北京科技大学计算方法课件9第九章数值积分与数值微.ppt
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- 北京科技大学 计算方法 课件 第九 数值 积分
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1、北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院 卫宏儒卫宏儒科学与工程计算科学与工程计算数值积分与数值微分数值积分与数值微分微积分学的创始人微积分学的创始人: : 英国数学家英国数学家 NewtonNewton德国数学家德国数学家 Leibniz Leibniz 引言在实际问题中,往往会遇到被积函数在实际问题中,往往会遇到被积函数f(x)的原函数的原函数无无法用初等函数来表示,或函数只能用表格表示,或有法用初等函数来表示,或函数只能用表格表示,或有的虽然能用初等函数表示,但太复杂,所以这些情形的虽然能用初等函数表示,但太复杂,所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式。都需要去建立定积分的近似计算
2、公式。 在数值积分方面,最容易得到的是用在数值积分方面,最容易得到的是用f(x)的代数插值的代数插值函数函数p(x)来代替它,即:来代替它,即: 将积分将积分 区区间细分,间细分,在每小区间内用简单函数代替复杂函数,这在每小区间内用简单函数代替复杂函数,这是数值积分的基本思想是数值积分的基本思想。对替代函数的要求:对替代函数的要求: 1:精度要高。:精度要高。 2:计算量要小。:计算量要小。babadxxpdxxf)()(000( )()()limnnbikkiaikf x dxfxfxA求积系数求积系数求积节点求积节点上述公式称为上述公式称为数值求积公式数值求积公式。其中。其中仅与仅与0,1
3、,2,kAkn0,1,2,kxkn有关,而与被积函数 f x 无关。0nbkkakRffx d xAfx称 为 求 积 余 项 。一、代数精度的定义及确定:定义:定义:若求积公式若求积公式 , 对一切不高于对一切不高于m m次的多项式都准确成立,而对于次的多项式都准确成立,而对于m+1m+1次多项式等号不成立,则称此公式的代数精次多项式等号不成立,则称此公式的代数精度为度为m m。 代数精度越高,公式越精确。代数精度越高,公式越精确。 代数精度的求法:代数精度的求法: 从从 依次验证求积公式是依次验证求积公式是否成立,若第一个不成立的等式是否成立,若第一个不成立的等式是 ,则该求积公式,则该求
4、积公式的代数精度就是的代数精度就是 。0( )()nbkkakfx dxfxA231,fxxxxmx1m二、牛顿二、牛顿柯特斯求积公式(等距结点)柯特斯求积公式(等距结点)将积分区间将积分区间a,b n等分,其节点等分,其节点xk为为 xk=a+kh, k=0,1,2,n 式中式中h=(b a)/n。在。在n+1个节点上建立插值于个节点上建立插值于f(x)的的n次代数多项式(拉格朗日插值公式)次代数多项式(拉格朗日插值公式)Pn(x),并并引进变换引进变换则有则有nt 0thaxnnnn0000tP (x)() ()()kjknkkkjjj kj kjjf xfkjxxxx()kkffx于是插
5、值型积分公式为: babandx)(Pdxf(x)x0nkkkAfxnnn000bat()nkkjjkjdtfkj(1.1)()00()knnnkjjkAbatjdtba Cnkj()00001dt1()!()!nnnkjjknknnjjktjCnkjtj dtknkn这里这里: 001nnkknkkbabCaCn故对每一个 有: 几个常用的Newton-Cotes公式柯特斯系数n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分别考虑几种特殊请况。( )0( )()()nbnkkakf x d
6、xbaf xC(一)梯形公式(一)梯形公式若积分区间若积分区间x0,x1两端点处的函数值两端点处的函数值f0,f1为已知,可应用线性插为已知,可应用线性插值公式值公式P1(x)在区间在区间x0,x1上的积分来近似上的积分来近似,这就是这就是(1.1)式中式中n=1的的情况。当情况。当n =1时,时,C0(1)=1/2,于是有,于是有 (1.2) (1.2)式称为式称为梯形公式梯形公式。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。它的几何意义是用四边梯形它的几何意义是用四边梯形x0 ABx1的面积的面积(x1 x0)(f0+f1)/2代代替曲边梯形的面积替曲边梯形的面
7、积 。 110001( )()2xxxxf x dxff10( )xxf x dxxy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0 x1图1.1当n=1时,为梯形公式:( )( ( )( )2bab af x dxf af b(二)辛普生(二)辛普生(Simpson)(Simpson)公式公式如果已知步长的三个等距节点如果已知步长的三个等距节点x0 x1p k-1p2p10,a i(i=1,2, )都是都是与与h无关的常数,也就是说,无关的常数,也就是说,F1(h)逼近逼近F*的阶是的阶是hp1 ,现在提出的问题是能否通过构造出一个新的,现在提出的问题是能否通过构造出一个新的序列,它逼近序列,
8、它逼近F*的阶要比的阶要比hp1更高,如为更高,如为hp2 。 将将(1)中的中的h用用qh来代替,来代替, q 0, 则有则有F*-F1(qh)=a1(qh)p1+a2(qh)p2+a k(qh)pk+现在用现在用hp1乘乘(1)的两边后和上式相减的两边后和上式相减,整理得整理得 (1-qp1)F*-(F1(qh)-qp1F1(h) =a2 (qp2 - qp1)hp2+a k(q p k- qp1 ) h p k+因为因为(1-qp1)不等于零,用不等于零,用(1-qp1)除等式两边有除等式两边有 F* -F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1=a2(2)hp2 +a k(2)h pk+
9、 (2)a2(2)= , . . . ,a k(2) = , . . .都是与都是与h无关的常数,令无关的常数,令 F2(h)= (3) 那么那么F2(h)逼近逼近F*的误差由的误差由(2)知道为知道为hp2. 依依次做下去次做下去,计算公式为计算公式为 F m+1(H)= , m=1,2, . . . (4)a2(qp2-qp1)1-qp1a k(q p k-qp1)1- qp1F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1F m(qh)-q p m F m(h)1-q p m其中:用归纳法容易证明,由用归纳法容易证明,由(4)(4)得到的得到的F Fm m(h)(h)逼近逼近F F* *的误差为
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