计量经济学之一元线性回归模型课件.ppt
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- 计量 经济学 之一 线性 回归 模型 课件
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1、第二章第二章 经典单方程计量经济学模型:经典单方程计量经济学模型:一元线性回归模型一元线性回归模型 回归分析概述回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型检验一元线性回归模型检验 一元线性回归模型预测一元线性回归模型预测 实例实例2.1 2.1 回归分析概述回归分析概述一、一、变量间的关系及回归分析的基本概念变量间的关系及回归分析的基本概念二、二、总体回归函数(总体回归函数(PRFPRF)三、三、随机扰动项随机扰动项四、四、样本回归函数(样本回归函数(SRFSRF)一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念1. 变量间的关
2、系变量间的关系(1)确定性关系确定性关系或函数关系函数关系:研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f(2)统计依赖)统计依赖或相关关系:相关关系:研究的是非确定现象随机变量间的关系。施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f 对变量间对变量间统计依赖关系统计依赖关系的考察主要是通过的考察主要是通过相关相关分析分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析(regression analysis)来完成的来完成的 正相关 线性相关 不相关 相关系数:统计依赖关系 负相关 11XY 有因果关系 回回归归分分析析 正相关 无因果关系 相相关关分分析析 非线性相关 不相关
3、 负相关 注意注意不线性相关并不意味着不相关。有相关关系并不意味着一定有因果关系。回归分析回归分析/相关分析相关分析研究一个变量对另一个(些)变量的统计依赖关系,但它们并不意味着一定有因果关系。相关分析相关分析对称地对待任何(两个)变量,两个变量都被看作是随机的。回归分析回归分析对变量的处理方法存在不对称性,即区分应变量(被解释变量)和自变量(解释变量):前者是随机变量,后者不是。2. 回归分析的基本概念回归分析的基本概念 回归分析回归分析(regression analysis)(regression analysis)是研究一个变量关于另一个(些)变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其目
4、的其目的在于通过后者的已知或设定值,去估计和(或)预测前者的(总体)均值。 被解释变量被解释变量(Explained Variable)或应变应变量量(Dependent Variable)。 解释变量解释变量(Explanatory Variable)或自变自变量量(Independent Variable)。 回归分析构成计量经济学的方法论基础,其回归分析构成计量经济学的方法论基础,其主要内容包括:主要内容包括: (1)根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计,求得回归方程; (2)对回归方程、参数估计值进行显著性检验; (3)利用回归方程进行分析、评价及预测。二、总体回归函数二、总体回归
5、函数 回归分析回归分析关心的是根据解释变量的已知或关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解释变量的总体均值给定值,考察被解释变量的总体均值,即当解释变量取某个确定值时,与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。 例例2.1:一个假想的社区有100户家庭组成,要研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月家庭可家庭可支配收入支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入,能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的,将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组,以分析每一收入组的家庭消费支出。表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统
6、计计表表 每月家庭可支配收入X(元) 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860
7、968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y (元) 2002 共计 2420 4950 11495 16445 1930
8、5 23870 25025 21450 21285 15510 由于不确定因素的影响,对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同; 但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布条件分布(Conditional distribution)是已知的,例如:P(Y=561|X=800)=1/4。 因此,给定收入X的值Xi,可得消费支出Y的条件均值条件均值(conditional mean)或条件期望条件期望(conditional expectation):E(Y|X=Xi)。 该例中:E(Y | X=800)=561 描出散点图发现:随着收入
9、的增加,消费“平均地说平均地说”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总总体回归线体回归线。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X(元)每月消费支出Y(元) 在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线总体回归线(population regression line),或更一般地称为总体回归曲线总体回归曲线(population regression curve)。)()|(iiXfXYE称为(双变量)总体回归函数总体回归函数(population regr
10、ession function, PRF)。 相应的函数: 含义:含义:回归函数(PRF)说明被解释变量Y的平均状态(总体条件期望)随解释变量X变化的规律。 函数形式:函数形式:可以是线性或非线性的。 例2.1中,将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时: iiXXYE10)|(为一线性函数。线性函数。其中,0,1是未知参数,称为回归系数回归系数(regression coefficients)。三、随机扰动项三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下,该社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭,其消费支出可能与该平均水平有偏差。 称为观察值围绕它的期望值的离差离差(d
11、eviation),是一个不可观测的随机变量,又称为随机干扰项随机干扰项(stochastic disturbance)或随机误差项随机误差项(stochastic error)。)|(iiiXYEY 例2.1中,给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和:(1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi),称为系统性系统性(systematic)或确定性(确定性(deterministic)部分;部分;(2)其他随机随机或非确定性非确定性(nonsystematic)部部分分 i。 称为总体回归函数(PRF)的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他因
12、素的随机性影响。由于方程中引入了随机项,成为计量经济学模型,因此也称为总体回归模型。 随机误差项主要包括下列因素:随机误差项主要包括下列因素:在解释变量中被忽略的因素的影响;变量观测值的观测误差的影响;模型关系的设定误差的影响;其他随机因素的影响。 产生并设计随机误差项的主要原因:产生并设计随机误差项的主要原因:理论的含糊性;数据的欠缺;节省原则。四、样本回归函数(四、样本回归函数(SRF) 问题:问题:能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗?如果可以,如何从抽样中获得总体的近似信息? 例例2.2:在例2.1的总体中有如下一个样本,能否从该样本估计总体回归函数PRF?表表2.1.3 家家庭庭消消
13、费费支支出出与与可可支支配配收收入入的的一一个个随随机机样样本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 回答:能 该样本的散点图散点图(scatter diagram): 画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体,可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线样本回归线(sample regression lines)。)。 记样本回归线的函数形式为:iiiXXfY10)(称为样本回归函数样本回归函数(sample r
14、egression function,SRF)。 注意:注意:这里将样本回归线样本回归线看成总体回归线总体回归线的近似替代则 样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/ /样本回归模型:样本回归模型:同样地,样本回归函数也有如下的随机形式: iiiiieXYY10式中,ie称为(样样本本)残残差差(或剩剩余余)项项(residual) ,代表了其他影响iY的随机因素的集合,可看成是i的估计量i。 由于方程中引入了随机项,成为计量经济模型,因此也称为样本回归模型样本回归模型(sample regression model)。 回归分析的主要目的回归分析的主要目的:根据样本回归函数SRF,估计
15、总体回归函数PRF。即,根据 iiiiieXeYY10估计iiiiiXXYEY10)|(注意:注意:这里PRF可能永远无法知道。2.2 2.2 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一、一、一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 二、二、参数的普通最小二乘估计(参数的普通最小二乘估计(OLSOLS) 三、三、参数估计的最大或然法参数估计的最大或然法(ML) (ML) 四、四、最小二乘估计量的性质最小二乘估计量的性质 五、五、参数估计量的概率分布及随机干参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计 说说 明明 单方程计量经济学模型分为两大类:线性模型和
16、非线性模型 线性模型中,变量之间的关系呈线性关系 非线性模型中,变量之间的关系呈非线性关系 一元线性回归模型:只有一个解释变量iiiXY10i=1,2,nY为被解释变量,X为解释变量,0与1为待估待估参数参数, 为随机干扰项随机干扰项 回归分析的主要目的回归分析的主要目的是要通过样本回归函数(模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数(模型)PRF。 估计方法估计方法有多种,其中最广泛使用的是普通最普通最小二乘法小二乘法(ordinary least squares, OLS)。 为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。 一、线性回归
17、模型的基本假设一、线性回归模型的基本假设 假设1. 解释变量X是确定性变量,不是随机变量; 假设2. 随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性: E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假设3. 随机误差项与解释变量X之间不相关: Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设4. 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n1. 如果假设1、2满足,则假设3也满足;2. 如果假设4满足,则假设2也满足。注意:注意: 以上假设也称为线性回归模型的经典假经典假设设或高
18、斯(高斯(Gauss)假设)假设,满足该假设的线性回归模型,也称为经典线性回归模型经典线性回归模型(Classical Linear Regression Model, CLRM)。 另外另外,在进行模型回归时,还有两个暗含的假设: 假设5. 随着样本容量的无限增加,解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即nQnXXi,/)(2 假设6. 回归模型是正确设定的 假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量,因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效,而且往往产生所谓的伪回归问题伪回归问题(spurious regression problem)。 假设6也被称为模型没有设定偏误设
19、定偏误(specification error)二、参数的普通最小二乘估计(二、参数的普通最小二乘估计(OLSOLS) 给定一组样本观测值(Xi, Yi)(i=1,2,n)要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法普通最小二乘法(Ordinary least squares, OLS)给出的判断标准是:二者之差的平方和niiiniXYYYQ121021)()(最小。方程组(*)称为正规方程组正规方程组(normal equations)。 记22221)(iiiiXnXXXx iiiiiiiiYXnYXYYXXyx1)(上述参数估计量可以写成: XYxyxiii1021 称为OLS
20、估计量的离差形式离差形式(deviation form)。)。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的,故称为普通普通最小二乘估计量最小二乘估计量(ordinary least squares estimators)。 顺便指出 ,记YYyii 则有 iniiieXXeXXy111010)()()(可得 iixy1(*)式也称为样本回归函数样本回归函数的离差形式离差形式。(*)注意:注意: 在计量经济学中,往往以小写字母表示对均值的离差。 三、参数估计的最大或然法三、参数估计的最大或然法(ML) 最大或然法最大或然法( (Maximum Likelihood,简称ML),也称最大似然法最大
21、似然法,是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法,是从最大或然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。 基本原理基本原理: 对于最大或然法最大或然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。 在满足基本假设条件下,对一元线性回归模型: iiiXY10 随机抽取n组样本观测值(Xi, Yi)(i=1,2,n)。 那么Yi服从如下的正态分布:),(210iiXNY于是,Y的概率函数为2102)(2121)(iiXYieYP(i=1,2,n)假如模型的参数估计量已经求得,为因为Yi是相互独立的,所以的所有样本观测值的联合概率,也即或然函数或
22、然函数(likelihood function)(likelihood function)为: ),(),(21210nYYYPL 21022)(21)2(1iinXYne 将该或然函数极大化,即可求得到模型参数的极大或然估计量。 由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的,所以,取对数或然函数如下:2102*)(21)2ln()ln(iiXYnLL解得模型的参数估计量为: 2212220)()(iiiiiiiiiiiiiXXnXYXYnXXnXYXYX 可见,在满足一系列基本假设的情况下,模型结构参数的最大或然估计量最大或然估计量与普通最小二乘估计普通最小二乘估计量量是相同的。 例
23、例2.2.1:在上述家庭可支配收入可支配收入- -消费支出消费支出例中,对于所抽出的一组样本数,参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。 表表 2.2.1 参参数数估估计计的的计计算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594 -1350 -973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 -1050 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 -750 -445 334050 562500 198381 1960000 12
24、58884 4 1700 1155 -450 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408 -150 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 105
25、0 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 777. 07425000576930021iiixyx172.1032150777. 0156700XY因此,由该样本估计的回归方程为: iiXY777.0172.103 四、最小二乘估计量的性质四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出
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