第三章概率论与数理统计教程课件.ppt

1、3 - 1大纲要求大纲要求1 1理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质与计算方法。理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质与计算方法。 2 2掌握掌握(0(0- -1)1)分布、二项分布、泊松分布的数学期望与方差，掌分布、二项分布、泊松分布的数学期望与方差，掌 握均匀分布、指数分布的数学期望与方差。握均匀分布、指数分布的数学期望与方差。 3 3了解随机变量的协方差、相关系数的概念及性质，并会计算；了解随机变量的协方差、相关系数的概念及性质，并会计算； 4 4会计算随机变量函数的数学期望。会计算随机变量函数的数学期望。 5 5了解随机变量的矩与中心矩的概念和性质，并会计算。了解随机变量的矩

2、与中心矩的概念和性质，并会计算。 6 6掌握切比雪夫不等式，了解大数定理。掌握切比雪夫不等式，了解大数定理。 3 - 23.1 数学期望数学期望3.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望3.3 关于数学期望的定理关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差方差与标准差3.5 某些常用分布的数学期望及方差某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩原点矩与中心矩3.7 协方差协方差与相关系数与相关系数3.8 切比雪夫不等式切比雪夫不等式与大数定律与大数定律学学 习习 内内 容容3 - 33.1 数学期望数学期望1离散随机变量的数离散随机变量的数学期望学期望2连续随机变量的数连续随机

3、变量的数学期望学期望3二维随机变量的数二维随机变量的数学期望学期望3 - 4若级数若级数 1)(nnnxpx绝对收敛，即绝对收敛，即 1)(nnnxpx则称级数则称级数 1)(nnnxpx为为X的的数学期望数学期望,记为记为E(X).Xnp1p2p3pnp1x2x3xnx记作记作 1)()(nnnxpxXE), 2 , 1()()( nxpxXPnn 设设X是离散随机变量，其概率函数为是离散随机变量，其概率函数为离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望3 - 5解解: 计算计算X1的数学期望的数学期望, 由定义有由定义有 E(X1)例例1. 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶, 所得分数分

4、别记为所得分数分别记为X1, X2, 它们的概率分布表分别为它们的概率分布表分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2P(xk) 0 0.2 0.8 p(xk) 0.6 0.3 0.1试评定他们的成绩好坏试评定他们的成绩好坏.而乙的得分为而乙的得分为 =0 0+1 0.2+2 0.8=1.8(如甲进行很多次射击如甲进行很多次射击, 其得分的平均分为其得分的平均分为1.8)E(X2)=0 0.6+1 0.3+2 0.1=0.5显然显然,乙的成绩比甲的差乙的成绩比甲的差.3 - 6 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f（x），如果），如果积分积分dxxxf)(绝对

5、收敛，即绝对收敛，即dxxfx)(则积分则积分dxxxf)(为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望，记作，记作dxxxfXE)()(连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望3 - 7例例2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它。； 0 0 , 01),1(12)(2xxxxf求求X的数学期望。的数学期望。例例3 设随机变量设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为服从柯西分布，其概率密度为 xxxf,)1(1)(2 求求X的数学期望。的数学期望。3 - 8二维随机变量的数学期望离散离散r.v. ijjiiyxpxXE),()( ijjijyxpyYE),()(连续连续r.v

6、. dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()( iiXixpxXE)()( jjYjypyYE)()( dxxxfXEX)()( dyyyfYEY)()(3 - 93.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望1 1离散离散r.v.的函数的的函数的数学期望数学期望2连续连续r.v.的函数的的函数的数学期望数学期望3 - 10)(XgY 是是X的函数，它的取值为的函数，它的取值为), 2 , 1()( nxgynn 则有则有 1)()()()(nnnxpxgXgEYE（2）设设X是连续随机变量是连续随机变量，其密度函数为，其密度函数为)(xf又又)(XgY 是是X的函数

7、，则的函数，则dxxfxgYE)()()(), 2 , 1()( nxpxXPnn ) )（1）设设X是离散随机变量是离散随机变量，其概率函数为，其概率函数为3 - 11例例2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其他其他 ,0 ),()(011122xxxxf求求Y=2X1的数学期望。的数学期望。例例1 1 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以间相等。以 X X 表

8、示该汽车首次遇到红灯前已通过表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数的路口数, ,求求X X的概率分布与的概率分布与 。)11(XE 3 - 12例例3 3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第点的第5 5分钟、分钟、2525分钟和分钟和5555分钟从底层起行，假设一游客分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第在早八点的第X X分钟到达底层候梯处，且分钟到达底层候梯处，且X X在在0,600,60上服从上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知解：已知 ，其概率密度为，其概率密度为)60,

9、 0( UX 其它。, 0;600,601)(xxf设随机变量设随机变量Y Y是游客等候电梯的时间，则是游客等候电梯的时间，则 .6055, 560;5525,55;255,25; 50,5)(XXXXXXXXXgY则随机变量则随机变量Y Y的数学期望为的数学期望为67.11335)65()55()25()5(601)(601)()()(6055552525550600 dxxdxxdxxdxxdxxgdxxfxgYE3 - 133.3 关于关于数学期望的定理数学期望的定理定理定理1 E(c)=c; 其中其中c是常数；是常数；定理定理2 E(aX)=aE(X);定理定理3 E(X+Y)=E(X

10、)+E(Y)；定理定理4 ),(),()()(11是常数iiiiniiiiniiiibaYEbXEaYbXaE 注意：注意：E(X-Y)=?)()(YEXE 3 - 14定理定理5 两个独立两个独立随机变量随机变量X，Y，则，则)()()(YEXEXYE 定理定理6 有限个独立有限个独立随机变量随机变量 ，则，则nXXX,21 niiniiXEXE11)()(例例1 某保险公司规定，如果一年内，顾客某保险公司规定，如果一年内，顾客的投保事件的投保事件A发生，该公司就赔偿发生，该公司就赔偿a元，若元，若一年内事件一年内事件A发生的概率为发生的概率为P，为使公司收，为使公司收益的期望值等于益的期望

11、值等于a的的10%，该公司应该要求，该公司应该要求顾客交多少保险费？顾客交多少保险费？3 - 153.4 方差与标准差方差与标准差1方差、方差、标准差的定义标准差的定义2方差的计算公式方差的计算公式3方差的性质定理方差的性质定理3 - 16(1) 设设X为随机变量为随机变量, E(X)存在存在, 称称X-E(X)为为离差离差;显然, EX-E(X)=0(2) 设设X为随机变量为随机变量,E(X)存在存在,且且EX-E(X)2存存在在,则称此数学期望为则称此数学期望为X的的方差方差,记为记为:D(X)= EX-E(X)2 (3)()(XDX 为为X的的标准差标准差或或均方差均方差.注意注意:方差

12、反映了随机变量相对其均值的偏离程度方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差、方差、标准差的定义标准差的定义定义定义:3 - 17方差的计算公式方差的计算公式22)()()(XEXEXD : : , ,x x x x, ,- - , ,x x , ,x x f f( (x x) ) r r. .v v. . . . D(X) otherwise, -X求具有概率密度设例 01010111 r r. .v v. . . . D(X)X 服服从从泊泊松松分分布布，求求其其设设例例 23 - 18方差的性质定理方差的性质定理(1) D(c)=0;(2) D(aX)=a2D(X)(3) D(X+b)

13、=D(X)(4)D(aX+b)=a2D(X)(5)两个独立随机变量两个独立随机变量)()()(2121XDXDXXD 21, XX(6)有限个独立随机变量有限个独立随机变量nXXX,21 niiniiXDXD11)()(注意：若注意：若 相互独立，相互独立， ?)(21 XXD21, XX)()(21XDXD 3 - 19课课 堂堂 练练 习习1.设设X 其它0102)(xxxf,求下列求下列X的函数的数学期望的函数的数学期望.(1)2X-1, (2)(X-2)23. 随机变量随机变量X只取只取-1,0,1三个值三个值,且相应概率比为且相应概率比为1:2:2,又又Y=X2,求求 (1)E(X)

14、, (2)D(X), (3)E(Y), (4)D(Y)。2. 设设X 其它021210)(xxxxxf, 求求E(X),D(X).4. X,Y独立，独立，D(X)=6，D(Y)=3，则，则D(2X-Y)=（ ）。）。3 - 203.5 某些常用分布的数学期望及方差某些常用分布的数学期望及方差（1）若）若), 1 (pBX则则)1 ()(,)(ppXDpXE （2）若）若),(pnBX则则)1 ()(,)(pnpXDnpXE （3）若）若),(PX则则 )(,)(XDXE（4）若）若),(baUX则则12)()(,2)(2abXDbaXE （5）若）若),(eX则则21)(,1)( XDXE（6

15、）若）若),(2NX2)(,)( XDXE则则3 - 211 设随机变量设随机变量XP(2), 则则E(X)=( ), D(X)= ( ), E(X2)=( )2 若随机变量若随机变量XB(n, p), 已知已知E(X)=2.4， D(X)=1.44, 则则n=( ), p=( )例题例题3 若随机变量若随机变量XU(a, b), 已知已知E(X)=2.4， D(X)=3, 则则a=( ), b=( )3 - 223.6 原点矩与中心矩原点矩与中心矩(1) 若若E(Xk), k=1, 2, 存在存在, 则称它为则称它为X 的的k阶原点矩阶原点矩. 记作记作)(kkXE(2) 若若EX-E(X)

16、k, k=1, 2, 存在存在,则称它为则称它为X 的的k阶中心矩阶中心矩. 记作记作 )(kkXEXE 特别：特别：k=1时，时，)(1XEV 特别：特别：k=1时，时， k=2时，时，0)(1 XEXE )()(22XDXEXE 3 - 233.7 协方差（协方差（相关矩相关矩）与相关系数与相关系数 )()(),(YEYXEXEKYXCovXY 离散离散 r.v. ijjijiXYyxpYEyXExK),()()(连续连续 r.v. dxdyyxfYEyXExKXY),()()(注：注： 相关矩描述随机变量之间的相关性；相关矩描述随机变量之间的相关性；3 - 24相关矩的性质相关矩的性质3

17、. Cov(X, Y)=Cov(Y, X);4. Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其中其中a1, a2, b1,b2是常数是常数;5. Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);1. Cov(X，X)=DX；2. Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y);6. 若若X, Y相互独立相互独立, 则则Cov(X, Y)=0; 反之不成立反之不成立.注意：注意：若随机变量若随机变量X与与Y不相互独立，则（不相互独立，则（X+Y） 和（和（X-Y）的方差与协方差的关系）的方差与协方差的关系),(2)()()(YXCovYDXDYX

18、D ),(2)()()(YXCovYDXDYXD 3 - 25相关系数相关系数 标准化随机变量标准化随机变量 与与 的协方差，的协方差，称为称为随机变量随机变量X和和Y的相关系数的相关系数，记作，记作 即即 由协方差的定义，得由协方差的定义，得)()(XXEXX )()(YYEYY ),(YXR),cov(),( YXYXR)()(),cov(),(YDXDYXYXR 3 - 26相关系数的性质相关系数的性质定理定理11),( YXR定理定理2 当且仅当随机变量当且仅当随机变量Y与与X之间存在线性关系之间存在线性关系 时，相关系数时，相关系数 的绝对值等于的绝对值等于1，并且，并且bXaY )

19、,(YXR ; 0, 1; 0, 1),(bbYXR定理定理3 设随机变量设随机变量X与与Y独立，则他们的相关系数独立，则他们的相关系数 等于零，即等于零，即 。0),( YXR3 - 273.8 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律1 1切比雪夫不等式切比雪夫不等式2大数定律大数定律 切比雪夫定理切比雪夫定理辛钦大数定理辛钦大数定理伯努利定理伯努利定理3 - 28 切比雪夫不等式切比雪夫不等式等价形式为：等价形式为：2)()( XDXEXP 设随机变量设随机变量X有数学期望有数学期望E(X)和方差和方差D(X)， 则对于任意正数则对于任意正数 ，下列不等式成立，下列不等式成立 2

20、)(1)( XDXEXP 3 - 29课课 堂堂 练练 习习例例 1 设随机变量设随机变量 X 的方差为的方差为2，则根据切比雪夫不等式，则根据切比雪夫不等式 有有 )2)(XEXp )6(YXp例例 2 设随机变量设随机变量X 和和 Y 的数学期望分别为的数学期望分别为-2 和和 2 ，方，方 差分别为差分别为1 和和 4 ，而相关系数为，而相关系数为 0.5， 则根据切比雪则根据切比雪 夫不等式有夫不等式有 例例3 已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布为的概率分布为X 1 2 3 p 0.2 0.3 0.5试利用切比雪夫不等式估计事件试利用切比雪夫不等式估计事件5 . 1)( XEX的

21、概率的概率.3 - 30大数定律：大数定律： 切比雪夫定理切比雪夫定理1)(11lim11 niiniinXEnXnP大数定律！大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性.设随机变量序列设随机变量序列 相互独立，且均存在数学相互独立，且均存在数学期望期望 ，方差，方差 (n=1,2,.),(n=1,2,.), 则对任则对任意的意的0 0 ，有，有nX)(nXEKXDn )(3 - 31依概率收敛依概率收敛设随机序列设随机序列,21nYYYa 是一个常数，若对于给定的正数是一个常数

22、，若对于给定的正数 ，有有1lim aYPnn则称序列则称序列,21nYYY依概率收敛于依概率收敛于a.切比雪夫定理切比雪夫定理! !3 - 32设随机变量序列设随机变量序列XXn n 是独立同分布的，且有相是独立同分布的，且有相同的期望与方差：同的期望与方差： ， (n=1,2,.),(n=1,2,.), 则对任意的则对任意的0 0 ，有，有11lim1 niinXnP算术平均值法则！算术平均值法则！辛钦大数定理辛钦大数定理 )(nXE2)( nXD3 - 33 伯努力定理伯努力定理 1)(lim pAfPnn频率的稳定性！小概率事件！频率的稳定性！小概率事件！设每次实验中事件设每次实验中事

23、件A A发生的概率为发生的概率为p p，则事件，则事件A A在在n n次试验中发生的频率次试验中发生的频率 ，当试验次数，当试验次数 时，则对任意的时，则对任意的0 0 ，有，有)(Afn n3 - 34本章小结本章小结1 1理理解解数数学学期期望望、方方差差的的概概念念，并并掌掌握握它它们们的的性性质质与与计计算算方方法法。 2 2掌掌握握( (0 0- -1 1) )分分布布、二二项项分分布布、泊泊松松分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差，了了解解均均匀匀分分布布、指指数数分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差。 3 3了了解解随随机机变变量量的的协协方方差差、相相关关系系数数的的概概念念及及性性质质，并并会会计计算算； 4 4会会计计算算随随机机变变量量函函数数的的数数学学期期望望。 5 5了了解解随随机机变变量量的的矩矩与与中中心心矩矩的的概概念念和和性性质质，并并会会计计算算。 6 6掌掌握握切切比比雪雪夫夫不不等等式式，了了解解大大数数定定理理。