第4章大数定律及中心极限定理课件.ppt
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1、 特征函数特征函数 大数大数定律定律 中心极限定理中心极限定理特征函数是处理概率论问题的有力工具,特征函数是处理概率论问题的有力工具,其作用在于:其作用在于:可将卷积运算化成乘法运算;可将卷积运算化成乘法运算;可将求各阶矩的积分运算化成微分运算;可将求各阶矩的积分运算化成微分运算;可将求随机变量序列的极限分布化成一般可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题;的函数极限问题;.定义定义4.1.1 设设X 是一是一随机变量,称随机变量,称 (t) = E( eitX )为为X 的特征函数的特征函数. (必定存在必定存在)注意:注意:1i 是虚数单位是虚数单位.(1) 当当X为离散随机变量
2、时,为离散随机变量时,(2) 当当X为连续随机变量时,为连续随机变量时,1( )kitxkkept( )d( )itxep xxt这是这是 p(x) 的傅里叶变的傅里叶变换换特征函数的计算中用到复变函数,为此注意:特征函数的计算中用到复变函数,为此注意:(1) 欧拉公式欧拉公式:cos( )sin( )itxetxitx(2) 复数的共轭复数的共轭:abiabi(3) 复数的模复数的模:22abiab 性质性质4.1.1 | (t)| (0)=1 性质性质4.1.2 ()( )tt 性质性质4.1.3 ( )()ibtXaXbteat 性质性质4.1.4 若若 X 与与 Y 独立,则独立,则(
3、 )( )( )X YXYttt 性质性质4.1.5 ()()(0)kkki E X 定理定理4.1.1 一致连续性一致连续性. 定理定理4.1.2 定理定理4.1.3 定理定理4.1.4 唯一性唯一性. 定理定理4.1.5 非负定性非负定性. 逆转公式逆转公式. 连续场合,连续场合,1( )d2( )itxettp x 讨论讨论 “概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”的确切含义;的确切含义; 给出几种大数定律:给出几种大数定律: 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.定理定理4.2.1(伯努利大数
4、定律)(伯努利大数定律)设设 n 是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中 P(A) = p, 则对任意的则对任意的 0,有,有lim1nnPpn 大数定律一般形式大数定律一般形式: 若随机变量序列若随机变量序列Xn满足:满足:1111()lim1nniiiinXE XnnP则称则称Xn 服从大数定律服从大数定律. 定理定理4.2.2Xn两两不相关,且两两不相关,且Xn方差存在,有方差存在,有共同的上界,则共同的上界,则 Xn服从大数定律服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式证明用到切比雪夫不等式. 定理定理4.2.3若随机变量序列若随机变量序列Xn
5、满足:满足:则则 Xn服从大数定律服从大数定律.211Var 0niiXn(马尔可夫条件马尔可夫条件) 定理定理4.2.4若随机变量序列若随机变量序列Xn独立同分布,且独立同分布,且Xn的的数学期望存在。则数学期望存在。则 Xn服从大数定律服从大数定律.(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.两种收敛性:两种收敛性: i) 依概率收敛:依概率收敛:用于大数定律;用于大数定律; ii)
6、 按分布收敛:按分布收敛:用于中心极限定理用于中心极限定理.定义定义4.3.1 (依概率收敛依概率收敛) PnYY 大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收敛.lim1nnP YY若对任意的若对任意的 0,有,有则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛于依概率收敛于Y, 记为记为定理定理4.3.1 若若 ,PnXa PnYb 则则Xn与与Yn的加、减、乘、除的加、减、乘、除依概率收敛到依概率收敛到 a 与与 b 的加、减、乘、除的加、减、乘、除.对分布函数列对分布函数列 Fn(x)而言,点点收敛要求太高而言,点点收敛要求太高.定义定义4.3.2 若在若在 F(x) 的连续点
7、上都有的连续点上都有lim( )( )nnF xF x则称则称Fn(x) 弱收敛于弱收敛于 F(x) ,记为,记为 ( )( )WnxFF x相应记相应记 LnXX 按分布收敛按分布收敛定理定理4.3.2 PLnnXXXX 定理定理4.3.3 PLnnXaXa 定理定理4.3.4 ( ) ( ) nXXttLnXX 欲证欲证: 1 1 nniiPXanY 只须证只须证: ( )( )nYatt 讨论讨论独立随机变量独立随机变量和和极限分布极限分布, 本指出极限分布为本指出极限分布为正态分布正态分布.设设 Xn 为独立随机变量序列,记其和为为独立随机变量序列,记其和为1niinYX定理定理4.4
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