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1、积分变换积分变换第一章 付里叶变换第二章 拉普拉斯变换1.1 1.1 付氏积分付氏积分1.2 1.2 付氏变换付氏变换1.3 1.3 付氏付氏变换的公式和性质1.4 1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数2.1 2.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念2.2 2.2 拉氏变换的基本公式和性质拉氏变换的基本公式和性质2.3 2.3 拉氏逆变换拉氏逆变换2.4 2.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用( (一一) )付氏级数付氏级数 称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件： 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一类间断点； f（t）

2、在a,b上只有有限个极值点。1.1 1.1 付氏积分付氏积分第一章 付里叶变换 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为2,2TT2,2TT) 1 . 1 . 1 ( )sincos(2)(10nnnTtnbtnaatf 其中 称为频率，频率对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，n称为fT(t)的n次谐波频率。T2dtefTaTTT)(2220)321( )(222,ndtefTdTTTn)321( sin)(222,ntdtntfTbTTTn)0()0(2100tftf ( (二

3、二) )付氏级数的复指数形式付氏级数的复指数形式ntjwTnCnetf)( 在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为 即 ( (三三) )付氏积分付氏积分 任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的。)()(limtftfTTdwedtetftfjwtjwt)(21)( 这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式 付氏积分定理付氏积分定理 若f (t)在(-，+)上满足下列条件： 2则积发 存在,并且在f (t)的连续点处 1在任一有限区间满足狄利克雷条件；dttf)(dtetfwFjwt)()( 而在f (t)的间断点t0处，应以 代替该

4、式左端的f (t)。dtewFtfjwt)(21)()0()0(2100tftf 注注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1，才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2条,才能保证 存在。)(limtfTT1.2 1.2 付氏变换付氏变换 ( (一一) )定义定义1.1.1 1.1.1 设f (t)和F()分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立dtetfwFjwt)()(dwewFtfjwt)(21)(并称F()为f (t)的象函数或付里叶变换，记为Ff(t)；称f (t)为F()的象原函数或付里叶逆变换，记为F-1F() 例 1 求矩形脉冲

5、函数 的付氏变换及其积分表达式。1,1( )0,1tf tt1111( )( )12sini ti ti tiieFf t edtedtieei 00011( )( )( )cos212sin2sincoscosi tf tFedFtdttdd24000| | 1sincosd| | 10| | 10,sindsinc( )d2tttttxxxxx因此可知当时 有 Fsin另外，由=2可作出频谱图:2 F23sin0k0,0( )e,0,0.ttf tt例2 求指数衰减函数的傅氏变换及其积分表达式 其中tf (t)jj(j)2200( )( )ed1jeededjttttFf ttttjj22

6、22011j( )( )eded221cossindttf tFtt22000cossind/20e0tttttt因此 ( (二二) )尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式 (1.3.8) sincostnjtnetjn)9 .3 .1 (sincostnjtnetjn)10.3 .1 ()(21costjntjneetn)11. 3 . 1 ()(21sintjntjneejtn2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力

7、学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数. 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数, 则得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.

8、 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数: 000tttd有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.0001( )0000( )lim( )0ttttttttddd 给函数序列，定义。d(t)1/O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.t

9、Od (t)1d-函数有性质： 00( ) ( )d(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及（为连续函数）可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。 ( (三三)函数及其付氏变换函数及其付氏变换 1.函数的定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。)3 . 2 . 1 ( 1)( 20, 0)( 1dttttdd (2)普通函数序列极限形式的定义)(lim)(0ttdd其中dtttt, 00 ,; 0, 0)(1 (3)广义函数形式的定义 若f (t)为无穷次可积函数，则)()()(00tfdttttfdd-函数的傅氏变换为:0 (

10、 )()( )ede1j tj tttFttddF于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.11( )12i tte ddF2( )i te dtd证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得j01( )2( )ed12tj tf ted 例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.证法1： 12.j tj sedtstedsd F 1 3. 3.函数在积分变换中的作用函数在积分变换中的作用 (1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。

11、 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。dttf)(000jjjj0j01( )( )ed212()edee.2e2()tttttf tF d d 证：即和构成了一个傅氏变换对。0j0e2()td 例2证明和构成一个傅氏变换对。由上面两个函数的变换可得0jj()0ed2( )ed2()tttt d d 这种频谱图称为离散频谱离散频谱，也称为线状频谱线状频谱 ( (四四) )付氏变换的物理意义付氏变换的物理意义频谱频谱 1.非正弦的

12、周期函数的频谱10)sincos(2)(nnnnwtbnwtaatf)sin(sincos22nnnnnnwtbanwtbnwta;, 2 , 1 22nbaAnnnntjwnneCtf)(2 ,2nnnnnnjbaCjbaC222nnnnbaCCnnCA2例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。0000j0jjj()j(j0000( ) ( )esindee1ed(ee)d2j2j12()2()j()() .2jttttttFf tt ttt d d d d Ft00O|F()|0sint( (一一) )常用函数付里叶变换公式常用函数付里叶变换公式 ) 1 . 3 . 1 (1)(

13、 F 1)(jtuet(1.3.2) 1=)( F (2)td(1.3.3) )()( =cos F (3)aaatdd(1.3.4) )()( = sin F (4)aajatdd(1.3.5) )(1 =)( F (5)djtH (1.3.6) )(2 =1 F (6)d(1.3.7) )(2= F (7) 00dtje1.3 1.3 付氏付氏变换的变换的公式和性质例 5 证明：0,0( ),1,0tH tt 1( )( ).H tjd F证：10111( )( )2111( )2211cossin2211sin11sin222j tj tj tedjjededjtjtdjttddd d

14、d F0,20,2sin0ttdt1110,02211( ),0( )2111,022ttH tjtd F( (三三) )付氏变换的性质付氏变换的性质 1线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则)(1tf)(1F)(2tf)(2F(1.3.12) )()( = )()(F2121FFtftf(1.3.13) )()(= )()(F2121-1tftfFF2位移性质 )13. 3 . 1 ()( F)(F00tfettftj)14. 3 . 1 ()()(F010ttfFetj该性质在无线电技术中也称为时移性质。 3对称性质 若 ，则 )()(FtfF)14.3 .1 ()(2)(ftF

15、F4相似性质 0),()(aFtfF若，则)15. 3 . 1 ()(1)(aFaatfF5象函数的位移性质 若 ，则 )()(FtfF)16. 3 . 1 ()()(00FtfeFtj)17. 3 . 1 ()()(00tjetfFF象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。 6.翻转性质 若 ，则 )()(FtfF)18. 3 . 1 ()()(tfFF 7.微分性质 若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时， ，则 t,t0)(tf)19. 3 . 1 ()()(tfjtfFF推论 若 （k=1,2,n）在 上连续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,(n-1),

16、 则有 )()(tfk),()(lim)(| |tfkt)20. 3 . 1 ()()()()(tfFjtfFnn8.象函数的微分性质若 ，则dttfttfF)(,F()(）)21. 3 . 1 ()(F)(tjtfFdd一般地，有)22. 3 . 1 ()()()(tftjFddnnnnF若当 时， = ,则)(tgt0)(dttft)23. 3 . 1 ()(1)(FjdttfFt如果 ，则 0)(limttdttf)24. 3 . 1 ()()0()(1)(dFFjdttfFt9.积分性质)()(tfFF其中 10.象函数的积分性质)25. 3 . 1 ()()(1dFtfjtF若 ，则

17、dttftfF)(,F()(）11.乘积定理 若 ， ，则 )()(11FtfF)()(22FtfFdFFdttftf)()(21)()(2121)26. 3 . 1 ()()(2121dFF其中 ， 均为t的实函数， 、 分别为 、 的共轭函数。 )(1tf)(2tf)(1F)(2F)(1F)(2F12.能量积分 若 ，则 ）F()(tfF)27. 3 . 1 ()(21)(22dFdttf该等式又称为巴塞瓦等式。 13.卷积定理 设 ， 满足付氏积分定理中的条件， 且 ， ，则 )(1tf)(2tf)()(11FtfF)()(22FtfF )28. 3 . 1 ()()()(*)(2121

18、FFtftfF)29. 3 . 1 ()(*)(21)()(2121FFtftfF1.4 1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数 一、卷积的意义一、卷积的意义 若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t) * f2(t)，即dtftf)()(21dtftftftf)()()()(2121 二、卷积的性质二、卷积的性质)()()()( . 11221tftftftf)()()()()()(t) . 23121321tftftftftf(tff )()()()()()( . 3321321tftftftftftf,22200| | |ccdteedte

19、edteeeFtjcttjcttjtctc( (二二) )积分变换的运用积分变换的运用例 求微分积分方程0d)()0()0( ,d)()(| |2ttxxaettxctxtat运用微分性质及积分性质| | |2222222221)(2)(22)(2)(,2)()(tctctetXjteFjccddjccjXccXjcXj求解方程0)()( ttxtx由微分性质，有0)()(0)()()()()()(222 XjddXddXjtXddXjttxFXtxFdectXcetXtjjj33132)()(31作傅里叶逆变换求下面方程的解, 其中t+, a,b,c均为常数.)(d)()()(thttxct

20、bxtxat根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记F x(t)=X(), F h(t)=H().在方程两边取傅氏变换, 可得 cabHXHXcbXXajj)()()()(j)()(第二章 拉普拉斯变换2.1 2.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义 设函数f(t)当 0时有定义，而且积分 0)(dtetfst （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为 ) 1 . 2(,)()(0dtetfsFst称 为 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为 ，即)(sF)(tf)(tfL)(tfLF(s)又称

21、为 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记 即)(tf)(sF)(1sF-L)()(1sFtf-L 二、拉氏变换的存在定理二、拉氏变换的存在定理 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 设函数f (t)满足下列条件： 1当t0时，f (t)=0； 2f (t)在t0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点； 3f (t)是指数级函数。 则f (t)的拉氏变换0)()(dtetfsFst在半平面Re(s)=c上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)是解析函数。 关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明： (1)从物理应用观点来看

22、，条件2、3都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如sint，若要对它进行拉氏变换则应把它理解为sintu(t)。 (2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。 (3)如果f (t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。 三、关于拉氏变换的积分下限问题三、关于拉氏变换的积分下限问题0)()(dtetftfLst f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点。 假如包括，我们把积分下限记为0-； 假如不包括，我们把积分下限记为0+，于是

23、得出了不同的拉氏变换。记,)()(0dtetftfLst000)()()()(tfRdtetfdtetftfLstst2.2 2.2 拉氏变换的基本公式和性质拉氏变换的基本公式和性质一、常用函数的拉氏变换公式一、常用函数的拉氏变换公式 )5 . 2 . 2(0Re,1,1)5()4 . 2 . 2(0Re,cos)3 . 2 . 2(0Re,sin)2 . 2 . 2(Re,1) 1 . 2 . 2(0Re,112222smsmtskssktskskktksksesstummktLL (4)L (3)L (2)L (1)当m为正整数时，有 )6 . 2 . 2(.0Re,!1ssmtmmL )

24、7 . 2 . 2(1mmm注函数具有如下的递推公式 当m是正整数时， )8 . 2 . 2(.1！mm )9 . 2 . 2(.21 )12. 2 . 2(Re)8()11. 2 . 2(Re)7()10. 2 . 2(Re12222ksksschktkskskshktstLLL(6)(9)设 是0，+)上的周期为T的函数，即 tf 1,0,nTttfnTtf则 的拉氏变换为 tf )13. 2 . 2(0Re,110TstsTsdtetfetfL二、拉氏变换的性质二、拉氏变换的性质 设 则有 cssFtfReL sFtf11L tf2L sF2(1) 线性性质（设、为常数） )14. 2

25、. 2(.2121sFsFtftfL（2）位移性质（设a为常数） )15. 2 . 2(.Re,casasFtfeat L（3）延迟性质 若t0时 ，则对任一非负实数 有 0tf0t ,00sFettfstL亦可写为 )16. 2 . 2(.000sFettuttfstL注注 中的 意味着（当 时） 0ttfL0ttf, 00ttf0tt 只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点容易被忽略，因而造成错误，为了避免出现这种错误。故将延迟性质写为(2.2.16)式的形式。 (4)微分性质 )17. 2 . 2(0fssFtfL推论推论 = tfnL 0021fsfssFsnnn )18. 2 . 2

26、(Re,01csfn特别地，当初值 时，有 00001nfff )18. 2 . 2(sFstfnnL(5)积分性质 )19. 2 . 2(10sFsdttftL推论推论 )20. 2 . 2(.1000sFsdttfdtdtnnttt次L(6)象函数微分性质 )21. 2 . 2(RecssFdsdttfL一般地，有 )22. 2 . 2(.Re,cssFdsdtftnnnL(7)象函数积分性质 若积分 收敛，则 sdssF )23. 2 . 2(1sdssFtftL一般地，有 )24. 2 . 2(1次LnsssndssFdsdstft注注 由象函数的积分性质得即 ,ttfdssFsL .

27、0dtettfdssFsts利用此式，可计算右端的广义积分。这是拉氏变换的应用之一。 在上式中令s=0，如果 收敛，存在，则有 sdssF 0dtttf )25. 2 . 2(.00dtttfdssF(8)卷积定理 )26. 2 . 2(2121sFsFtftfL注注 付氏变换中的卷积定理包含两个公式，而拉氏变换中卷积定理只含一个公式。 (9)初值定理 若 存在，则 ssFslim )27. 2 . 2(limlim000ssFtffst(10)终值定理 若 的所有奇点全在s平面的左半部，则 ssF )28. 2 . 2(.limlim0ssFtffst(11)相似性质（设a为正实数） )29

28、. 2 . 2(.1asFaatfL2.3 2.3 拉氏逆变换拉氏逆变换 定理定理2.3.1 2.3.1 若函数f (t)满足拉氏变换存在定理中的条件。)()(sFtfL0为收敛坐标，则L -1F(s)由下式给出) 1 . 3 . 2( )0,( )(21)(tjwsdsesFjtfjjst其中t为f(t)的连续点。 如果t为f(t)的间断点，则改成：jjstdsesFjtftf)(212)0()0( 这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线Res=(0)称(2.3.1)式为复反演积分公式。2.4 2.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用 一、初值定理与终值定理一、初值定理与终值定理 在前面已经讲到，利用初值定理和终值定理，可以求出 与 ，在这里是通过 求得的，而不是通过 。 0f tf ssFf 设L f (t)=F(s)，则ttdttfdttf00)(lim)(假设 的所有奇点都在S平面的左半部，即F(s)在Re(s)0解析。)()(1)(0sFsFssdttfsLttsdttfSLdttf000)(lim)( 二、利用拉氏变换求定积分二、利用拉氏变换求定积分