近世代数课件21-群的定义.ppt
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- 关 键 词:
- 近世 代数 课件 21 定义
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1、1.1引例引例例1 集合 上所有一一变换.引入记号:1,2,3A 123456123123123,123132321123123123,213231312例2 保持平面上正不变的保距变换. 123456,G , 具有乘法运算(映射复合),满足性质: 对于乘法来说是闭的: 对于 ;G, a bGabG结合律成立: ,对于 ;()()a bcab c, ,a b cG 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元;GeeaaGae对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的左逆元.GaG1a1a ae1aa例例3 保持 中多项式 不变的变换.1
2、234 ,F x x x x1234fx xx x1.2群的第一定义及例子群的第一定义及例子 群的定义群的定义I我们说,一个不空集合对于 一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:GIII 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元;GeeaaGae 对于乘法来说是闭的: 对于 ;G, a bGabG结合律成立: ,对于 ;()()a bcab c, ,a b cG 对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的左逆元.GaG1a1a ae1aa注注1 群群 与运算联系在一起.G例例4. (平凡群) 只包含一个元 乘法是 对于这个乘法来说
3、作成一个群GggggG例例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正反面的例子 .nU 例例6 在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子.例例7 向量空间是一个加法群例例8 (重新定义的运算) 在 上定义运算 判断判断 关于给定的运算是否构成群.Z ZZ Z1abab注注2 群群定义中, I和II 是验算, III和IV 需要找元素.注注3 III和IV有逻辑先后.作业作业: 判断下列是否构成群判断下列是否构成群(1) 在 Z Z2ababQababa b上定义运算(2) 在在上定义运算上定义运算 1.3 群的第二定义群的第二定义引理引理1 一个左逆元一定也是一个右逆元, 这句话的意思是:1a
4、 ae1aae证明证明 有元 有左逆元 ,使得一方面, 但另一方面, 所以 G1aa1aae11111()()()()aaaae aaea aaa111111()()()()aaaaaa a aa eaaae1aae引理引理2 一个左单位元一定也是一个右单位元这就是说:eaaaea 1()aea a aa证明证明: 群的定义群的定义II我们说,一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:G 对于乘法来说是闭的: 对于 ;G, a bGabG结合律成立: ,对于 ;()()a bcab c, ,a b cGIII 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右
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