调和数列研究课件.ppt

1、 2、提出问题：、提出问题：H(n)是否收敛？是否收敛？ 我们借助于数学软件我们借助于数学软件Mathematica 对对H(n)的收敛性进的收敛性进行观察。行观察。 Step1 定义前定义前n项和项和H(n) Hn_:=Sum1/k,k,1,n Step2 列出列出H(n)随随n变化的数据表变化的数据表 t=Tablen,NHn,6,n,1,100nHn11.0000021.5000031.8333342.08333995.177381005.1873810007.48547100009.78761100000014.39273 Step3 根据数据表画出根据数据表画出H(n)的图形的图形

2、ph1=ListPlott204060801002345 通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数数函数的图象。我们把它与对数函数 y=lnx 的图象一起比的图象一起比较一下。较一下。 Step4 与对数函数与对数函数 y=lnx 作比较作比较 ph2=PlotLogx,x,1,100 Showph1,ph22040608010012345 根据图象比较的结果可以看出，当根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，很大时，H(n)的的图象与图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。的图象非常相似，但它

3、们大致相差一个常数。这个常数约为这个常数约为 C=H(100)-ln100-ln1000.5822.0.5822. 我们将我们将 lnx 的图象向上平移的图象向上平移C个单位后再进行观察。个单位后再进行观察。 c1=H100-Log100-Log100 ph3=PlotLogx+c1,x,1,100 ph3=PlotLogx+c1,x,1,100 Showph1,ph3 Showph1,ph32040608010012345 猜测猜测1 调和数列的前调和数列的前n项和项和H(n)是发散数列，它的数值与是发散数列，它的数值与ln(n)+C 很接近。很接近。 猜测猜测2 数列数列H(n)- - l

4、n(n)可能是收敛的。可能是收敛的。 可以得到如下的数据表：可以得到如下的数据表： Step5 用计算数据作印证用计算数据作印证 对充分大的对充分大的n，计算，计算H(n)- -ln(n)的值：的值： t2=TableNn,Hn,Logn,Hn- -Logn,10, n,1000,10000,1000nH(n)ln(n)H(n)- -ln(n)10007.485470861 6.907755279 0.577715581620008.1783681047.60090245950.577465644130008.5837498908.006367568 0.577382322340008.871

5、3903008.29404964010.577340659750009.0945088538.5171931910.57731566160009.2768137448.6995147480.577298995970009.4309525208.8536654280.577287091880009.5644749848.98719682070.577278163690009.6822510769.1049798560.5772712194100009.7876060369.2103403720.5772656641 3、研究数列、研究数列H(n)- -ln(n)的收敛性的收敛性 Step1 令令

6、C(n)=H(n)- -ln(n)，通过图象观察其特性：，通过图象观察其特性： Cupn_ :=Hn- -Logn tup=Table n, NCupn,6,n,1,100 ph4=ListPlottup,PlotStyle-RGBColor0,0,1 Step2 令令c(n)=H(n)- -ln(n+1)，通过图象观察其特性：，通过图象观察其特性： Clown_ :=Hn- -Logn+1 tlow=Table n, NClown,6,n,1,100 ph5=ListPlottlow,PlotStyle-RGBColor1,0,0 Step3 比较比较C(n)和和c(n)，在同一坐标系中作出

7、它们的图象。，在同一坐标系中作出它们的图象。 Showph4,ph5204060801000.520.540.560.580.62 通过观察可知如下事实：通过观察可知如下事实： 1、C(n)是单调递减数列；是单调递减数列； 2、c(n)是单调递增数列；是单调递增数列； 3、c(n) C(n)； 4、c(n)，C(n)都是收敛数列，而且它们有相同的极限。都是收敛数列，而且它们有相同的极限。 4、结论与证明、结论与证明 结论：结论： 极限极限 存在。存在。)ln131211 (limnnn 把这个极限值记为把这个极限值记为C，C 0.57720.5772，称为欧拉（称为欧拉（EulerEuler）常数。常数。