量子力学中的对称性课件.ppt
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- 量子力学 中的 对称性 课件
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1、第4章 量子力学中的对称性 本章是关于对称性、兼并和守恒律的一般性理论讨论。本章是关于对称性、兼并和守恒律的一般性理论讨论。 4.1 对称性、守恒律和简并一、经典物理中的对称性n对拉格朗日函数:n若 ,即广义动量为运动常数.n类似地,若用哈密顿函数 的正则方程来讨论:LTVL(q ,q )dpLdL0, ()0qdtqdt则HLp q HH q, ppqH0pq .若,则是运动常量二、量子力学中的对称性n量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符T相联系的,习惯上T常被称作对称算符。n若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.n对无穷小变化的操作,T可写为, 其中G是该对称操作的厄
2、米生成元。n若H在T作用下不变, 则根据海森堡运动方程,有 ,即G是运动常量。n如动量是平移的生成元,若H在平移操作下不变,则动量是运动常量(守恒)。类似的,若H在转动下不变,则转动的生成元角动量守恒。n从态矢变化的角度看,若G与H对易,则 保持是G的本征态,且G的本征值不变:n即使初始态矢不是G的本征态,G的期望值也是不变的(守恒)。GiT1, G,H0, T HTH即 ()0HdGdt00g ,t ;tU(t,t ) g 0G g ,t ;tGU gUG gg U g三、简并n若H,T=0,T为某对称算符,|n为本征值为En的能量本征态,则T|n也是相同能量的能量本征态。如果T|n与|n是
3、不同的态,则称它们是能量简并态,体系有简并。有时T由连续参量表征T=T(),此时所有的T()|n态都简并(但简并度只是独立的T()|n态数)。n如对转动, 可构造H, J2, Jz的共同本征态|n;j,m。由上所知,所有D(R) |n;j,m态能量简并。n由于 ,改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm的组合,故不同m的|njm是简并的,简并度简并度为2j+1。n从H,J=0和J作用于|njm,也可知其有2j+1简并度n作为应用,考虑原子中电子的状态,其所受势为 。由于该势在转动下不变,故原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场,则电子所受的势不再在转动下不变,简并被(部分)消除。2
4、( ),0, ,0, ,0,D R HJ HJH则 mjmmRDmnjnjmRD)()()( )( )lsV rVr L S4.2 分离对称性,宇称或空间反演 n上面讨论的是连续性对称操作,即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式,可有分立而非连续的对称操作,如宇称,晶格平移和时间反演。n宇称或空间反演操作将r变为-r,而右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。对称操作的两种等价方式:主动与被动一、宇称算符的基本性质n对|,用幺正算符表示宇称算符,| |。n 要求位置算符的期望值变号,即n则有n位置本征态|x在宇称作
5、用下变为本征值为-x的态:n故n由于用作用两次体系必恢复原状,故2=1n=-1=+,是厄米的。n对的本征态|,因|=2|,知=1xx 0 xxxxx 或 ,即 与 反对易xxx xx (x ) iixe-xe1. ,通常取二、算符在宇称操作下的变换n由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移:n有n或p,=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。n对轨道角动量L=xxp,可预期L,=0.n对一般角动量,考虑到R(宇称)=-I,宇称和转动操作对易,故量子力学中的相应幺正算符也对易: D(R)=D(R) ,J=0.,)xd(T)xd(Tip dxip dx(1)1, pp 三、矢量和赝矢量n在转
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