2023中考数学二轮复习 专题13 几何模型-隐圆模型（求值）.ppt

1、中考数学第二轮总复习精讲精练专题13 几何模型“隐圆”模型求值考点归纳知识梳理 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一-求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.知识点知识点0102030405如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若CAD=50,则CBD=_BCDA知识点一典例精讲定点定长型OBCA到到的距离等于的距离等于的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆的点的集合是以定点为圆心定长为半

2、径的圆；有有到到的的时时, ,这儿就隐藏着一个圆这儿就隐藏着一个圆, ,要想到构造圆要想到构造圆. .1.如图,已知AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44,则CAD=_2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC=40,则ADC的度数是( ) A.130 B.140 C.150 D.160ACDB知识点一针对训练定点定长型BOCDA3.如图,在ABC中,ACB=90,O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转(0180)得到AP.若BAC=20,当ACP为等腰三角形时，的值为_.知识点一针对训练定点定长型AOPBC知识点知识点0102030405O弦AB所对同侧

3、圆周角相等.固定线段AB所对动角P为定值,则点P运动轨迹为过A,B,C三点的圆.AB(动点)P在ABC中,AB=4,C=60,AB,则BC的长的取值范围是_,ABC面积的最大值为_.34知识点二典例精讲定边对定角3384BCCAB604O点P在优弧,劣弧上皆可.在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即ACB=90),则点C在以AB为直径的圆上运动(不与A,B重合).AC1BC3C2C4APFCEDBQ1-5知识点二典例精讲定边对定角-

4、直径对直角1.如图,在正ABC中,AB=2,若P为ABC内一动点,且满足APC=150,则线段PB长度的最小值为_.2.如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且APBP,则线段CP长的最小值为_.知识点二针对训练定边对定角BPCAO232PACB知识点知识点0102030405如图,在ABC中,BAC=60,BC边上的高AD为 ,则BC的最小值为_.33O60EADCB60解解: :作作ABC的外接圆,连接OA,OB,OC, . 3321rr即：知识点三典例精讲定角夹定高设半径为r,则BOC=2A=260=120OB=OC.BOE=60.OE=0.5r.r

5、BEBC32由垂线段最短可知： OA+OEAD. 32r解得：. 63 rBC最小作OEBC于点E.OACBD在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“”进行说明:我们称这种问题为:“”模型也成“”模型.主要解决：(1)线段最短问题；(2)面积最小问题.如右图所示,在ABC中,BAC=为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,ABC的面积存在最小值.AhDCBOE【解题突破点】1.找出“隐圆”-三角形外接圆； 2.定高过外心(半径+弦心距)定高.证明：作ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作O

6、EE.易得BOE=,则OE=rcos.OA+OEAD,r+rcosh.cos1sinsin,cos1+=+=hrBEhrcos1sin,cos1sin2hsinrC2min+=+=hSBABC知识点三模型解读定角夹定高知识点知识点0102030405若A+C=180或B+D=180,则A,B,C,D四点共圆.OADCB如图,在四边形ABCD中,B=60,D=120,BC=CD=a,则AB-AD=_.E120DCBA60120aa知识点四典例精讲如图,ABD,AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,BAD=EAC=,连接CD,BE,AP相交于点P.(1)求BPD的度数(用含的代数式表示)；

7、(2)求证：APD=ABD.ODPBEACOABDC若A=C,则A、B、C、D四点共圆.知识点四典例精讲1.如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若BAD=58,则EBD的度数为_度2.如图,AOB=60,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直AEDCBADBCO知识点四针对训练四点共圆如图,E是正方形ABCD的边BC反向延长线上的一点,AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线

8、于点GF.求证：AE=EF.ANMFECBD方法一：延长AB至G,使BG=BE,连接EG, 证AEGEFG得AE=EF.方法二：连接AC,AF,得ACF=AEF=90, A、E、F、C四点共圆. GEAF=ECF=45EAF=EFA=45AE=EF知识点四针对训练四点共圆知识点知识点0102030405已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D的边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应边为A.若点A到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A的坐标为_.) 2, 32 () 1 ,15() 3 , 7(或或ABCxOyDAAA知识点五典例精讲分类讨论如图

9、,正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合,现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,设旋转角BAE=(0360),则当=_时,正方形的顶点F会落在正方形的对角线AC或BD所在的直线上。ADFECBG知识点五拓展提升分类讨论隐圆模型O定点动点动点动点1.1.定点定长型定点定长型2.2.定边对定角定边对定角3.3.定角夹定高定角夹定高4.4.四点共圆型四点共圆型圆周走,双弧跑； 三点必有外接圆,也共圆.知识梳理思维导图常见的“隐圆”模型强强化训训练练1.点P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,A=72,那么BPC的度数为_.2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,A

10、BCD,则BD=_.ACBBDCA15E知识点一拓展提升3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_.ADCBFEGHH H O OEFG15 根据条件可知：DAG=DCG=ABE,易证AGBE,即AHB=90,点H的轨迹是以AB为直径的圆弧，当D、H、O共线时,DH取到最小值,由勾股定理可求DH最小=1-5知识点二拓展提升定边对定角3.如图,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F,连接EF. 求证：AEF=C.AEFCDB利用AEDF四点共圆证明1=22+3=90，

11、B+3=90.1=B又BAC=BACAEF=C132知识点三拓展提升四点共圆1.如图,矩形ABCD中AB=4,BC= ,点E是折线A-D-C上的一个动点(E不与A重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 34C CAP PBCDEP P4 4P P3 3P P2 2P P1 1知识点四拓展提升分类讨论2.如图,正方形ABCD的边长为4,在AD边上存在一个动点E(不和点A,D重合),沿BE把ABE折叠,当点A的对应点A恰好落在正方形ABCD的对称轴上时,AE的长为 .AEACDB知识点四拓展提升分类讨

12、论4.以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,D按顺时针方向排列).已知AB=BC=CD.ABC=100.CAD=30.则BCD的大小为 .FD1ED2D3ACB知识点四拓展提升分类讨论3.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,EAF=45,则AEF面积的最小值为_.AFCDEBFOH16-216知识点三拓展提升1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,ADBC,B=60,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且EAF=60,则AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.将ADF绕点A顺时针旋转120,得ABF,则E

13、AF=60,易证AEFAEF,作AEF的外接圆O,作OHBC于点H,AGBC于点G,则FOH=60,设O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.OA+OHAG,AECFDBOGHF, 3223=ABAG334, 325 . 0+rrrrEFFOEAEFFAE36021=343232121=rAGEFSSAEFAEF34的面积最小值为AEF知识点三拓展提升ACDFEBCBFE45FO45H2.在四边形ABCD中,BAD=45,B=D=90,CB=CD= ,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CECF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由. 1

14、44)72-272( -7227272-27226212-24(21,72272212-242maxminmin=+=+=AECFCEFABCDSSSrEF四边形四边形），12-212,2622min=+rrr26知识点三拓展提升1.如图,半径为2cm,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为_.CPHIABO分析：连接AI,由内心的性质可得PIO=135,OI平分AOP,OP=OA,AIOPIO,AIO=PIO=135,OA为定边,AIO=135为定角.P在以OA为弦且圆心角为90的C上运动. 易求由弧长公式可求得内心I的运动路径长为:2=AC.22180290=知识点三拓展提升.22180290=2.如图,已知以AB为直径的O,C为弧AB的中点,P为弧BC上任意一点,CDCP交AP于D,连接BD,若AB=6,则BD的最小值为_.GAPCOBD分析：连接AC,易得P=45,CDP为等腰三角形,ADC=135为定角,AC为定边.AGC=90,AB=6, ,AG=CG=3. 23=AC3-53,53minBDBG知识点三拓展提升3-53