《塑性成形》课件：6.2 应变状态分析.ppt

1、2022-3-816.2 应变张量分析o 位移与应变位移与应变 o 一点的无限小应变一点的无限小应变 o 应变张量的性质应变张量的性质 o 应变增量分量应变增量分量 o 应变速率应变速率 2022-3-82位移与应变位移与应变o 位移，就是位置的移动。位移，就是位置的移动。位移包含变形体内质位移包含变形体内质点相对位移产生的应变和变形体的刚性位移点相对位移产生的应变和变形体的刚性位移( (平平动和转动）动和转动）o 位移分量，就是位移在坐标轴上的投影。位移分量，就是位移在坐标轴上的投影。2022-3-83应变应变(Strain)(Strain)指物体内部的相对变形。（指物体内部的相对变形。（飞

2、机，位移，相对变形，无应变。气球飘上天空，存在位移，受内部压力，气球表面膨胀，也存在相对变形属于应变）。与正应力和切应力相对应，应变可分为线应变和剪应变（也可称为正应变和切应变），线应变表示变形体内线素变形前后的相对变化量（长度变化）；剪应变表示线素的夹角变形前后的变化量。dxe exdxzxdxg gxzzx线应变以伸长为正，切应变以使直角变小为正。线应变以伸长为正，切应变以使直角变小为正。 一点的无限小应变一点的无限小应变:研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过10-310-2 的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。4设变形体在xoz面上的投影为ACEF，A

3、点坐标为（x，y，z），移动后为A（x+ux，y+uy，z+uz），则ux，uy，uz为A点的位移AA 在坐标轴上投影。zyxfux，设A点位移AA在x轴投影为：A2为AECF内一点，无限接近A点，A2坐标为：A2 位移A2A2在x坐标投影(泰勒级数展开，去掉高此项）：dzzdyydxx，A2dzzdyydxxfuxA，2xxduuzyxdfzyxfzyxdfzyxdfzyxf), , (), , (.), , (! 21), , (), , (2A2A2FxAu2zAu2大家可以看到A点位移AA在x轴投影为uxA2 位移A2A2在x坐标投影 为A，A2这2个点的相对位移在x坐标投影。 xxd

4、uu xdu一点的相对位移一点的相对位移：我们最终是要求的一点线应变和切应变。而和应变直接相关的就是该点的相对位移。2022-3-85dzzfdyyfdxxfduzyxdfduxx，根据泰勒级数展开：dzzdyydxxfuxA，2xxduuzyxdfzyxf),(),(以上即为A，A2这2个点的相对位移在x坐标投影。2022-3-86o 同理同理zyxguz，设A点位移在z轴投影为：，A2坐标为A2 位移A2A2在z坐标投影为：dzzdyydxx，A2A2FxAu2zAu2dzzdyydxxguzA，2zzduuzyxdgzyxg),(),(2022-3-87dzzgdyygdxxgzyxdg

5、duz，泰勒级数展开：dzzudyyudxxuduzzzz以上即为A，A2这2个点的相对位移在z坐标投影。2022-3-88o 写成矩阵的形式写成矩阵的形式 dzdydxzuyuxuzuyuxuzuyuxudududuzzzyyyxxxzyx 其中的方阵称为其中的方阵称为相对位移张量相对位移张量，其对角线元素表示相，其对角线元素表示相应坐标轴方向的线应变，其它各元素表示相对角位移。应坐标轴方向的线应变，其它各元素表示相对角位移。 dzzudyyudxxuduyyyy同理同理以上即为A，A2这2个点的相对位移在y坐标投影。dzzudyyudxxuduzzzzdzzudyyudxxuduyyyyd

6、zzfdyyfdxxfdux2022-3-89求线应变求线应变xxzzAAEuxdxuzdzECFCFdxxuuxxdxxuzdzzuxdzzuuzz刚才求解相对位移分量，现在求解应变分量。应变是由位移引起，必然与位移分量有联系。可分为线应变和剪应变，分别考察线应变和剪应变。分析微元体AC线段的线应变：其长度改变量(为变形后 AC的长度在X轴投影减去原长AC）除以AC原长。 为其线应变在x轴上投影。（相对变形）设AC原长为dx，A点坐标为（x,y,z),其位移AA在x轴投影zyxfux，C点坐标为（x+dx,y,z),其位移在y轴投影：AC平行于X轴。zydxxfucx，xexe线应变 ：表示

7、四面体在变形后，线元长度的相对改变量。表示线应变在x轴上投影xee我们取变形体内一个微元6面体，每个棱边都平行于坐标轴。ACEF为六面体在y面投影。我们所求的就是ACEF变形后在x方向和z方向的线应变。2022-3-810 xuxxedxxfzyxfucx，泰勒级数展开化简：dxxuuuxxcxdxdxxuxdxdxxuuxxxx)(edzzfdyyfdxxfdxxf因为C点坐标为（x+dx,y,z),AC平行于x轴，dy=dz=0，简化为2022-3-811同理求解：zyxguz，F点坐标为（x,y,z+dz),其位移在z轴投影dzzyxguFz，xxzzAAEuxdxuzdzECFCFdx

8、xuuxxdxxuzdzzuxdzzuuzzze分析微元体内AF线段的线应变：其长度改变量(为变形后 AF的长度在z轴投影减去原长AF除以AF原长。） 为其线应变在z轴上投影。设AF原长为dz，A点坐标为（x,y,z),其位移AA在z轴投影zedzdzzuzdzdzzuuzzzz)(e2022-3-812zuzzedzzgzyxguFz，泰勒级数展开化简：dzzuuuzzFz同理求解：yuyye2022-3-813剪应变剪应变AC与AC的夹角为zx轴投影在轴投影在轴投影在XAzzCtanCuAAuCzzczxzyxguz，A点位移AA在z轴投影为：根据前面内容：那么c点位移cc在z轴投影：zy

9、dxxgucz，dxxgzyxgucz，泰勒级数展开化简：dxxuuuzzczdxxuuuduzzczzczudxxuuxx2022-3-814xuxudxxudxdxxuxzxzzx1tanxuzzxzxtanxxxue因为远远小于1，在分母中可以忽略AC 在x轴上投影为：czudxdxxuuxxdxdxxuuxxxxdxxuuxx2022-3-815AF与AF的夹角为xzzyxfux，A点位移在x轴投影为：那么F点位移在x轴投影：dzzyxfuFx，dzzuuuduxxFxF根据前面内容：轴投影在轴投影在轴投影在ZFAxxFFtanxxFuAAuzxFxudzzuuuxxFxdzzuuzz

10、dzzux2022-3-816zuxxzxztanzzzue因为远远小于1，在分母中可以忽略yxyxyxzyzyzyaxuayuayuazu、；、同理同理zuzudzzudzdzzuzxzxxz1tanAF 在轴上投影为dzdzzuuzzdzdzzuuzzzzdzzuxdzzuuzz2022-3-817o 工程切应变为（工程切应变为（A点点夹角的变化量） yuxuaaxyyxxyxyzuyuaayzyzzyyzxuzuaazxzxxzzx2022-3-818应变张量中的剪应变分量不是工程剪应变，而是工程剪应变的一半，称为无旋剪应变（用表示）因此有如下关系yxxyyxxyaagg2/zyyzyz

11、zyaagg2/xzzxzxxzaagg2/2022-3-819刚才我们讨论 ，是根据变形体位移前后位置关系得来,是相对角应变，包含切应变和刚性转动。先以平面情况为例作如下分析。 相对角位移和切应变相对角位移和切应变a相对角位移；相对角位移；b切应变；切应变；c刚性转动刚性转动xzazxaozxxzeozxzxeyozx（a）（b）（c）zxxz2022-3-820 xzeozxzxexzazxaozxozx相对角位移和切应变相对角位移和切应变a相对角位移；相对角位移；b切应变；切应变；c刚性转动刚性转动yozx2022-3-821相对角位移包括切应变（塑性变形）和刚体移动、转动两部分,我们所

12、需要的是切应变，求解。zxyzxaexzyxzaexzzxyaa 21zxxzxzzxxzyxzxzaaaaaa2121ezxxzxzzxzxyzxzxaaaaaa2121exzxzee2022-3-822zyzxzzyyxyzxyxxzyzxzzyyxyzxyxxeaaaeaaaeegggeggge000yzxzzyxyzxyx其中其中jiijijee 21jiijijee 21g675753531687654321012101210例例刚体转动塑性变形线应变求解是根据线元素的相对长度变化得来，与刚体运动无关，是塑性变形不包含刚体移动。zuyuxuzuyuxuzuyuxuzzzyyyxxx2

13、022-3-823应变与位移的关系方程即几何方程应变与位移的关系方程即几何方程xuxxexuyuyxxy21gyuyyeyuzuzyyz21gzuzzezuxuxzzx21gzyzxzzyyxyzxyxxegggeggge一点处的应变状态用一点处的应变状态用应变张量表示：应变张量表示：2022-3-824o 柱坐标系下的几何方程柱坐标系下的几何方程rurrerurururrg21erururgruzuzz21 zuzzezururzzr21g2022-3-825o 一点处的应变状态完全取决于上述六个应变分一点处的应变状态完全取决于上述六个应变分量。同一点处的应力状态类似，一点处的应变量。同一点

14、处的应力状态类似，一点处的应变状态也可以用状态也可以用应变张量应变张量表示。各应变分量称为表示。各应变分量称为应变张量分量应变张量分量，用矩阵表示，用矩阵表示 zyzxzzyyxyzxyxxTegggegggeezzrzzrzrrrTegggegggee 直角坐标系直角坐标系 柱面坐标系柱面坐标系 如已知一点的应变，其六个应变分量均由三个位移分量求得，六个应变分量应有一定的关系。这种关系为变形连续方程或协调方程。 从几何方程可导出以下二组变形连续方程。 yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzxeeeeeeeeeeee22222222222222222221

15、2121zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxyeeeeeeeee变形连续方程： 1.1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定； 3.3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应

16、变分量自然如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。须校验其是否满足连续性条件。 2022-3-829应变张量的性质应变张量的性质 o 主应变与应变张量不变量主应变与应变张量不变量 zyxIeee10321eee)(2222zxyzxyxzzyyxIgggeeeeee)(133221eeeeee22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIgegegegggeee321eee应变张量也是一个二阶张量，因此也有其主方向，主应变，特征方程及应变张量不变量。第一、第二、

17、第三应变张量不变量用主应变表示可写为2022-3-830根据体积不变原理， 3个主应变分量相加为0，3个主应变不能同号，绝对值最大应变与其余应变方向相反。主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式e e10321eee2022-3-831o 主切应变与最大切应变主切应变与最大切应变 22112eeg23223eeg23113eeg23113maxeegg2022-3-832o 球应变分量与偏差应变分量球应变分量与偏差应变分量 zyzxzzyyxyzxyxxegggegggemmmeee000000zyzxzzyyxyzxyxxegggeggezyxmeeeeeee313

18、1321应变张量也可分解为如下球应变张量和偏应变张量球应变张量表示材料的体积变形；偏应变张量表示材料的形状变形。而偏应变张量也是一个二阶张量，因而同样有其主方向、主偏应变，特征方程及第一、第二、第三不变量（常用K1、K2、K3表示）。因为塑性变形体积不变原则，0321zyxeeeeee0me这种分解没有意义2022-3-833将下式两边都对时间求导，左边应变张量中各应变分量对时间的导数称为应变速率，常用应变符号上面加点表示。右边矩阵中的分量就成了速度v对坐标的偏导数。这样就可得应变速率与速度的关系式zyzxzzyyxyzxyxxTegggegggee应变速率应变速率 zyzxzzyyxyzxy

19、xxTegggegggee2022-3-834o 应变特点应变特点 0zyzxzggeyxee31ee02e3e 平面应变：平面应变：物体只在一个平面上发生变形，而在法线方向没有变形。物体只在一个平面上发生变形，而在法线方向没有变形。0ze2022-3-835o 几何方程几何方程 xuxxeyuyyexuyuyxxy21g2022-3-836平面应变问题 根据以后将阐述的塑性应力应变关系，如z方向无变形，则相应的偏应力分量则为零，即z =0、zx=zy=0，平面应变对应的应力张量可表示为 应力特点应力特点 31321221310mzyzx，1)(2131232022-3-837rurrezuzzerureruzuzrzr21g 轴对称变形轴对称变形o对于轴对称状态，通过轴线子午面不会扭曲，始终为平面，所以向位移为0，由于u/=0及=z=0，应变张量中四个独立的应变分量为 已知一点相对位移张量如下：求解应变张量，刚体转动矩阵。2022-3-838312523411