第三章 线性离散系统状态空间表达式.ppt

1、现代控制理论现代控制理论第三章第三章 线性离散系统状线性离散系统状态空间表达式态空间表达式目的目的: : (1). (1).用状态空间方法对离散系统进行分用状态空间方法对离散系统进行分析时析时, ,需建立离散系统的状态空间表达式需建立离散系统的状态空间表达式. . (2). (2).连续系统采用计算机仿真和实时控连续系统采用计算机仿真和实时控制时制时, ,需对连续系统离散化需对连续系统离散化. .三个问题三个问题: : (1).(1).离散系统状态空间表达式的形式离散系统状态空间表达式的形式. . (2). (2).离散系统状态空间表达式的建立离散系统状态空间表达式的建立. . (3). (3

2、).方程的解法方程的解法. .一一. .线性离散系统状态空间表达式线性离散系统状态空间表达式 SISOSISO离散系统离散系统:(1).:(1).差分方程差分方程,(2).,(2).脉冲传递函数。脉冲传递函数。 只采用时域法描述只采用时域法描述, ,即差分方程的方法即差分方程的方法. . 因而因而, ,离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式, ,由离散状态方由离散状态方程和离散输出方程组成程和离散输出方程组成. . 即对线性时不变离散系统为即对线性时不变离散系统为: : 式中式中,T,T为采样周期为采样周期(1) ()()()()()x kTGx kTHu kTy kTcx kTDu

3、 kT111(), (), ()nrmx kTRu kTRy kTR 它们都是在它们都是在t=kTt=kT时所确定的向量时所确定的向量k=0,1,2k=0,1,2 采用简化符号采用简化符号x(k)x(k)来表示来表示x(kT),x(kT),即即x(k)x(k)表表示示t=kTt=kT时的向量时的向量x(t)x(t),n nn rm nm rGRHRCRDR 同样同样,u(k),y(k),u(k),y(k)来代替来代替u(kT),y(kT)u(kT),y(kT)这样上这样上式可表达为式可表达为: : 主要研究这种类型方程所描述的系统主要研究这种类型方程所描述的系统. .(1)( )( )( )(

4、 )( )x kGx kHu ky kCx kDu k二二. .离散系统状态空间表达式的建立离散系统状态空间表达式的建立. .A.根据系统的差分方程建立状态空间表达式根据系统的差分方程建立状态空间表达式 1.1.作用函数为作用函数为 时的定常纯量差分方程时的定常纯量差分方程的状态空间表达式的状态空间表达式. . bu k 设纯量差分方程为设纯量差分方程为 式中式中,k,k表示第表示第k k个采样瞬时个采样瞬时, , 为第为第k k个个采样瞬时输出采样瞬时输出, , 为第为第k k个采样瞬时输入个采样瞬时输入. . y k121()(1)(2)(1)( )( )nny kna y kna y k

5、nay ka y kbu k u k 设设: :1112223311211( )( )( )( )(1)( )(1)( )(1)( )(2)( )(1)( )()( )(1)( )( )( )( )nnnnnnnx ky ky kx kx kx ky kx kx kx ky kx kxkx ky knx kx ka x ka xka x kbu k 于是方程可以写成矩阵形式于是方程可以写成矩阵形式. .112211121(1)0100( )0(1)0000( )0( )(1)0001( )0(1)( )1nnnnnnx kx kx kx ku kxkxkx kaaaax k121( )1000

6、( ),( ),( ),( )Tnny kkkkkxxxx 或或 其中其中D=0D=0(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k 2.2.作用函数包括有作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),u(k),u(k+1),u(k+2),u(k+n),u(k+n)时的定时的定常纯量差分方程的状态空间表达式常纯量差分方程的状态空间表达式. . 设纯量差分方程的表达式为设纯量差分方程的表达式为: :1201()(1)(2)( )()(1)( )nny kna y kna y kna y kb u knbu knb u k 将两边作零初始条件下的将两边作零

7、初始条件下的Z Z变换得变换得: : 则上式改写成则上式改写成121212012( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnz y za zy za zy za y zb z u zb zu zb zu zb u z120121212121201212( )( )nnnnnnnnnnnnnnnb zb zb zby zu zza za zazzbza za za 令令 并进行反变换得并进行反变换得: :12121( )( )nnnnx zu zza za za12()(1)(2)( )( )nx kna x kna x kna x ku k 取状态变量取状态变量 12132

8、112111201122110( )( )( )(1)(1)( )(1)(2)( )(1)(1)(1)()( )( )( )( )( )(1)(2)( )( )nnnnnnnnnnnx kx kx kx kx kx kx kx kx kxkx knx kx kna x ka xka x ku ky kx knx knx kb u ky kx kxkxkxk u k 故而得到故而得到: :1122121(1)0100( )0(1)0010( )0( )(1)( )1nnnnnx kx kx kx ku kx kaaaax k1212101( )( )( ).( )( )( )nnnnx kx k

9、y kb u kxkx kB.B.连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化 有两种情况有两种情况, ,需要采用这种方法需要采用这种方法 (1).(1).含有采样开关或数字计算机的系统进行建含有采样开关或数字计算机的系统进行建模模. . 可先按连续系统建模然后离散化可先按连续系统建模然后离散化. . (2). (2).连续系统采用计算机进行控制或仿真时连续系统采用计算机进行控制或仿真时. . 由于需编写程序由于需编写程序, ,因此必须将连续系统离散化因此必须将连续系统离散化. . 离散化的过程离散化的过程( (从动态方程的解开始从动态方程的解开始) ) 不加证明地给出结论不加证明地给出结

10、论. . 对于对于 的线性定常系统的线性定常系统 则离散化后的方程为则离散化后的方程为, ,采样周期为采样周期为T TxAxBuyCxDu0(1)( )( )( )( )( )ATTAtGex kGx kHu ky kCx kDu kHe Bdt其中三三. .离散离散-时间状态方程的解时间状态方程的解1.1.递推法递推法. . 设状态方程设状态方程 令令k=0,1,2,k=0,1,2,. .可递推求得可递推求得 2110(1)( ) (0)( ) (0)(2)( ) (0)( )( ) (0)( ) (1)( )( ) (0)( )( ) ( )kkkjjxG T xH T uxG T xG

11、T H T uH T ux kGT xGT H T u j 1x kG T x kH T u k 若若T T为常数为常数, ,则则 令令 称为离散时间状态方程的状态称为离散时间状态方程的状态转移矩阵转移矩阵, ,它是差分方程它是差分方程 的解的解. .110( )(0)( )( )kkkjjx kG xGT Hu j ( )kkG(1)( )kGk 且满足且满足 , ,则用状态转移矩阵写出的则用状态转移矩阵写出的解为解为: :(0)I1010( )( ) (0)(1)( )( ) (0)( )(1)kjkjx kk xkjHu jk xj Hu kj 2. Z2. Z变换法变换法 设离散时间的状态方程为设离散时间的状态方程为: :(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k 求求Z Z变换后得到变换后得到 于是于是11( )()(0)()( )x zzIGzxzIGHu z 0zx zzxGx zHu k 求求Z Z反变换得反变换得: : 对照递推结果对照递推结果, ,则有则有: :1111( )() (0)()( )x kzzIGz xzzIGHu z1111110()( )()( )kkkjjGzzIGzGHu jzzIGHu z