概率论与数理统计第三章课件.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 第三 课件
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1、1 二维随机变量问题的提出例1:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值,研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2:研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定,而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。定义:设定义:设E E是一个随机试验,样本空间是一个随机试验,样本空间S=eS=e;设设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义是定义在在S S上的随机变量,由它们构成的上的随机变量,由它们构成的向量向量(X,Y)(X,Y)叫做二
2、维随机向量叫做二维随机向量或二维随机变量。或二维随机变量。( , )()() (,)F x yPXxYyP Xx Yy记成0 x, x yySey ,X e Y ex定义:设定义:设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量对于任意实数是二维随机变量对于任意实数x,yx,y,二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。(X,Y)(X,Y)平面上随机点的平面上随机点的 坐标坐标,),(yYxXPyxF 即为随机点即为随机点(X,Y)(X,Y)落在以点落在以点(x,y)(x,y)为顶点为顶点, ,位于位于该点左下方的无穷矩形区域该点左下方的无穷矩形区域G G
3、内的概率值。内的概率值。),(yxF),( 分布函数 的性质1212( , )(, )xxF x yF xyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)( , )F x y1212( ,)( ,)yyF x yF x y2 0( , )1 (,)1 ,F x yFx y ,对任意 (, )( ,)(,)0FyF xF 1,F x yx y。关于单调不减,即:0(, )( , )lim F xyF x y0 ( ,)( , )lim F x yF x y12124 ,xxyy若22211211(,)(,)( ,)( ,)0F xyF xyF x yF x y3,F x y
4、x y。关于右连续,即:121222211211,(,)(,)( ,)( ,)0P xXxyYyF xyF xyF x yF x y因为1x2x1y2y0 2. 二维离散型随机变量的联合分布,21mxxxX的可能值为的可能值为设设,21nyyyY的可能值为的可能值为取这些可能值的概率分别为多少?取这些可能值的概率分别为多少? 若二维若二维 r.v.(X,Y)所有可能的取值是有)所有可能的取值是有限对或无限可列对,则称(限对或无限可列对,则称(X,Y)是二维离散)是二维离散型随机变量。型随机变量。),( ),(jiyxYX的可能值为的可能值为, 2 , 1;, 2 , 1njmi 则则的的性性质
5、质:ijpijjijipyYxXPyxp ),(),(1)公式法公式法1)2(10)1( ijijijpp), 2 , 1,( ji232221131211pppppp321yyyX Y21xx(X,Y)的概率分布表:的概率分布表:描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律 GyxijjipGYXP),(),(例例1 1: 将一枚硬币连掷三次,令将一枚硬币连掷三次,令X=“X=“正面出现正面出现的次数的次数”,Y=“Y=“正反面次数之差的绝对值正反面次数之差的绝对值”,试求试求(X,Y)(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。(0,30,3)()(1,11,1)()(2,12,1)()(3,33,3
6、)P(X=0,Y=3)=P(反反反反反反)=1/8解解: (X,Y)所有可能的取值为:所有可能的取值为:0123103/83/8031/8001/8XY例例2:2: 设随机变量设随机变量X X在在1,2,3,41,2,3,4中随机地取一中随机地取一个数个数, ,另一随机变量另一随机变量Y Y在在1 1到到X X中随机地取一整中随机地取一整数数. .求求(X,Y)(X,Y)的的分布律。分布律。 (X,Y)所有可能的取值为: (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).),(jYiXP ijiji, 0,1414
7、 , 3 , 2 , 1, ii., 1,ijj 解:解:设设X可能的取值为可能的取值为Y可能的取值为可能的取值为则:则:)()(iXjYPiXP 123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为:XY 二维连续型随机变量,( , )( , )yxX YF x yf x yx yF x yf u v dudv 对于二维随机变量的分布函数 如果存在非负函数,使对于任意, 有定义:,X Y连续型的二维称为随机变量,f x yX Y二维随机变量的联合称为概率密度说明说明1),()( dxdyyxfii(2)
8、的性质的性质( , )f x y0),()( yxfi(1)分布函数分布函数 是连续函数是连续函数. (因为因为 是积分上限函数是积分上限函数),(yxF),(yxF),(yxf反映反映(X,Y)落在落在 处附近的概率大小处附近的概率大小),(yxyxyxfyyYyxxXxP ),(),(概率微分概率微分的关系的关系与与)()()3(xfxF),(),(yxFyxfxy xydxdyyxfyxF),(),( GdxdyyxfGYXP),(),(:),()4(的作用的作用yxf描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律G ( , )1(, )( , )zf x yxoyP X YGzf x y1 在
9、几何上,表示空间一个曲面, 介于它和平面的空间区域的体积为 2等于以G为底,以曲面 为顶面的柱体体积。 所以 X,Y 落在面积为零的区域注:的概率为零。1xy0 例3:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度: (23 ), 00( , ) 0, xykexyf x y,其他 2( , )F x y 求分布函数; 3()P YX求的概率(1)k求 常 数;( , )1,f x y dxdy 解: (1)利用得230061xykedxedyk6kyx(23 )6, 00( , ) 0, xyexyf x y,其他 2 ( , )( , )yxF x yf u v dudv (23 )03 ()6xy
10、yP YXedxdy (23 )006, 0,0 0 , yxuvedudvxy 其他230023, 0,0 0 , xyuveduedv xy其他23(1)(1), 0,0 0, xyeexy其他3203(| )yxyeedy3203yyeedy503yedy5033|55ye 例4:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k;(2) 求概率 解:, 01( , )0, kxyxyf x y其他 1 ( , )1f x y dxdy 利用 1( , )f x y dxdy 得: 2 (1)P XY(1)P XY100ykxydxdy 13028kky dy8k11208xxdxx
11、ydy122204 (1)xxx dx1201114 (1 2 )236xx dx1xyyx02 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体,有分布函数 其中X和Y都是随机变量,它们的分布函数 记为: 称为边缘分布函数边缘分布函数。( , ),F x y( ) ( )XYFxFy,( )( ,)( )(,)XYFxF xFyFy( )()(, )YFyP YyFy同理得:( )()(,)( ,)XFxP XxP Xx YF x ( , ) ( )XF x yyFx 即在分布函数中令, 就能得到事实上, 对于离散型随机变量(X,Y),分布律为( ) ,1,2,ijijP Xx Yypi j,1()
12、() 1,2,iiijijP XxP XxYpp i 记为,=1()() 1,2,jjijjiP YyP XYyppj 记为,= iiijjijpppjppi记号中 表示是由关于求和后得到的; 同样是由关于 求和后得到的;p11p12p1jp11xp21p22p2jp22xpi1pi2pijpi ixXYy1y2yjiP Xxp1p2p.j1jP YyX,Y的边缘分布律为:注意:232221131211ppppppjp XY321yyy321ppp11x2x 1p 2p ip11jjp12jjp11iip13iip例例: : 求例求例1 1中二维随机变量中二维随机变量(X,Y)(X,Y)关于关
13、于X X与与Y Y的的边缘分布律边缘分布律. .0123103/83/8031/8001/8jp. ipXY8186821838381X X与与Y Y的边缘分布律如下的边缘分布律如下: :0123jp. ipX818383818286Y13 对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为( , )f x y( )( , )( )( , )XYfxf x y dyfyf x y dx( )XFx( ,)F x( , )xf t y dy dt( )xXft dt( )YFy(, )Fy( , )yf x t dx dt( )yYft dt事实上,同理: X,Y的边缘概率密度为: 例2:(X,Y)的联合
14、分布律为 求:(1)a,b的值; (2)X,Y的边缘分布律; (3) (1|1)P XYYX-1100.20.1a120.1 0.2b(1|1)0.5P YX已知:0.2(1|1)0.3aP YX又X10.420.6ipjpY0.3 0.5-1100.2 23 (1|1)0.45P XY0.210.3a2a0.1 b=0.3,(2) 解: (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4 例3:设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布,其概率密度为 求边缘概率密度 解:1,
15、( , )( , )0 , Ax yGf x y其他2xyx26, ( , )0, xyxf x y其他( ) ( )XYfxfy,( )( , )Xfxf x y dy2266(), 01 0, xxdyxxx其他( )( , )Yfyf x y dx66(), 01 0, yydxyyy其他 212221122222121212121241 ( , )21()()()()1exp22(1) , 0 011, f x yxxyyXX YyYx 例 :设二维随机变量的概率密度为: 其中, 都是常数,且,; , 我们称为服从参121222(, )(;)1212X YN数为 , 的二维正态分布,记
16、为:; 试求二维正态随机变量的边,缘概率密度。二维正态分布的图形二维正态分布的图形2211222222121212( )( , )()()()()11exp22(1)21Xfxf x y dyxxyydy 解:2212122211()122(1)212121xyxeedy 221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy 2121()211 2xex 2222()221 ( ), 2xYfyey 同理即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数)(jiyYxXP 1. 当(当(X,Y)为离散型)为离散型定义定义 在在(X,Y)中,当一个随机变量取固
17、定值的条件中,当一个随机变量取固定值的条件下,另一个随机变量的分布,此分布为下,另一个随机变量的分布,此分布为条件分布条件分布在在 条件下,条件下,X的条件分布的条件分布jyY )(jiYXyxp固定值固定值自变量自变量)(),()(),(jYjijjiypyxpyYPyYxXP 同理同理)(ijXYxyp)(),(iXjixpyxp , 2 , 1 i, 2 , 1 j总和总和分量分量1/161/120031/1600041/161/121/8021/161/121/81/414321XY1/41/41/41/4)( Xp)( Yp25/4813/487/483/48例例8 8 在例在例2
18、2中,中,求:求:(1) (1) 在在X=X=3 3的条件下的条件下Y Y的条件分的条件分布律;布律; (2) 求在求在Y=1的条件下的条件下X的条件分布律。的条件分布律。31)31(41121 XYP31)32(41121 XYP31)33(41121 XYP00)34(41 XYP因为:因为:0313131)3(4321 XyYPYj2532542562512)1(4321 YxXPXi所以,所以,类似可求:类似可求:2.2.当(当(X X,Y Y)为连续型)为连续型的条件概率密度的条件概率密度条件下条件下在在XyY )(yxfYX固定值固定值自变量自变量)()(yYxXPyxFYX )(
19、 yYyxXP0lim yYyPyYyxXP),(lim0 yyYxyydyyfdyyxfdx)(),(lim0 yfdxxfYx21120,-y :2)(2),(lim其中其中)(),(yfdxyxfYx )(),()()(yfyxfyxFyxfYYXYX 总和总和分量分量)(),()(xfyxfxyfXXY 的条件概率密度为的条件概率密度为条件下条件下在在同理同理YxX ,)0)( xfX)0)( yfY)(, 0)2(; )(, 0)1(:yxfyxyfxYXXY 求求例例: :设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的的 概率密度为:概率密度为: 其其他他,00, 0,6),(
20、32yxeyxfyx解解 dyyxfxfX),()( 0, 00,6032xxdyeyx 0, 00,22xxex dxyxfyfY),()( 0, 00,6032yydxeyx 0, 00,33yyey 0, 00,3)(,0, 00,2)(32yyeyfxxexfyYxX)(xyfXY)(),(xfyxfX )(0, 00,22xfxxeXx 0, 00,36332xxeeyyx)(yxfYX)(),(yfyxfY )(0, 00,33yfyyeYy 0, 00,26232yyeexyx独立性独立性独立性独立性:设设X X与与Y Y是两个随机变量是两个随机变量, ,若对任意的若对任意的相互
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