奇解与包络课件.pptx

1、12.4 2.4 奇解与包络奇解与包络2.4.1 奇解2.4.2 不存在奇解的判别法2.4.3 包络线及奇解的求法22(0)0dyydxycxcxycxydxydy,)(22xy120cxcxcxy,)(, 020c 2.4.1 奇解3212d yyd x例： 求 方 程的 所 有 解 。sin()yxc解：该方程有通解此外还有两个特解y=1和y=-14xy5例例3 3：求解方程：求解方程22()2xyyxy解：令解：令 yp则原方程可写成则原方程可写成 222xypxp两边对两边对x x求导得到求导得到2()dpdppppxxdxdx整理化简后得方程整理化简后得方程 (*)6(1)(2)0d

2、ppxdx对对 10dpdx 积分得方程的通解为积分得方程的通解为 pxc将其代入（将其代入（* *）得原方程的一个解）得原方程的一个解 222xyCxC又从又从 20px得原方程的一个解得原方程的一个解 2xp 将其代入（将其代入（* *）又得方程的一个解）又得方程的一个解 24xy 78 如何判定给定方程奇解的存在 性和不存在性？ 如何求奇解？问题的提出：问题的提出：9本节主要讨论一阶隐式方程本节主要讨论一阶隐式方程和一阶显式方程和一阶显式方程的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用( , ,

3、)0,(1.8)dyF x ydx( ,),(1.9)dyfx ydxfy10一般来说，若能解出几个显式方程那么对每一个方程，应用定理2.2即可。其次对于方程(1.8)，如果函数F(x,y,y)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在的邻域内有一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程( , , )0F x y y ) 1 . 5 . 2 (000000(,)0(,)0yF xyyFxyy11成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有这样一来，对方程这样一来，对方程(1.8)(1.8)初值解的存在唯一性初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们可以

4、就定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就方程方程(1.8)(1.8)或或(1.9)(1.9)给出奇解的定义。给出奇解的定义。12定义定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的则称此解为微分方程的奇解奇解。奇解对应的积。奇解对应的积分曲线称为分曲线称为奇积分曲线奇积分曲线 13xy142.4.2 2.4.2 不存在奇解的判别法不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D D上连续且在D D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是

5、唯一的，从而在D D内一定不存在奇解。有定义的区域D D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个15222()()2d yaxyd xd ybyxd x例：判断下列方程是否存在奇解162.4.3 2.4.3 包络线及奇解的求法包络线及奇解的求法17例如单参数曲线族：222)(Rycx（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:.RyRy和18xysin()yxc19注:并不是每个曲线族都有包络

6、.例如: 单参数曲线族:222cyx(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图从图形可见, 此曲线族没有包络.20包络的定义包络的定义定义定义2.4：对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族： ( )( , , )0,(2.10)Cx y c,),(,的连续可微函数是是参数其中cyxcyxc曲线族(2.10)的包络包络是指这样的曲线L,它本身不包含在曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条曲线和它在这点相切.则称此曲线则称此曲线L L为曲线族为曲线族(C)(C)的包络线或的包络线或包络包络2122对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族： 0),(:

7、cyxlc其中RIc为参数. 若存在一条曲线,L满足下列条件:(1) ;cc ILl(2) 对任意的 00,xyL存在唯一的,0Ic 使得000,clyx且L与0cl在有相同的切线.则称L为曲线族0),(:cyxlc的一条包络线,简称为包络.00,xy或定义：或定义：23定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。( ,),(1.9)dyfx ydx证明：证明： 应用定理应用定理2.1积分曲线与线素场的积分曲线与线素场的关系的充要条件关系的充要条件24问题问题:对于给定的单参数曲线族对于给定的单参数曲线族: 0),(cyx.是参数其Ic如何判断它是否有包络如

8、何判断它是否有包络? 如果有包络如果有包络, 如何求如何求?25定理定理2.6 若L是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C-判别式 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线(2.11)且满足：和（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.26证明证明 对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C) 中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数 为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数， 设为又因为p(x,y)在l上，故有恒等式(2.12)L在p点的切线斜率为27l在p点的切线斜率为因为l与L在p点相切，故有即有关系式另一方面，在(2.12)式两端对C求导得(2.13)28因为不同时

9、为零，所以对(2.10)在q点它在q点的斜率为(),(),()(),()0(2 .1 5) (),(),)0ccccccqcccc反 之 ， 在上 任 取 一 点则 有成 立利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线(2.16)29现在，由(2.15)的第一式对C求导得再利用(2.15)的第二式推出(2.18)另一方面，在q点的斜率为(2.17)30和分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出即曲线族(2.10)中有曲线在q点与曲线相切.因此，是曲线族(2.10)的包络线。因为kk31例例3:求直线族:0sincospyx的包络.这里是参数,p是常数.解解:记, 0sinc

10、os),(pyxyx则. 0cossin, 0sincosyxpyx消去参数,得.222pyx0sincospyx的c-判别曲线:经验证222pyx是曲线族0sincospyx的包络. 如图:32Opxy33例例4 4：求解方程：求解方程22()2xyyxy解：令解：令 yp则原方程可写成则原方程可写成 222xypxp两边对两边对x x求导得到求导得到2()dpdppppxxdxdx整理化简后得方程整理化简后得方程 (1)(2)0dppxdx对对 10dpdx 积分得方程的通解为积分得方程的通解为 pxc222xyCxC代入得原方程的解代入得原方程的解 从从 20px得得 2xp 代入又得一

11、个解代入又得一个解 24xy 34注意这个通解和特解的关系222242( 2 ,)xxyyCx CPC CC和它们同时过点 在这点相切，斜率为3522202xyC xCxC由由C-C-判别式判别式解方程组：222 ,4xxCy C1,()2.yC 由于：由于：36几何意义:包络线37为求它的解,令,dxdyp 得).(pfxpy即得代入并以求导两边对,pdxdyx,)( dxdppfpdxdpxp经化简,得. 0)( pfxdxdp例5. 克莱罗(Clairaut)方程的求解dxdyfdxdyxy这是y已解出的一阶微分方程.38如果, 0dxdp则得到. cp . 0)( pfxdxdp于是,

12、 Clairaut方程的通解为:).(cfcxy如果, 0)( pfx它与等式)(pfxpy联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.39结果结果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直线族,此直线族的包络)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.如果令, 0)(),(ycfxccyx则, 0)( ),(cfxcyxc因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证, 此参数

13、曲线恰为通解的包络40例例5.1:求解方程.1yxyy解解: 这是Clairaut方程, 因而它有通解:.1ccxy其中.1) (yyf因为,1)(ccf所以.1)( 2ccf从ccxycx1012中消去参数c, 得到原方程的奇解:.42xy 41xyOxy42.42xy 如图:故, 此方程的通解是直线族:,1ccxy而奇解是通解的包络:42例例6求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.xyoA(a,0)B(0,b) 43解 设所求的曲在(x,y)点切线方程为().Yyy Xx1()2, 22yxyxyyxyyy即这是Clairaut方程,其通解为,22211x

14、cccxcy其中1cc为任意常数. 显然, 此直线族中的每一条直线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.21.1yxpppxyxpxy 由消去参数 得 直接验证得也是方程的解。它与x和y坐标轴的交点分别为(/,0),(0,).xy yyxy由题意得 44直线族及其包络线452222( )2 909,22190,221903,3229,22x yyyxxxpyp ypdppxpdxpyxpdppcxpcxydxxc 例7 求方程 的解.解 令 求导后整理得由得由得即46利用利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下可以得到这个方程的解曲线如下:注意注意:y=3x和和y=-3x是非常特殊的解是

15、非常特殊的解,其它解与这两条直线相切其它解与这两条直线相切.restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);47本节要点本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解3.求奇解的包络线求法。满足C判别式。在非蜕化条件下，从C 判别式解出的曲线48习题：习题：P109， 1(2,3),2