《金属塑性成形力学》课件：5极限分析原理.ppt

1、5 极限分析原理教学目的和要求教学目的和要求 通过本章的学习，掌握上界法通过本章的学习，掌握上界法(上限法上限法)的基本原理的基本原理。 内容前言前言5.1 极限分析的数学基础极限分析的数学基础5.2 极限分析的基本概念极限分析的基本概念5.3 虚功原理虚功原理5.4 最大塑性功原理最大塑性功原理5.5 下界定理下界定理5.6 上界定理上界定理前言前言n极限分析法：极限分析法：n极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。n极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。n极

2、限状态的开始也就是塑性变形的开始。极限状态的开始也就是塑性变形的开始。n求极限载荷的问题一般只限于求极限载荷的问题一般只限于理想刚塑性体理想刚塑性体。图图1.28 理想理想刚刚-塑性材料塑性材料n上界法（上限法）：上限中求最上界法（上限法）：上限中求最小小值。值。n下界法（下限法）：下限中求最下界法（下限法）：下限中求最大大值。值。n上界法：其计算结果上界法：其计算结果大大于实际的数值。于实际的数值。n下界法：其计算结果下界法：其计算结果小小于实际的数值。于实际的数值。n极限分析法的适用范围远超过工程法和滑移线法。极限分析法的适用范围远超过工程法和滑移线法。5.1 极限分析的数学基础极限分析的

3、数学基础(自学自学)n自由下标：自由下标：a13a23n应变与位移关系的几何方程：应变与位移关系的几何方程：（直角坐标系）（直角坐标系）相关规定相关规定： (P24)式式(1.25)y式式(1.27)n应变速率与位移速度的几何方程：应变速率与位移速度的几何方程：应变速率与位移速度关系的应变速率与位移速度关系的几何方程几何方程应变与位移关系的应变与位移关系的几何方程几何方程式式(1.39)应变速率张量应变速率张量式式(1.27)5.2 极限分析的基本概念极限分析的基本概念n金属成形要得到应力与应变的金属成形要得到应力与应变的真实解真实解必须满足很多条件。必须满足很多条件。(P145)n运动许可：

4、运动许可：只要求只要求满足几何方程、体积不变、速度边界条件。满足几何方程、体积不变、速度边界条件。 (上界法上界法)n静力许可：静力许可：只要求只要求满足静力平衡、应力边界条件、满足静力平衡、应力边界条件、不违背不违背屈服条件。屈服条件。 (下界法下界法)n上界法：上限中求最上界法：上限中求最小小值。其计算结果值。其计算结果大大于实际的数值。于实际的数值。应用更广泛。应用更广泛。n下界法：下限中求最下界法：下限中求最大大值。其计算结果值。其计算结果小小于实际的数值。于实际的数值。n真实解介于二者之间真实解介于二者之间。塑性变形方程小结：塑性变形方程小结：1.力平衡方程：方程数力平衡方程：方程数

5、3个，未知数个，未知数6个个2.几何方程（应变与位移）：方程数几何方程（应变与位移）：方程数6个，未知数个，未知数9个个3.本构方程（应力与应变）：方程数本构方程（应力与应变）：方程数1个个（6个关系式）个关系式）（列维密塞斯流动法则）（列维密塞斯流动法则） 屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚塑性模型等）屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚塑性模型等）式式(2.37)力平衡方程力平衡方程式式(2.4)几何方程几何方程式式(1.27)物理方程物理方程5.3 虚功原理虚功原理参考书：参考书：徐秉业，陈森灿编著，徐秉业，陈森灿编著，“塑性理论简明教程塑性理论简明教程”，清华大学出版社，

6、清华大学出版社，1981n虚功虚功(率率)：在产生：在产生虚虚位移的过程中，位移的过程中，真实真实力所做的功力所做的功(率率)。n虚位移：不一定是实际的位移。虚位移：不一定是实际的位移。n载荷系：力、力矩、分布载荷载荷系：力、力矩、分布载荷n虚位移：平移、旋转、平移旋转虚位移：平移、旋转、平移旋转n虚位移原理：当一个质点（或刚体）在力系（或载荷系）的作用下处于虚位移原理：当一个质点（或刚体）在力系（或载荷系）的作用下处于静力平衡静力平衡时，可以给该质点（或刚体）沿任何方向的一个虚位移，在产时，可以给该质点（或刚体）沿任何方向的一个虚位移，在产生此虚位移的过程中，外力所作的虚功必须等于零。生此虚

7、位移的过程中，外力所作的虚功必须等于零。n虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等于内力（或应力合力）所做的虚功。于内力（或应力合力）所做的虚功。n虚功原理是极为重要的力学研究手段。虚功原理是极为重要的力学研究手段。n虚位移必须与结构的支承不相矛盾，还必须保持结构的连续性。虚位移必须与结构的支承不相矛盾，还必须保持结构的连续性。n虚功原理不涉及材料特性，适用于所有结构。虚功原理不涉及材料特性，适用于所有结构。n应

8、用虚功原理时，所有作用力在虚位移中都当作应用虚功原理时，所有作用力在虚位移中都当作常量常量。5.3.1 虚功原理表达式虚功原理表达式n在在平面变形平面变形状态下，应力和速度连续时：状态下，应力和速度连续时：虚虚 功功 率率T式式(5.4)式（式（5.4）中应力与应变速率、表面力与位移速度没有物理上的因果关系，）中应力与应变速率、表面力与位移速度没有物理上的因果关系，即与塑性变形是否发生无关，但要满足力平衡方程、应力边界条件、几何方程即与塑性变形是否发生无关，但要满足力平衡方程、应力边界条件、几何方程及连续性。及连续性。虚功率虚功率PQ应用虚功原理时，所有作用力在应用虚功原理时，所有作用力在虚位

9、移中都当作虚位移中都当作常量常量。5.3.2 存在不连续时的虚功原理存在不连续时的虚功原理n速度不连续时速度不连续时：（平面变形）（平面变形）式式(5.6)F1区区F2区区F区区应力在应力在F区内、速度在区内、速度在B线上是连续的。线上是连续的。n速度不连续时：速度不连续时：式式(5.8)式式(5.6)式式(5.7)速度不连续线速度不连续线L上：上：（存在多条速度不连续线时）（存在多条速度不连续线时）n应力不连续时应力不连续时：（平面变形）（平面变形）式式(5.4)应力场存在应力不连续线时对虚功原理式应力场存在应力不连续线时对虚功原理式（5.4）无影响。无影响。n对一般对一般三维三维变形问题，

10、虚功原理也成立。变形问题，虚功原理也成立。n表达式：表达式：式式(5.9)5.4 最大塑性功原理最大塑性功原理n弹性势：弹性势：式式(2.33)n塑性势：塑性势：式式(5.10)式式(5.11)Mises屈服准则：屈服准则：由式（由式（5.10）、）、式（式（5.11）得：得：列维列维-密赛斯流动法则：式密赛斯流动法则：式(2.39)d= d/6若适合列维若适合列维- -密赛斯流动法则，屈服函数就是塑性势。密赛斯流动法则，屈服函数就是塑性势。dx =列维密塞斯方程列维密塞斯方程n列维密塞斯流动法则：列维密塞斯流动法则：假设：假设：A）总应变增量）总应变增量=塑性应变增量塑性应变增量 忽略弹性变

11、形忽略弹性变形 B）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成正比；成正比； 增量理论适用于简单加载和增量理论适用于简单加载和复杂加载，适用性广。复杂加载，适用性广。式式(2.37)式式(2.39)n把屈服函数作为塑性塑性势时，把屈服函数作为塑性塑性势时， 的的几何几何意义意义(满足列维满足列维-密赛斯流动法则时密赛斯流动法则时) 塑性应变增量的矢量应与通过屈服曲面上该点位置的外法线方向一致。塑性应变增量的矢量应与通过屈服曲面上该点位置的外法线方向一致。式式(5.12)n最大塑性功原理表达式：最大塑性功原

12、理表达式：最大塑性功原理表达式：最大塑性功原理表达式：功功功率功率5.5 下界定理下界定理式式(5.9)式式(5.21)下界定理：下界定理：pi*pi5.6 上界定理上界定理n上界定理：上界定理：运动许可运动许可的速度场的速度场 运动许可的运动许可的vi* ij* 二者满足列维二者满足列维-密赛斯流动法则，密赛斯流动法则，所形成的塑性功率最大。所形成的塑性功率最大。n按最大塑性功原理：按最大塑性功原理：式式(5.24)式式(5.20)n上界定理上界定理(定义定义)： 与虚拟的与虚拟的运动许可运动许可的应力场相平衡的外力所提供的功的应力场相平衡的外力所提供的功(率率)大于或等大于或等于于与真实应

13、力场相平衡的外力所提供的功与真实应力场相平衡的外力所提供的功(率率)。 按运动许可速度场所确定的功率，对实际所需功率给出按运动许可速度场所确定的功率，对实际所需功率给出上界上界(上限上限)值。值。ij* ij上界定理：上界定理：pi*p式式(5.24)式式(5.9)n具体分析：具体分析：可忽略可忽略式式(5.25)式式(5.26)n内部塑性变形功率内部塑性变形功率 Win剪切功率剪切功率 Wsn附加外力功率附加外力功率 Wb前滑区前滑区后滑区后滑区byxopxpx式式(5.28)式式(5.29)式式(5.30)n(重要假定重要假定)材料是由速度不连续面分割的许多刚性块所组成，并材料是由速度不连续面分割的许多刚性块所组成，并认为材料的塑性变形仅是由各刚性块相对滑动引起的。认为材料的塑性变形仅是由各刚性块相对滑动引起的。n式式5.25可简化为：可简化为：式式(5.25)图图4.22(a)式式(5.34)n真实外力功率真实外力功率J：镦粗、挤压和拉拔：镦粗、挤压和拉拔：JPv轧制：轧制： J=M式式(5.35)式式(5.36)