第38讲 圆与方程(解析版).docx
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1、第38讲 圆与方程【高考地位】圆的方程是高考中的热点问题之一,解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理,求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解,在高考中通常是以易题出现,主要以选择题、填空题形式考查,其试题难度属中档题.类型一 求圆的方程万能模板内 容使用场景确定一个圆的方程解题模板第一步 根据已知条件恰当设出圆的方程的形式;第二步 结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数;第三步 得出结论.例1 以为圆心,且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为( )A BC D【答案】.【解析】试题分析:因为两条直线与的距离为,所以所求圆的
2、半径为,所以圆心到直线的距离为即或,又因为圆心到直线的距离也为,所以,所以所求的标准方程为,故应选.考点:直线与圆的位置关系.【点评】求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.【变式演练1】【北京市第一六一中学2021届高三上学期期中考试】圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是( )ABCD【答案】A【分析】根据圆的标准方程得到
3、圆心坐标,代入直线方程验证是否满足,再把点代入所给的选项验证是否满足,逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为,满足,即圆心在直线,代入,即成立,正确;B. 圆心,满足,即圆心在直线,代入,错误;C. 圆心,满足,即圆心在直线,代入,错误;D. 圆心,满足,即圆心在直线,代入,错误. 故选:A.【变式演练2】已知圆与倾斜角为的直线相切于点,且与曲线相外切,则圆的方程为( )A,B,C,D,【来源】河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学(理)试题【答案】D【分析】求出直线方程为,设出圆的方程,构建方程组即可得到结果.【详解】过点且倾斜角为的直线方程为,即,设圆的圆心为,半径
4、为,由题意直线垂直于直线,故,可得,两圆相切,有,(1)时,解得,圆的方程为;(2)时,解得,圆的方程为;故选:D【变式演练3】【四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测数学(理科)】阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262-190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若定点为,写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程_;中,则当面积的最大值为时,_.【答案】 【分析】(1)设动点为,则或,化简即得阿波罗尼斯圆的标准方程;(2)设,得到点的轨迹
5、方程是,再求出圆的半径为,解方程即得解.【详解】(1)设动点为,则或,所以或,化简得.所以的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为.(2)设,因为,所以,所以,点的轨迹是图中的圆.当面积的最大值为时,轴,此时就是圆的半径,所以圆的半径为.所以.故答案为:;.类型二 与圆有关的最值问题万能模板内 容使用场景求与圆有关的最值问题解题模板第一步 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析 ;第二步 运用数学结合及转化的数学思想进行求解;第三步 得出结论.例2 已知实数x、y满足方程x2y24x10. 求:(1)的最大值和最小值;(2) 的最小值;(3)的最大值和最小值.【答案】(1);(2);(3).
6、【点评】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化极为常见,要注意熟记:(1)形如m的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如taxby的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.【变式演练4】已知定直线l的方程为,点Q是直线l上的动点,过点Q作圆的一条切线,是切点,C是圆心,若面积的最小值为,则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为( )AB2CD【来源】“超级全能生”2021届高三3月份高考数学(理)联考试题(丙卷)【答案】B【分析
7、】由题意可得直线l的方程为,再求出圆C的圆心坐标与半径,由面积的最小值为求得,再由点到直线的距离公式求解k,可得直线l的方程,进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值【详解】解:由题意可得直线l的方程为,圆C的圆心,半径为1,如图:,又,当取最小值时,取最小值,此时,可得,则,解得,则直线l的方程为,则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为故选:B【变式演练5】将函数的图象绕点逆时针旋转,得到曲线,对于每一个旋转角,曲线都是一个函数的图象,则最大时的正切值为( )ABCD【来源】山东省青岛市2021-2022学年高三上学期开学考试数学试题【答案】B【分析】先画出函数的图象
8、,然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时,曲线都不是一个函数的图象,求出此角即可【详解】解:由,得,则函数的图像是以为圆心的圆的一部分,先画出函数的图象,这是一个圆弧AB,圆心为,如图所示,由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时,曲线都不是一个函数的图象,即当圆心在x轴上时,所以最大值即为,所以最大时的正切值为.故选:B.【变式演练6】【浙江省长兴、余杭、缙云2020届高三下学期模拟】已知直线l与单位圆O相交于,两点,且圆心O到l的距离为,则的取值范围是( )ABCD【答案】A【分析】根据题意,用特例设出符合条件的直线与圆的方程,再联立解方程组逐项排除可得答案.【详解】圆的方程
9、为,圆心到直线的距离为,交于与,由与联立得或,则,排除BD;圆心到直线的距离为,交于和设与联立得或则,排除D,故选:A.类型三 与圆有关的轨迹问题万能模板内 容使用场景与圆有关的轨迹问题解题模板第一步 结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法等;第二步 得出结论.例3 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A BC D【答案】A【解析】试题分析:设圆上任一点为,中点为,根据中点坐标公式得,因为在圆上,所以,即,化为,故选A.考点:1、圆的标准方程;2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程,属于难题.求轨迹方程的
10、常见方法有:直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;逆代法,将代入.本题就是利用方法求的轨迹方程的.【变式演练7】棱长为2的正方体,E,F分别为棱AB与上的点,且,则EF的中点P的轨迹为L,则L的长度为_.【来源】重庆市第一中学校2021届高三下学期第三次月考数学试题【答案】【分析】如图,设,则,可以以为长、宽、高构成长方体,为体对角线,则可得(),可得点的轨迹是一个的圆弧,且,所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧,从而可得答案【详解】如图,设,则,可以以为长、宽、高构成长方体,为体
11、对角线,所以,所以(),所以,因为,所以图中点的轨迹是一个的圆弧,且,因为为的中点,所以的高度始终为,所以的轨迹在一个水平面内,所以可平移到底面,即为的中点,可设,则,的中点为,所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧,所以长度为,故答案为:【变式演练8】【2020高考命题专家预测密卷文科】已知圆,是圆上两点,点且,则线段中点的轨迹方程是_.【答案】【分析】依题意设是线段的中点,则,可得,在中利用勾股定理计算可得;【详解】解:如图所示,是线段的中点,则,因为,于是,在中,由勾股定理得,整理得的轨迹是.故答案为:【高考再现】1(2021北京高考真题)已知圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2,则
12、( )ABCD【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为,半径为2,则圆心到直线的距离,则弦长为,则当时,弦长取得最小值为,解得.故选:C.2(2021全国高考真题)已知点在圆上,点、,则( )A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小时,D当最大时,【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离,可得出点到直线的距离的取值范围,可判断AB选项的正误;分析可知,当最大或最小时,与圆相切,利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为,半径为,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的距离的最小值为,最大值为,A选项正确
13、,B选项错误;如下图所示:当最大或最小时,与圆相切,连接、,可知,由勾股定理可得,CD选项正确.故选:ACD.【点睛】结论点睛:若直线与半径为的圆相离,圆心到直线的距离为,则圆上一点到直线的距离的取值范围是.3.【2020年高考全国卷理数11】已知,直线,为上的动点,过点作的切线,切点为,当最小时,直线的方程为( )ABCD【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且,根据可知,当直线时,最小,求出以为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线的方程【解析】圆的方程可化为,点到直线的距离为,直线与圆相离依圆的知识可知,四点四点共圆,且,而,当直线时,此时最小即
14、,由解得,以为直径的圆的方程为,即,两圆的方程相减可得:,即为直线的方程,故选D【专家解读】本题考查了考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,考查数学运算、直观想象等学科素养解题关键是圆的几何性质的应用4.【2020年高考全国卷文数6】已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A B C D 【答案】B【思路导引】根据直线和圆心与点连线垂直时,所求的弦长最短,即可得出结论【解析】圆化为,圆心坐标为,半径为,设,当过点的直线和直线垂直时,圆心到过点的直线的距离最大,所求的弦长最短,根据弦长公式最小值为,故选B【专家解读】本题考查了考查直线与圆位置关系的应用,考
15、查圆的几何性质的应用,考查数学运算、直观想象等学科素养解题关键是圆的几何性质及勾股定理的应用5.【2015高考四川,文10】设直线l与抛物线y24x相交于A,B两点,与圆C:(x5)2y2r2(r0)相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)【答案】D【解析】不妨设直线l:xtym,代入抛物线方程有:y24ty4m0,则16t216m0又中点M(2t2m,2t),则kMCkl1,即m32t2,当t0时,若r5,满足条件的直线只有1条,不合题意,若0r5,则斜率不存在的直线有2条,此时只需对
16、应非零的t的直线恰有2条即可. 当t0时,将m32t2代入16t216m,可得3t20,即0t23,又由圆心到直线的距离等于半径,可得dr,由0t23,可得r(2,4).选D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念,考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题,考查数形结合和分类与整合的思想,考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题,注意到弦的斜率不可能为0,但有可能不存在,故将直线方程设为xtym,可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中,要注意图形的对称性,斜率存在时,直线必定是成对出现,因此,斜率不存在(t0)时也必
17、须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.6.【2020年高考全国卷文数8】若过点的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为( )A B C D【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为,可得圆的半径为,写出圆的标准方程,利用点在圆上,求得实数的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离【解析】由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,圆心必在第一象限,设圆心的坐标为,则圆的半径为,圆的标准方程为由题意可得,可得,解得或,圆心的坐标为或,圆心到直线的距离均为,圆心到直线的距离
18、为故选B【专家解读】本题考查了考查直线与圆位置关系的应用,考查圆的几何性质的应用,考查点到直线距离公式,考查数学运算、直观想象等学科素养解题关键是应用圆的几何性质求圆的方程7【2020年高考北京卷5】已知半径为的圆经过点,则其圆心到原点的距离的最小值为( )A B C D 【答案】A【解析】由题意知圆心在以为圆心,为半径的圆上,所以圆心到原点的距离的最小值为,故选A【专家解读】本题考查了点与圆的位置关系,考查两点间距离公式,考查数学运算、直观想象等学科素养解题关键是熟记有关公式8.【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中,已知,是圆:上的两个动点,满足,则面积的最大值是_【答案】【解析】
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