-3c24c2-4a2=1，即e48e2+40，解得e=3+1（e1）故选：A6（5分）国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度某制药企业对某种新冠疫苗开

13、展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效该企业对参与试验的1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如图表所示：年龄频率20，30）0.2030，40）0.3040，50）0.1050，60）0.2060，70）0.1070，800.10则下列结论正确的是（）A在受试者中，50岁以下的人数为700B在受试者中，抗体呈阳性的人数为800C受试者的平均年龄为45岁D受试者的疫苗有效率为80%【解答】解：在受试者中，50岁以下的人数为1000（0.2+0.3+0.1）600，故选项A错误；在受试者中，抗体呈阳性的人数为6000.9+4000.85880，故选项B错误；受试

14、者的平均年龄为250.2+350.3+450.1+550.2+650.1+750.145，故选项C正确；受试者的疫苗有效率为8801000=88%，故选项D错误；故选：C7（5分）已知函数f（x）=13x3+4x，记等差数列an的前n项和为Sn，若f（a1+2）100，f（a2022+2）100，则S2022（）A4044B2022C2022D4044【解答】解：因为 f(-x)=-13x3-4x=-f(x)，f（x）是奇函数，因为f（a1+2）100，f（a2022+2）100，所以f（a1+2）f（a2022+2），所以a1+2+a2022+20，所以a1+a20224，所以S2022=2

15、0222(a1+a2022)=-4044故选：A8（5分）已知函数f（x）2sin（x-6）+b（0），若存在实数a，对任意的实数x都有f（a+x）+f（ax）2，且f（x）在区间0，1上有且仅有3个零点，则f（34）的取值范围是（）A1，-32）B1，3）C1，3+1）D0，3+1）【解答】解：因为f（a+x）+f（ax）2，所以f（x）的图象关于（a，1）对称，所以b1，所以f（x）2sin（x-6）+1（0），令f（x）0，则2sin（x-6）+10，即sin（x-6）=-12，因为x0，1，所以x-6-6，-6，因为f（x）在区间0，1上有且仅有3个零点，所以116-6196，则210

16、3，所以4334-673，则1sin（34-6）32，所以12sin（34-6）+13+1，即1f（34）3+1故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知二项式（x-12x）n的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有（）A展开式共有7项B二项式系数最大的项是第4项C所有二项式系数和为128D展开式的有理项共有4项【解答】解：令x1可得：(12)n=1128，解得n7，故该二项式为（x-12x）7，故展开式中共7+18项，故A错误；二项式系数最大的项为中间

17、的第4、5项，故B错误；所有二项式系数之和为27128，故C正确；展开式的通项为Tk+1=(-12)kC7kx7-3k2，k0，1，2，7，当k1，3，5，7时，为有理项，故D正确故选：CD（多选）10（5分）在ABC中，已知BC6，且BD=DE=EC，ADAE=8，则（）AAD=12AB+12AEBAE=23AB+13ACCAB2+AC2=36DABAC【解答】解：在ABC中，已知BC6，且BD=DE=EC，可知D，E是BC的三等分点，所以D是BE的中点，所以AD=12AB+12AE，所以A正确；AE=13AB+23AC，所以B不正确；AD=AB+13BC，AE=AB+23BC，所以ADAE

18、=8=AB2+ABBC+29BC2，可得AB2+ABBC=0，即AB(AB+BC)=0，即ABAC=0，所以D正确，同时满足AB2+AC2=36，所以C正确故选：ACD（多选）11（5分）已知点P（x0，y0）是直线l：x+y4上的一点，过点P作圆O：x2+y22的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则（）A当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）B|PA|的取值范围为6，+）C当PAB为等边三角形时，点P的坐标为（1，3）D直线AB过定点（12，12）【解答】解：对于A选项：当四边形OAPB为正方形时，则|OA|OB|AP|BP|，则圆O：x2+y2=2r=2，|PO|=(

19、2)2+(2)2=2，又点P（x0，y0）是直线l：x+y4 上的一点，设P（x0，4x0），|PO|=(x0-0)2+(4-x0-0)2=2x02-8x0+16=2，即x02-4x0+6=0，该方程0，x0无解，故不存在点P 使得OAPB为正方形，A错误；对于B选项：由A知，|PA|=|PO|2-|OA|2=|PO|2-2，|PO|=x02+(4-x0)2=2x0)2-8x0+16=2(x0-2)2+88，|PO|226，则 |PA|6，即PA的取值范围是6，+)，故B正确；对于选项C：若三角形PAB为等边三角形为等边三角形，易知APB60，又 OP平分APB，APOBPO30，在RtPAO

20、中，由于|OA|=2，sin30=|OA|OP|OP|=22，又 P点坐标为：（x0，4x0），x02+(4-x0)2=8，即 2x02-8x0+8=0(x0-2)2=0，x02，y02，故C错误；对于选项D：P（x0，4x0），|PO|=x02+(4-x0)2=2x02-8x0+16，记OP中点为 D(x02，4-x02)，则以D为圆心，|PO|2 为半径的圆与圆O的公共弦为AB，圆D方程为(x-x02)2+(y-4-x02)2=14(2x02-8x0+16)，整理得x2+y2x0x（4x0）y0，联立x2+y2-x0x-(4-x0)y=0x2+y2=2，化简得x0x+（4x0）y2，即得直

21、线方程为x0x+（4x0）y20，将 x=y=12 代入方程恒成立；故直线 AB 过定点 (12，12)，D正确故选：BD（多选）12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an+1=an+(-2)n，n为奇数an+2n+1，n为偶数，则下列选项正确的是（）A数列an的奇数项构成的数列是等差数列B数列an的偶数项构成的数列是等比数列Ca138191DS10671【解答】解：因为a1=1，an+1=an+(-2)n，n为奇数an+2n+1，n为偶数，所以a2=1+(-2)1=-1，a3=-1+23，a4=-1+23+(-2)3=-1，a5=-1+25，a6=a5+(-2)5=-1，a7=-

22、1+27，a8=-1，a9=-1+29，a10=-1，a11=-1+211，a12=-1，a13=-1+213=8191，可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，奇数项不是等差数列，S10a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a101+（1）+（1+23）+（1）+（1+25）+（1）+（1+27）+（1）+（1+29）+（1）1+9（1）+（23+25+27+29）=-8+23(1-44)1-4=672，故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）抛物线x24y上一点A（22，2）到焦点的距离为 3【解答】解：抛物线x24y上一点A（

23、22，2）到焦点的距离就是A到准线的距离，准线方程为：y1，所以抛物线x24y上一点A（22，2）到焦点的距离为2+13故答案为：314（5分）函数f（x）x3+lnx在点（1，f（1）处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为 98【解答】解：由f（x）x3+lnx，得f（x）3x2+1x，f（1）4，又f（1）1，函数f（x）x3+lnx在点（1，f（1）处的切线l为y14（x1），取x0，得y3，取y0，得x=34切线l与两坐标轴围成的三角形面积为S=12343=98故答案为：9815（5分）已知ABC是等腰直角三角形，点P在平面ABC的同一侧运动，P到平面ABC的距离为6，三棱锥PABC的

24、体积为18且其外接球的半径为5，则满足上述条件的点P的轨迹长度为 221【解答】解：如图所示，由ABC是等腰直角三角形，可得ABBCx，又由P到平面ABC的距离为6，三棱锥PABC的体积为18，可得1312x26=18，解得x=32，所以AC6，因为其外接球的半径R5，可得52=AO12+OO12=32+OO12，解得OO14，即圆心O到平面ABC的距离为4，又因为点P到平面ABC的距离为6，所以球心O到点P轨迹所在圆的距离为2，设点P的轨迹所在圆的半径为r，可得r=52-22=21，所以点P的轨迹长度为2r2=2(21)2=221故答案为：22116（5分）已知函数f（x）9xm3x+m+6

25、，若方程f（x）+f（x）0有解，则实数m的取值范围是 214+4，+）【解答】解：函数f（x）9xm3x+m+6，f（x）+f（x）0即9xm3x+m+6+9xm3x+m+60，可得：（3x+3x）2m（3x+3x）+2m+100，令t3x+3x，则t2，可得t2mt+2m+100，即m（t2）t2+10有解，显然t2无意义，故t2，m=t2+10t-2=(t-2)2+4(t-2)+14t-2=t2+14t-2+4214+4，当且仅当t=14+2时等号成立，故答案为：214+4，+）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an是等比数

26、列，公比q0，且a3是2a1，3a2的等差中项，a532（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（2n+1）an，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）依题意得：2a1q2=2a1+3a1q，a10，2q23q20，q0，q2，又a5=a1q4=32解得a12，an=22n-1=2n（2）bn=(2n+1)2n，Tn=321+522+723+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n，2Tn=322+523+724+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1，相减得：-Tn=6+2(22+23+2n)-(2n+1)2n+1，-Tn=6+24(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n+1，整理得：Tn

27、=2+(2n-1)2n+118（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，PAPDPB，BCDC=12AD2，E为AD的中点，且PE4（1）求证：PE平面ABCD；（2）记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，求线段BM的长【解答】解：（1）证明：连接BE，BC=12AD=DE=2，ADBC，BCDE，且BCDE，四边形BCDE为平行四边形，BECD2，PAPD，且E为AD的中点，PEAD，PD=PE2+DE2=16+4=25，PB=PD=25，PE2+BE2PB2，即PEBE，又ADBEE，PE平面ABCD（2）以

28、E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，4），AB=（2，2，0），PB=（0，2，4），设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则nAB=-2x+2y=0nPB=2y-4z=0，取z1，得n=（2，2，1），设BMt（t0，2），则M（t，2，0），N（0，0，2），MN=（t，2，2），平面PAB的法向量为n=（2，2，1），设直线MN与平面PAB所成的角为，则sin=|cosMN，n|=|2t-4+2t2+4+49|=39化简得11t224t+40，解得t2或t=211，满足t0，2

29、，故线段BM的长度为2或21119（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学当年毕业人数x（千人）3456自主创业人数y（千人）0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程y=a+bx；（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴（）若该市E大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（

30、）若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p1（12p1），该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围参考公式：回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx【解答】解：（1）由题意得x=3+4+5+64=4.5，y=0.1+0.2+0.4+0.54=0.3，i=14 xiyi=6.1，i=14 xi2=86，b=i=14 xiyz-4xyi=14 xy2-4x-2=6.1-44.50.386-81=0.14，所以a=y-bx=0.3-0.144.5=-0

31、.33，故得y关于x的线性回归方程为y0.14x0.33；（2）（i）将x7代入，y0.14x0.330.1470.330.65，所以估计该市政府需要给E大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为0.6510001650（万元）；（ii）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2，P（X0）（1p）（22p）2p24p+2，P（X1）（1p）（2p1）+p（22p）4p2+5p1，P（X2）p（2p1）2p2p，E（X）0（2p24p+2）+（4p2+5p1）1+（2p2p）23p1，E(1X)=1(3p-1)1.4p45，12p1，12p45，故p的取值范围为(

32、12，4520（12分）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c是三个连续的正整数，且abc，C2A（1）求a；（2）将线段AB绕点A顺时针旋转3到AD，求ACD的面积【解答】解：（1）abc且a、b、c是三个连续的正整数，可得ab1，cb+1，由正弦定理得b-1sinA=b+1sinC=b+1sin2A=b+12sinAcosA，cosA=b+12(b-1)，又由余弦定理得cosA=b2+(b+1)2-(b-1)22b(b+1)=b+42(b+1)，b+12(b-1)=b+42(b+1)，解得b=5，a4（2）由（1）知a4，b5，c6，cosBAC=52+62-422

33、56=34，sinBAC=1-cos2BAC=1-(34)2=74，将线段AB绕点A顺时针旋转3到AD时，分两种情况如下：（i）如图1：=1274+3234=7+338，SACD=12567+338=453+1578；（ii）如图2：cosCAB=3412，0CAB，CAB3，可得sinCAD=sin(3-BAC)=32cosBAC-12sinBAC=3234-1274=33-78，SACD=125633-78=453-1578，综上所述，ACD的面积为453+1578或453-157821（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点E（2，322），左顶点为D，右焦点为F已知

34、点P（0，2），且D，P，E三点共线（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线y32的垂线，垂足为G，求证：直线AG过定点【解答】解：（1）依题意，2a2+92b2=1，又P（0，2）是y轴上一点，且P，D，E三点共线，所以2-00-(-a)=322-22-0，解得a22，代入2a2+92b2=1，得b26，所以，椭圆C的方程为x28+y26=1（2）证明：当A（22，0），B（2，322）时，G（2，32），直线AG的方程为yx+22，当A（0，-6），B（0，6）时，G（0，32），直线AG的方程为x0 联立得：yx+22与x0交于点（0，22），

35、下面证明直线AG经过y轴上定点（0，22）联立y=kx+2x28+y26=1，消y整理，得（4k2+3）x2+82kx-16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=-82k4k2+3，x1x2=-164k2+3，G（x2，32）所以直线AG的方程：y-32=y1-32x1-x2(x-x2)令x0，得y=-x2y1+32x2x1-x2+32=32x1-x2y1x1-x2=32x1-x2(kx1+2)x1-x2=32x1-2x2-kx1x2x1-x2因为kx1x2=-16k3+4k2=2（x1+x2），所以y=32x1-2(x1+x2)x1-x2=22x1-22x2x1-x2=22

36、所以直线AG过定点（0，22）22（12分）已知函数f（x）axlnx+1，g（x）（a2）x23ex2+2xlnx+1，aR（1）当a3时，判断函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）法1：当a3时，f（x）3xlnx+1，f（x）3（lnx+1），由f（x）0得x1e；由f（x）0得0x1e，（1分）f（x）在(0，1e)上是减函数，在(1e，+)上是增函数，f(x)min=f(1e)=e-3e0（2分）又f(1e2)=e2-6e20，f（1）10，f(1e2)f(1e)0，f(1e)f(1)0，（3分）f（x）在（0，1e）和（1e，+

37、）上各有一个零点，所以函数f（x）有2个零点（4分）法2：当a3时，f（x）3xlnx+1，由f（x）0，可得3xlnx+1=0，xlnx=-13，记（x）xlnx，（x）lnx+1，（1分）由（x）0得：x1e；由（x）0得：0x1e，（2分）（x）在(0，1e)上是减函数，在(1e，+)上是增函数，当0x1时（x）0，x1时（x）0，(x)min=(1e)=-1e-13，（3分）(x)=-13有2个解，即函数f（x）有2个零点（4分）（2）axlnx（a2）x23ex2+2xlnx（x0），alnx(a-2)x-3ex-2x+2lnx，a(x-lnx)3ex-2x+2(x-lnx)，（6分）a（xlnx）3exlnx2+2（xlnx），令x-lnx=t，t=1-1x=x-1x(x0)，（8分）由t0得x1；由t0得0x1，txlnx在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，x1时，tmin1，t1，a3et-2t+2对t1恒成立，记h(t)=et-2t(t1)，h(t)=et-2t-et-2t2=et-2(t-1)t2，t1，h（t）0，（10分）h（t）在1，+）为增函数，h(t)h(1)=1e，a3e+2，即实数a的取值范围是（，3e+2（12分）第22页（共22页）