莆田市2022届高三数学第二次质量检测试卷及答案.pdf

1、数学试题 第 1页 (共 5 页)莆田市莆田市 2022 届高中毕业班第二次教学质量检测试卷届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集|

2、 34Uxx Z，集合 1,0,1,3A ，0,2,3B ，则UAB A. 1,1B.0,3C. 2, 1,1D. 2,0,32已知双曲线22214xyb(0)b 的一条渐近线方程为30 xy，则b A.2B.2 2C.2 3D.43621xx展开式中的常数项为A.30B.15C.15D.304若sin12cos12a ,则cos66 A.1aB.1a C.21aD.21a 5下列直线中，既不是曲线1:exCy 的切线，也不是曲线2:lnCyx的切线的是A.1yxB.1yxC.eyxD.e2yx6莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面

3、，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60角的次数是A.2B.4C.6D.87已知函数21yfx是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，则A.30f B.10fC. 00fD. 20f数学试题 第 2页 (共 5 页)8 已知抛物线24E xy，直线l交E于,A B两点，(2,3)C为弦AB的中点，过,A B分别作E的切线，它们的交点为P，则PAB的面积为A.6 2B.8 2C.12 2D.16 2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0

4、 分.9 已知函数( )sin3cosf xxx (0)，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是，则A.( )f x是偶函数B.( )f x在7,33单调递减C.( )f x的图象关于点0，对称D.( )f x的图象关于直线53x 对称10已知直线:10l axby 0,0ab与圆22:1C xy相切，则下列说法正确的是A.12abB.22114abC.2122abD.112 2ab11函数 2, ,axbf xa b cxcR的图象可能为ABCD12意大利数学家卡尔达诺(Cardano.Girolamo，1501-1576)发明了三次方程的代数解法. 17 世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四

5、个步骤：第一步，把方程322100 xa xa xa中的x用23ax 来替换，得到方程30 xpxq；第二步，利用公式3333xyzxyz22xyzxyzxyz 将3xpxq因式分解；第三步，求得, y z的一组值，得到方程30 xpxq的三个根： yz，2yz，2yz（其中13i2 ，i为虚数单位）；第四步，写出方程322100 xa xa xa的根：213 axyz，2223 axyz，2233 axyz.某同学利用上述方法解方程3281242550 xxx时，得到y的一个值：1 i ，则下列说法正确的是A.232a B.2yz C.2132 xD.313 x数学试题 第 3页 (共 5

6、页)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知向量2,1a，2,0 b，1,mc，若2 abc，则m 14每年3月5日是“学雷锋纪念日”，今年3月5日恰逢周六. 甲、乙、丙、丁四位同学计划周六到, , ,A B C D四个社区参加志愿服务，每人只去一个社区，则四位同学去的社区互不相同的概率是15. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/ L)与时间t（单位：h)间的关系为0= ektP P，其中0,P k是正的常数如果 2h后还剩下 90%的污染物，那么 8h后还剩下%的污染物16定义：若, , ,A B C D为球面上四点，,E

7、F分别是,AB CD的中点，则把以EF为直径的球称为,AB CD的“伴随球”已知, , ,A B C D是半径为2的球面上四点，2 3ABCD，则,AB CD的“伴随球”的直径取值范围为； 若, , ,A B C D不共面， 则四面体ABCD体积的最大值为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 10 分）已知数列, nnab满足13a ,1133nnnaa,3nnnab .（1）证明：数列 nb为等差数列；（2）求数列2( 1)nnb的前2n项和2nT数学试题 第 4页 (共 5 页)18（本小题满分 12 分）某企业有生产能力相同

8、的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品. 为保障产品质量， 质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品， 并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：质量指标值0.15,0.200.20,0.250.25,0.300.30,0.350.35,0.400.40,0.45等级次品二等品一等品二等品三等品次品甲生产线 （件）2194024141乙生产线 （件）2165012191（1）根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；（2）该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元. 已知一、二、三等品的

9、售价分别为120元/件、90元/件、60元/件. 为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线. 视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点.（1）证明：PB平面AFC；（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答3ABC，3BDAC，PC与平面ABCD所成的角为4；若PA平面ABCD，2ABAP，且_，求二面角FACD的余弦值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分数学试题 第 5页 (共 5 页)20（本小题满分 12 分）A

10、BC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知B为锐角，且sincosbcBaC.（1）求C；（2）若4AB ，点D满足3BDDA ，当ABC的面积最大时，求CD和cosACD的值.21（本小题满分 12 分）已知12,F F是椭圆2221:04xybbC的左、右焦点，过1F的直线与C交于,A B两点，且22:3:4:5AFABBF .（1）求C的离心率；（2）设,M N分别为C的左、右顶点，点P在C上（P不与,M N重合）.证明：MPNMAN.22（本小题满分 12 分）已知函数 1e22xfxx.（1）求 f x的最小值；（2）设函数 123e4lnxg xxxxax，若 1g

11、x，求实数a的取值范围.数学答案第 1 页 （共 11 页）莆田市莆田市 2022 届高中毕业班第二次教学质量检测届高中毕业班第二次教学质量检测数学试题参考解答及评分标准评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数单项选择题和单空填空题不

12、给中间分一、选择题：每小题 5 分，满分 40 分1.A.解 ： 由 题 意 可 得 2, 1,0,1,2,3U ， 所 以 2, 1,1UB ， 又 1,0,1,3A ， 则UAB 1,12.C.解：因为双曲线222104xybb的一条渐近线方程为30 xy，所以32b，所以2 3b .3.C.解：621xx的展开式中的常数项为42426115Cxx.4.D. 解 : 由sin12cos12a， 得21 2sin12 cos12a， 故2sin241a， 所 以cos66sin2421a.5.D.解：对于 exf x ， exfx，则 01,1eff，故曲线1C在 0,1 , 1,e处的切线

13、分别为1yx与eyx； 对于 lng xx， 1gxx， 则 111,eegg， 故曲线2C在1,0与1, 1e处的切线分别为1yx与e2yx；综上可知只有 D 满足题意.6.B.解：设正方体的边长为2，中心为O，相邻两个钟面的中心分别为12,O O,以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图.设时针的长度为R，时针从0时起的旋转角为02 ，则此时两时针的方向向量分别为1O B 0,sin ,cosRR，2sin ,0,cosO DRR ，依题意可得12cos,O B O D 212121cos2O B O DO B O D ，解得4，4，4，4.数学答案第 2 页 （共 11 页）7.A.解：令

14、 21g xfx，依题意可知 yg x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，所以 00,2,gg xgxgxg x ，所以 322fgg 00g.8.B.解： 设2121()()(),AyyPxxmBn， 则121212,4,6xxxxyy， 且2112224,4,xyxy故1212yyxx1，所以直线l的方程为1yx.联立抛物线方程，整理得2440 xx，则124x x .由24xy得214yx， 所以12yx ， 故切线PA的方程为2111124yx xx,同理可得切线PB的方程为2221124yx xx，联立两切线方程得12122,21,4xxmx xn 即点P坐标为2, 1，

15、则PCx轴，且4PC ，所以PAB的面积为21212121248 22PC xxxxx x.二、选择题：每小题 5 分，满分 20 分 （本题为多项选择题，每小题中，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）9.BD.解：( )sin3cos2sin3f xxxx(0),因其图象相邻两条对称轴间的距离为2,所以22T ,即4T ,从而12,1( )2sin23f xx,故其是非奇非偶函数 ,A 错 误 ; 由1322()2232kxkkZ, 得744()33kxkk Z,令0k 得 函 数 的 一 个 单 调 递 减 区 间 为7,33, 故 B 正 确 ; 因 为 12sin

16、23f 10， 故 C 错误;因为552sin2363f ， 故 D 正确.10.BC.解： 依题意可得2211ab， 即221ab， 所以22122abab， 故 A 错误； 因为2211ab222222221124baababab， 故B正 确 ； 因 为222224ababab=1111142442=ab，所以 C 正确；因为11222 212abab，所以 D 错误.数学答案第 3 页 （共 11 页）11.ABD.解： 对于 A， B， 图象关于原点对称， 且当0 x 时， 0fx ， 故0,0ab， 若0,0ac，则图象为 A，若0,0ac，则图象为 B；对于 C，D，图象关于y轴

17、对称，且都有两条垂直于x轴的渐近线， 故0,0ac， 若0b ， 则图象为 D， 而对于 C， 注意到 00f，则0b ，进而 0fx ，图象与 C 不符合.12.ABC.解： 由3281242550 xxx得32321550248xxx， 故232a ， A 正确； 把x用12x替换，得32131211550222428xxx，化简得3640 xx，故2yz ，334yz，故 B 正确；当1 iy 时，21 izy ，则2yz213i13i1 i1 i1322 ，2213i13i1 i1 i1322yz 故2221332axyz ，2231332axyz ，C 正确,D 错误.三、填空题：每

18、小题 5 分，满分 20 分 （16 题第一空 2 分，第二空 3 分）13.3解：2(4,2)( 2,0)(6,2) ab， 因为2 abc， 所以20ab c =， 即620m， 则3m 14.332解：甲、乙、丙、丁四位同学去, , ,A B C D四个社区中，每人只去一个社区，有44256种；四位同学去的社区互不相同，有4424A种，则四位同学去的社区互不相同的概率是24325632=P15.65.61.解：因为过滤过程中废气的污染物数量Pmg / L与时间th间的关系为0= ektP P，当tnh( N ）*n后， 还剩下的污染物数量Pmg / L， 记为nP， 即0= eknnPP

19、， 所以0=eknnPP 依题意可知200.90P=P，所以220=e0.9kPP，因为482480=e= e0.90.6561kkPP，所以，即8h后还剩下 65.61%的污染物数学答案第 4 页 （共 11 页）16.(0,2；4解 ： 设O为,A B C D所 在 球 面 的 球 心 ， 所 以2OAOC 因 为ABCD2 3， 且,E F分 别 是,AB CD的 中 点 ， 所 以,OEAB OFCD， 且3AECF 可 得1OEOF， 则02EFOEOF，即,AB CD的“伴随球”的直径取值范围为(0,2因为E是AB的中点，所以223A BCDA CDECDEVVSd(d为点A到平面

20、CDE距离 ，3dAE ) ， 又12CDESCD h(h为 点E到CD距 离 ，2hEF) ， 所 以22 323432A BCDV，当且仅当,E O F三点共线，且ABCD时，等号成立四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题主要考查等差数列、数列求和、数列递推公式等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、函数与方程等思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解： （1）证明：因为1133nnnaa， 1 分所以11133nnnnaa.2 分即11nnbb.3 分因为1113ab ， 4 分所以数

21、列 nb是首项为1，公差为1的等差数列. 5 分（2）由（1）可得111nbbnn ，从而22( 1)( 1)nnnbn ， 6 分所以22222221234212 nnnTbbbbbb 7 分 2222222143221nnbbbbbb8 分 21214343221221nnnnbbbbbbbbbbbb1234212nnbbbbbb9 分1232n 22nn. 10 分18. 本小题主要考查随机变量的中位数、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率、分类与整合等思想，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养.体现基础性、综合性、应用性.满分 12 分数学

22、答案第 5 页 （共 11 页）解： （1）设乙生产线的该质量指标值的中位数为，依题意得，该质量指标值在0.1520，0.的频率为0.02， 1 分在0.20,0.25的频率为0.16，2 分因为0.50.020.160.32，3 分所以0.250.320.050.5x，4 分解得0.282x.5 分所以乙生产线的该质量指标值的中位数约为0.282.（2）甲、乙生产线生产的每件产品的效益分别用随机变量，表示，则，所有的可能值均为120，90，60，10.7 分由频数分布表可知，的分布列如下：9 分所以甲生产线每件产品的效益均值为( )120 0.490 0.4360 0.14( 10) 0.0

23、394.8E .10 分乙生产线每件产品的效益均值为( )120 0.590 0.2860 0.19( 10) 0.0396.3E .11 分又因为94.896.3,所以应选择关停甲生产线 12 分19. 本小题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系、空间向量等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分.解： （1）连结BD交AC于O点，则O为BD的中点，连结OF. 1 分在PBD中，因为O F,分别为,BD PD的中点，2 分所以OFPB，3 分又因为OF 平面,AFC P

24、B 平面AFC， 4 分所以PB平面AFC. 5 分（2）若选3ABC.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD,2ABBCAC; 6 分120906010P0.40.430.140.03120906010P0.50.280.190.03数学答案第 6 页 （共 11 页）方法一方法一：取AD中点E,连结EF,则EFAP.过E作EMAC交AC于M，连结MF.因为PA平面ABCD，所以EF平面ABCD，7 分因为AC 平面ABCD，所以ACEF，8 分因为ACME，,EF ME 平面EMF，EFMEE，所以AC 平面EMF，从而,ACME ACMF，故EMF为二面角FACD的平面角. 9 分在RtF

25、EM，1131,222EFAPEMOD,10 分所以2272MFEFEM，11 分所以21cos7MEEMFMF，所以二面角FACD的余弦值为217.12 分方法二方法二：以点O为坐标原点，,OB OC AP 的方向分别为, ,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则0, 1,0 ,(0,1,0), (0, 1,2),ACP（）31(3,0,0),(,1)22DF，6 分所以313 3, 1 , 12222FAFC ，7 分设平面AFC的一个法向量1, ,nx y z （） ，由110,0nFAnFC 得310,22330,22xyzxyz 8 分令2 3x ，得12 3,0,3n

26、， 9 分设二面角FACD的平面角为，则由图象可知为锐角，因为平面ACD的一个法向量为20,0,1n （） ，10 分所以121212321coscos,721n nn nn n ，11 分所以二面角FACD的余弦值为217.12 分数学答案第 7 页 （共 11 页）若选3BDAC.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，则2ABBCAC；6 分下同方法一，方法二.若选PC与平面ABCD所成的角为4.因为PA平面ABCD，则ACP为PC与平面ABCD所成的角，所以ACP=4所以2APACAB; 6 分下同方法一，方法二.20. 本小题主要考查正余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查逻辑思维、运

27、算求解等能力，考查化归与转化、函数与方程等思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性. 满分 12 分.解： （1）由正弦定理得sinsinsinsincosBCBAC， 1 分又ABC ，所以sin()sinsinsincosACCBAC，2 分即sincoscossinsinsinsincosACACCBAC，3 分所以cossinsinsinACCB.在ABC中,因为sin0C ，所以cossin0AB，4 分所以A为锐角，且sinsin2AB，5 分又因为B是锐角，所以2AB，即2AB，从而2C. 6 分（2）由（1）得222162abcab，所以8ab,当且仅当ab时

28、等号成立，8 分所以142ABCSab,当且仅当ab时等号成立，即ABC为等腰直角三角形时,面积最大. 9 分又因为4AB，3BDDA ，所以2 2ACBC,1AD . 10 分在ACD中,由余弦定理，得222cos1 8454CDADACAD AC ，11 分所以2228513 10cos21022 25ACCDADACDAC CD. 12 分数学答案第 8 页 （共 11 页）21. 本小题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与和椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑思维、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综合

29、性.满分 12 分.解:(1)设23AFm，则4ABm，25BFm，所以22222AFABBF,所以1290F AF,1 分因为22128AFABBFm，所以23m， 2 分即212AFAF，所以12AFF为等腰直角三角形， 3 分故2221212AFAFF F,即248c ，解得2c (取正值),4 分所以C的离心率22cea.5 分(2)方法一：方法一：由(1)可知2222bac，所以C的方程为22142xy， 6 分故A为C短轴的一个端点.依题意( 2,0)M ，(2,0)N.由椭圆的对称性，不妨设00,P xy，00,2y，,PMNPNM ,则0000tan,tan22yyxx， 7

30、分所以2200002200001tantan2 2422yyyyxxxy， 8 分00002200000442tantan2242yyyyxxxyy，9 分所以0tantan4tan1tantany， 10 分当02y 时，tan取到最小值2 2，此时最小，11 分所以当P为C的短轴端点时，APB 最大，故MPNMAN.12 分方法二：方法二：由(1)可知2222bac，所以C的方程为22142xy，6 分故A为C短轴的一个端点.数学答案第 9 页 （共 11 页）依题意( 2,0)M ，(2,0)N.设000(,)( 22)P xyx ，则2200142xy，00( 2,)PMxy ，00(

31、2,)PNxy ，7 分222000442xPM PNxy ，22220000004(2)(6)(2)(2)22xxxPMxyx ，8 分22220000004(2)(6)(2)(2)22xxxPNxyx，9 分所以2022004cos(4)(36)xPM PNMPNPMPNxx ，10 分令204tx，04t ，则1cos(32)321tMPNttt ，所以4t ，即00 x 时，cosMPN取得最小值13，从而MPN最大.11 分所以当P为C的短轴端点时，MPN取得最大，故MPNMAN.12 分22. 本小题主要考查导数及其应用知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程

32、、数形结合、化归与转化、分类与整合等思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、创新性满分 12 分.解：方法一方法一： （1）因为 1e22xf xx，所以 1e2xfx，1 分令 0fx，解得1 ln2 x，2 分当,1 ln2x 时， 0fx，从而 f x单调递减，当1 ln2,x时， 0fx，从而 f x单调递增， 3 分故 f x的最小值为ln21 ln2e2 1 ln222 1 ln2f. 4 分（2）因为 1,0g xx，所以 111ga ，解得2a.（必要性探路）5 分下面证明当2a时， 1g x.（以下是充分性证明）由 123e4lnxg xxxxax，得

33、1231e4lnxg xxxxax +1，数学答案第 10 页 （共 11 页）因为2a，0 x ，所以 1231e4ln21xg xxxxx 6 分122e1(4ln2)xxxxxx即12e14ln20.xxxxx7 分令 12e14ln2,0 xh xxxxxx，则 1231 e422xxhxxxx8 分13231e221xxxxxx1231e211xxxxxxx1231e222xxxxxx9 分131e222.xxxxx由（1）可知 1e222 1 ln20 xf xx，所以1e2220 xxx， 10 分所以当0,1x时， 0h x，从而 h x单调递减，当1,x时， 0h x，从而

34、h x单调递增，11 分故 11 2 1 0h xh ，从而 1g x.综上，实数a的取值范围为,2. 12 分方法二方法二： （1）同方法一方法一，（2）因为 1,0g xx，所以 111ga ，解得2a.5 分下面证明当2a 时， 1g x.当2a 时, 123e4ln21xg xxxxx，即12e14ln20.xxxxx6 分数学答案第 11 页 （共 11 页）令 12e14ln2,0 xh xxxxxx，则 1231 e422xxhxxxx7 分13231e221xxxxxx1231e211xxxxxxx1231e222.xxxxxx由（1）可知 1e222 1 ln20 xf xx，所以 12e22220 xxxxxf x，8 分所以当0,1x时， 0h x，从而 h x单调递减，当1,x时， 0h x，从而 h x单调递增， 9 分故 11 2 1 0h xh ，从而 1g x. 10 分令 312e4lnxG ax axxx ，2a.因为30 x，所以 G a在(,2上单调递减，所以 123123e4ln2e4ln21xxg xxxxaxG aGxxxx. 11 分综上，实数a的取值范围为,2. 12 分