计算材料学1.ppt

1、计算材料学II 1 尚 家 香新主楼 D431房间82316500 (O)第一章第一章 引引 言言时时 间间: 1-17周周, 周五周五 4:00-6:00地地 点点: 四四(314)教教 材材: 计算材料学基础计算材料学基础 北航出版社北航出版社 张跃张跃, 谷景华谷景华, 尚家香尚家香,马马 岳岳 参考书参考书: 量子力学教程量子力学教程 周世勋周世勋 现代材料计算与设计教程现代材料计算与设计教程 吴兴惠吴兴惠 项金钟项金钟 编著电子工业出版社编著电子工业出版社 基础量子化学与应用基础量子化学与应用 刘靖疆刘靖疆 编著编著 高等教育出版社高等教育出版社 1. 教学目标教学目标 计算材料学计

2、算材料学是材料专业的专业课是材料专业的专业课本课程涵盖从电子、原子层面的材料计算方法本课程涵盖从电子、原子层面的材料计算方法计算模拟方法、各方法的相关理论基础和应用。计算模拟方法、各方法的相关理论基础和应用。 课程目的课程目的: (1)使学生了解当前计算材料学主要方法的理论基础及其应用；使学生了解当前计算材料学主要方法的理论基础及其应用； (2) 掌握采用计算机进行材料研究的基本方法；掌握采用计算机进行材料研究的基本方法； (3)开阔思路，培养用物理、数学模型考虑研究对象的开阔思路，培养用物理、数学模型考虑研究对象的 能力和习惯。能力和习惯。 (4) 为将来能够进行材料的计算机为将来能够进行材

3、料的计算机“实验实验”打下基础。打下基础。 (5) 使学生将所学的计算机及材料的知识结合起来，使学生将所学的计算机及材料的知识结合起来， 使计算机真正成为材料研究工作的工具。使计算机真正成为材料研究工作的工具。 2. 教学内容教学内容 量子力学基础电子结构计算方法及应用分子动力学方法及应用3. 教学安排及方式教学安排及方式 4. 考核方式考核方式 考试：考试：成绩按成绩按100分计。分计。其中期末考试占其中期末考试占80，平时成绩占，平时成绩占20。5. 材料计算与设计的概念材料计算与设计的概念Materials computation and Design以计算机为手段，以计算机为手段，通过

4、理论与计算通过理论与计算预报新材料的组分、结构与性能预报新材料的组分、结构与性能以及合成与加工以及合成与加工进行综合研究的一门学问进行综合研究的一门学问6.材料计算与模拟分类材料计算与模拟分类 第一原理：第一原理：First-principles, ab initio calculation分子动力学Monte Carlo 方法相场相图计算有限元方法 尺寸基本单元：尺寸基本单元：宏观宏观(Macroscopic)介观介观(Mesoscopic)微观微观(Microscopic)时间尺度：时间尺度：ps (10-12s) 年分子动力学分子动力学腐蚀、疲劳、蠕变腐蚀、疲劳、蠕变晶体结构晶体结构层内

5、晶粒层内晶粒层状结构层状结构试样试样电子结构7. 应用范围应用范围原子结构和电子结构原子结构和电子结构金属，陶瓷，高分子等没有限制，金属，陶瓷，高分子等没有限制，力学性质，掺杂效应，表面吸附，力学性质，掺杂效应，表面吸附，光学性质，光谱计算光学性质，光谱计算反应势垒，磁性，能带结构反应势垒，磁性，能带结构应力应变，变形机制，热力学性质，晶格应力应变，变形机制，热力学性质，晶格振动，振动， 扩散系数等，界面偏聚扩散系数等，界面偏聚生物，制药生物，制药8. 国内外研究现状国内外研究现状-（一）国外（一）国外(1)在美国已有一些公司开发材料计算软件在美国已有一些公司开发材料计算软件 较早在世界上推销

6、原子水平上的有关材料光、电、磁、较早在世界上推销原子水平上的有关材料光、电、磁、热等性能的计算软件热等性能的计算软件 Material studio， Gaussian (2)美国美国 各大学各大学(3)日本东北大学与日立公司日本东北大学与日立公司 联合成立了计算机辅助材料设汁部，几年前就在世界范联合成立了计算机辅助材料设汁部，几年前就在世界范围内聘请研究人员，开展了有特色的工作围内聘请研究人员，开展了有特色的工作(4) 欧洲的大学欧洲的大学 Walter Kohn Nobel化学奖化学奖1998年年Jone A Pople数学和物理学学士学位 GAUSSIAN (1970)the densi

7、ty-functional theorycomputational methods in quantum chemistry1925 -20041923-2013年诺贝尔化学奖年诺贝尔化学奖Multiscale models for Complex Chemical Systems美国三位科学家Martin Karplus, Michael Levitt和Arieh Warshel获奖。获奖理由是“为复杂化学系统创立了多尺度模型为复杂化学系统创立了多尺度模型”Martin Karplus 1930年出生于奥地利维也纳。美国哈佛大学荣誉退休教授， The research of Professo

8、r Martin Karplus and his group is directed toward understanding the electronic structure, geometry, and dynamics of molecules of chemical and biological interest.Michael Levitt)：美国和英国公民。1947年出生。1971年从英国剑桥大学获得博士学位。美国斯坦福大学医学院教授。computational structural biology including: protein and RNA structure pred

9、iction, protein dynamics, approaches to coarse graining, development of potential energy functions and methods for crystal structure refinement, lattice models of protein structure, small ligand docking and more. Arieh Warshel)：美国和以色列公民。1940年出生于以色列。美国南加州大学教授。The first molecular dynamics simulation o

10、f a biological process was reported by Warshel in a 1976 study of the primary event of the vision process. the use and development of various QM/MM approaches.（二）国内情况（二）国内情况 在在“863”新材料领域，自新材料领域，自1987年开始设立年开始设立“材料微观材料微观结构设计和性能预测结构设计和性能预测”专题专题 1996年设立了年设立了“863新材料模拟设计实验室新材料模拟设计实验室”，开展，开展原子水平的模拟计算。原子水平的

11、模拟计算。 1997年设立年设立973材料计算设计项目材料计算设计项目 设立国防设立国防973 国家自然科学基金，地方基金国家自然科学基金，地方基金（三）（三） 北航情况北航情况 力学系有限元软件力学系有限元软件 物理学院物理学院 化学学院化学学院 空气动力学、流体力学等等空气动力学、流体力学等等 学校网络中心学校网络中心 计算机集群计算机集群 材料学院材料学院:专用机房北航材料计算与模拟实验室简介北航材料计算与模拟实验室简介 硬件硬件材料计算与模拟专用机房；8CUP SGI和Dell的8CPU计算工作站2台; 微机30余台；80 CPU的 Cluster；软件软件Materials Stud

12、io: CASTEP Discover VASP Gaussian98XMD， LAMMPSAnsysThermocal项目项目国家自然科学基金项目多项；参加国家自然科学基金重点项目, 973项目教师和学生教师和学生:课程课程:本科生: 量子力学, 计算材料学, 特色实验研究生: 固体物理, 计算材料学, 电子结构与材料性能, 特色实验微观高速（相对论量子力学）（量子场论）宏观高速 （相对论）微观低速（量子力学）宏观低速（经典力学）Vrc2.1 量子力学研究对象介观第二章量子力学基础第二章量子力学基础量子理论2量子理论相对论二十世纪物理学两个化时代发现相对论（Einstein）:高速运动。改变

13、了牛顿的 绝对时空观。经典物理: 低速、宏观条件下物质的运动量子力学：反映微观粒子(分子,原子,原子核基本粒子等)运动规律的理论。是在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的.2.2 为什么要学习量子力学？专门学科获奖次数专门学科获奖次数热学、物性学、分子物理光学X射线原子物理学核物理学凝聚态物理7112679154319磁学无线电物理波谱学天体物理低温物理与超导新效应物质微观结构新技术49159131282319012000年物理学Nobel Prize统计情况量子力学、量子电动、弱电粒子物理有关量子力学的奖项物理 1911 维恩 发现热辐射定律 （德）物理 1918 普朗克 能量子 （

14、德）物理 1921 爱因斯坦 光电效应的解释 （德）物理 1922 玻尔 原子结构和原子光谱 （丹麦）物理 1929 德布罗意 波粒二象性 （法）物理 1932 海森伯 矩阵力学 （德）物理 1933 薛定谔 波动力学 (奥地利) Dirac 电子相对论方程、量子场论 (英) 物理 1945 泡利 泡利不相容原理 (奥地利) 物理 1954 玻恩 波函数统计解释 （德）化学 1954 鲍林 研究化学键性质和复杂的分子结构化学 1966 马利肯 创立分子轨道理论化学化学 1998 科恩科恩(物理学家物理学家)、玻普、玻普(数学家数学家) 密度泛函理论密度泛函理论化学化学 2013 Martin

15、Karplus, Michael Levitt和Arieh Warshel量子力学是物理学的基础；化学、化工；材料科学的基础； STM, AFM的基础是量子力学的原理。 1986年物理 Nobel Prize Emst Ruska, 1906-1988 电子显微镜 Gerd Binnig，1947 Heinich Rohere 1933 纳米材料与器件 单电子器件扫描隧道显微镜STM,分辨率达0.01nm生物、制药：2.3 经典物理学的困难和量子力学产生19世纪末，物理学普遍存在一种乐观情绪，认为对复杂纷纭的物理现象的本质的认识已经完成。牛顿力学热力学和统计物理麦克斯韦方程：电、磁、光两朵乌云

16、导致麦科尔逊莫雷实验相对论导致黑体辐射的紫外灾难量子力学经典物理学在微观领域遇到困难： （1）不能解释黑体辐射的能谱、比热容随温度变化 （2）光的波动说无法解释光电效应 （3）不能给出原子的稳定结构，不能说明原子光谱 的规律。为什么天体能够无摩擦穿行于“以太”？为什么无法测量“以太”速度？黑体辐射的紫外灾难？1. 黑体辐射问题问题的提出：研究黑体辐射与周围物体处于平衡状态 时的能量密度随波长的分布曲线与经典理论不符合黑体：一个物体能够全部吸收投射到它上面的辐射而没有反射。圆圈代表实验数据. 基于热力学基于经典电动力学统计物理学312expdccdT238kTddc理论物理学家试图用经典物理来说

17、明能量分布规律，都没有成功！维恩1893年用热力学并加上一些假设，得到维恩公式：瑞金公式：只在高频段与实验符合，低频不符合Rayleigh and Jeans利用电动力学导出了另一式子：在低频段与实验符合，而在高频段不符合。在极高频率时能量趋于无穷大。紫外灾难普朗克(理论物理学家)，1900年研究，从实验着手，密切关注实验进展。从鲁本斯鲁本斯得到信息。312expdccdT238kTddc312exp1cddcT普朗克公式频率低频率高222exp111cccTTT 维恩公式维恩公式: 瑞金公式普朗克并不满足找到一个经验公式，探求理论基础？经过三个月的紧张工作，试图从热力学普遍理论的基础上推出这

18、个与实验完全一致的公式。但是失败了最后只好“孤注一掷”，采用玻尔兹曼统计分布来试一试，即能量分成一份一份地分给有限个谐振子。普朗克量子假说： 对于一定频率的辐射，物体只能以 h 为能量单位吸收或发射它，h是一个普适常数。 即物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为 在此基础上，推导出：h338exp1Bhddchk T普朗克根据黑体辐射的数据常数，计算出346.65 10hJs普朗克常数1900年12月14日，普朗克在德国物理年会上报告了他的结果，完成了从经典物理学到量子理论的第一个飞越，开创了量子理论的先河。1918年获奖普朗克常数vc相对论力学退化为牛顿力学plhh

19、的作用可以忽略，量子力学退化为经典力学2. 光电效应 1902年Lenard发现了光电效应： 1905年获奖 (1) 要从一个给定的金属表面获得电子，只有大于 一定频率的入射光才是有效的；(2) 发射出来的电子最大速度不依赖于光的强度，只与光的波长有关，波长减小时电子动能增加。1905年Einstein在普朗克量子假说的启发下，大胆地提出了光量子的假说。光是由光量子组成，每个光量子的能量与频率的关系为：Eh根据能量守恒定律，得出2012mvhWEinstein 光电方程还没有得到承认；但同时实验工作者开展了全面工作。密立根(1905)1914从实验上证实了Einstein 光电方程。212mv

20、2012mvhW1919年康普顿散射实验进一步证明光有粒子性，（1927年获奖） 高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后,波长随入射角的增大而增大.按照经典电动力学,电磁波被散射后波长不应改变.如果把这个过程看作是光子与电子碰撞的过程,就可以解释这个过程.以上三个实验说明： 光光 既有既有波动性波动性又有又有粒子性粒子性 即波粒二象性即波粒二象性EhhpEinstein1921年获奖密立根1923年获奖3. 原子结构的困难（1）Rutherford 提出了原子的有核模型，1908化学奖 1910发现原子的有核模型原子的稳定性问题：原子就不稳定，最后落入原子核中，致使整个原子塌陷而实际上并非如此

21、。电子绕原子核做高速旋转（2）原子光谱原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱线是一样的。1885年Balmer 给出了计算氢原子光谱的公式为：2211nmHcRnm根据经典物理，如果电子绕原子核做高速旋转，辐射频率应该是连续的。而且原子也不稳定。无法解释实验现象？（3）玻尔的原子结构理论玻尔量子论（假设） 原子中电子只能处于一系列特定轨道 电子在这些轨道上可以稳定运动，不辐射电磁波，但可以突然从一个轨道跃迁到另一个轨道，同时吸收或放出能量（电磁波），频率为 量子化条件：211()EEh)2 , 1 , 0(nnhqpd广义动量广义坐标周期运动积分电子落

22、入核中 光谱连续复杂光谱 光谱强度 有核模型经典模型 量子化条件 玻尔理论导致困难导致玻尔理论的局限：将微观粒子看成经典力学中的 质点，不能解释稍复杂原子(氦)的谱线。也 不能给出处理谱线强度的方法。2.4 微粒的波粒二象性1924年，法国青年德布罗意逆向思维：光：波 =粒子 ； 反之： 粒子波？大胆提出：实物粒子具有波动性. / 22hknEhhpnk波矢运动方向单位矢量其中kn德布罗意关系德布罗意在他的博士论文提出：在一定的情形下，任一运动质点能够被衍射。穿过一个相当小的开孔的电子群会表现为衍射现象。正是这一方面，有可能寻得我们观点的实验证据。问：有没有办法验证这一新的观点？答：通过电子在

23、晶体上的衍射实验，应当有可能观察到这种波动的效应。被1927年戴维革末的电子衍射实验证实德布罗意1929年获得Nobel奖电子被有序合金Cu3Au衍射照片电子具有波动性，验证德布罗意的预言。根据德布罗意关系：Ehhpnk可以计算任何实物粒子的波长（物质波）对于自由粒子，动能和动量都是常量，所以与自由粒子对应的德布罗意波长不变，因此可以用平面波来描述：itiEtAeAe k rp rcos 2cos 2cosxAtAtAtrnkr用复数表示波函数自由粒子的波函数用复数表示：itiEtAeAe k rp r为什么？求自由粒子的德布罗意波长设自由粒子的动能为E，粒子的速度远小于光速，有22pEm则德

24、布罗意波长为：2hhpmE/2hm e V.h m e025.12AV如果电子用v伏电压加速，则代如上式得:如v=150伏，则01 A如v=10000伏，则00 .1 2 2 A所以要观察电子衍射，用普通光栅不行，必须采用晶体作光栅。例1. 设有一个重为m=50kg的短跑运动员，以v=10ms-1 的速度运动，求其相应的德布罗意波长。解 : 该运动员的动量为P=mv=500kg. m. s-1相应的德布罗意波长为:361.52 10hmp答:运动员相应的德布罗意波长为1.521036m。讨论：他的德布罗意波长与自身的尺寸相比太小。例2. 求能量为100eV的自由电子的德布罗意波长。解：由计算德

25、布罗意波长公式可知343134311922106.626 1022 9.11 101006.626 102 9.11 10100 1.602 101.23 10hJ smEkgeVJ skgkg msm讨论：电子的德布罗意波长远大于它本身的 尺寸，它的波动性不能忽略。 答:略（利用德布罗意关系式，讨论波动性与粒子性的关系.）2.5 波函数波函数 薛定锷方程薛定锷方程 (1) 薛定锷方程薛定锷方程 其中E为能量本征值， 为描述体系状态的波函数，H为体系的哈密顿量， ),(222tzyxVmHtiH2222222zyx 定态问题，即 不随时间改变，可得到定态薛定锷方程 ),(zyxVV 22( ,

26、 , )2HV x y zm 22( )2V rE(2) 定态薛定锷方程定态薛定锷方程 定态薛定谔方程推导定态薛定谔方程推导(, )()Ur tUr22( , )( , )( , )( , )2ittUr tr tt rr( , )( )( )(1)r trft有一种特殊情况，势场不随时间而变有一种特殊情况，势场不随时间而变:用分离变量法解方程设用分离变量法解方程设22( , )( , )( )( , )2ittUrr tt rrVVVV221( )( )( )( )( )( )2iftrUrrfttrm左、右两边变量独立，两边必为常数，记为左、右两边变量独立，两边必为常数，记为E()( )r

27、ft同除上式两端得22( )( )( )()( )( ) ( )( )2r if tf trU rr f ttmVV( )( )d ftiE d tft( )iEtf te其中其中E的物理意义是粒子的总能量的物理意义是粒子的总能量22(2)( )(3)2dfiEfdtU rE由（2）( , )( )( )( )iEtr trftr eV( )U r( ) r( , )( )iE tr tr e方程方程22( )(3)2U rE定态薛定谔方程定态薛定谔方程对给一个具体问题，就给定一个对给一个具体问题，就给定一个 ，由由(3)解出解出 满足方程满足方程( , )r t22( )2( , )( ,

28、)iEtU rEHr tEr t 能量本征函数能量本征函数(4)(6)(5)(7)VVV能量算符能量算符22( )2HU r 哈密顿算符哈密顿算符( , )( , )Hr tEr t能量本征方程能量本征方程能量本征函数，能量本征函数， 本征值本征值(7)V nEEEE321,123,n 1, 2, 3.nnnHEn若能量本征方程若能量本征方程 的本征值为：的本征值为：本征函数为：本征函数为：( , )( , )Hr tEr t则体系的第则体系的第n个定态波函数为个定态波函数为( , )( )niE tnnr tr e( , )( )niE tnnnr tCr e通解应为通解应为其中Cn由初始条

29、件定波函数波函数绝对值的平方为粒子在空间一点出现的几率，绝对值的平方为粒子在空间一点出现的几率，由波函数可以得出体系的各种性质由波函数可以得出体系的各种性质 ，因此说波函，因此说波函数描写体系的量子状态数描写体系的量子状态2( ) rx y z 表示在表示在r点处点处 的体积元的体积元 x y z中中找到粒子的几率找到粒子的几率.23( )1rd r归一化条件归一化条件(3) 波函数统计解释波函数统计解释波函数的标准条件波函数的标准条件: 有限性有限性, 连续性和单值性连续性和单值性边界条件和归一化条件边界条件和归一化条件. n,21(4) 态叠加原理态叠加原理 也是可能的态也是可能的态。如果

30、如果12是体系的可能状态，则他们的线性是体系的可能状态，则他们的线性叠加叠加1122cc态迭加原理推广到更一般的情况：态迭加原理推广到更一般的情况：如果如果 是粒子可能的态，是粒子可能的态，则则nnnC意义意义: 当体系处于线性叠加态时, 粒子既可处在1态,也可处于2态. 测量时将会发现, 粒子分别以一定的几率存在2.6 算符和力学量算符和力学量 3 1.算符：算符：作用在一个函数上变成另一个函数的符号作用在一个函数上变成另一个函数的符号。 通常使用通常使用 表示算符，则其定义可表示为：表示算符，则其定义可表示为：Ff(x)f(x)1 5sinxsinx5 xsinxsinx x2、相乘的算符

31、例2. 本征值方程本征值方程如果算符如果算符 作用于一个函数作用于一个函数 ，结果等于，结果等于 乘以一个常数乘以一个常数FF的本征值的本征值F本征函数本征函数本征值方程本征值方程动量算符：动量算符：iprr坐标算符：坐标算符：xyzpixpiypiz 能量与哈密顿算符相对应能量与哈密顿算符相对应22( )2HU r怎样得到的？怎样得到的？22222122xpTmpHmxm经典物理中以动量和坐标描述粒子运动状态，其它物理量也可用这两个量表示。例如：动能一维谐振子哈密顿量如果量子力学中的物理量如果量子力学中的物理量F在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符力学量，则

32、表示这个力学量的算符 由经典表示式由经典表示式 将将P换成算符换成算符 即得即得F( , )F r p p2222222mmpTmpT动能算符动能例如：xmxmxmmpHxmmpHxx2222222222212212212谐振子哈密顿量：prLprL角动量)(;4 . 3kzjyixipkzj yi xr）：由（)()()()()(kxyyxjzxxziyzzyikzjyixkzj yi xiL算符与它表示的力学量之间的关系？算符与它表示的力学量之间的关系？体系处于哈密顿算符本征态，能量有确定值，体系处于哈密顿算符本征态，能量有确定值，这个值就是这个值就是H在本征态时本征值。在本征态时本征值。

33、只有量子力学中才有, 而经典力学中没有的力学量(自旋)算符的引进到后面再讲.3. 厄米算符厄米算符定义：如果定义：如果 满足下式，叫厄米算符满足下式，叫厄米算符F*() (3.1-8)FdxFdx其中， 和 都是任意函数， x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。基本假设：如果算符力学量基本假设：如果算符力学量 表示力学量表示力学量F，那么，那么 当体系处于当体系处于 的本征态时，力学量有确定值，的本征态时，力学量有确定值， 这个值就是这个值就是 在这个态中的本征值。在这个态中的本征值。FFF力学量的数值都是实数。力学量的数值都是实数。是厄米算符例x1dxxdxxdxx)(*xx

34、xpdP dxidxdxdiidxdxpdx 例2 动量算符是厄米算符对于动量算符的一个分量有：厄米算符的性质：厄米算符的性质：（1) 厄米算符的本征值是实数厄米算符的本征值是实数（2）厄米算符属于不同本征值的本证函数）厄米算符属于不同本征值的本证函数相互正交相互正交属于动量算符不同本征值的两个本征函数相互正交属于动量算符不同本征值的两个本征函数相互正交一般地，如果两函数一般地，如果两函数 12, 满足关系式：满足关系式：*120d 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称12, 相互正交。相互正交。可以证明可以证明:厄米算符的属于不同本征值的两个厄

35、米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。本征函数相互正交。（3）厄米算符本征函数组成完全系）厄米算符本征函数组成完全系 如果一套本征函数如果一套本征函数 能将任一函数能将任一函数 线性组合而成线性组合而成n,21 x x (3 .6 -1 )nnnxc即则这套本征函数就是一个完全系。则这套本征函数就是一个完全系。厄米算符本征函数组成厄米算符本征函数组成正交归一完全系正交归一完全系4. 力学量与算符的关系（基本假定）力学量与算符的关系（基本假定）量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，他们的本征函数组成完全系。当体系处于波函他们的本征函数组成完全系。

36、当体系处于波函数数 所描写的状态时，测量力学量所描写的状态时，测量力学量F所得的数所得的数值，必定是算符值，必定是算符 的本征值之一，测得的本征值之一，测得 的几率是的几率是 。( ) xFn2nc测量情况：测量情况：如果知道了如果知道了 和相应的几率分布和相应的几率分布就等于知道了这个量的全部信息就等于知道了这个量的全部信息nFFF21,理论计算理论计算 波恩假设如果要从波恩假设如果要从 ，采用如下步骤，采用如下步骤： 算符算符 解本征方程解本征方程 用用 展开展开F求),(),(rpFrpFnnnF将nnncccc332211nnnccccFFFF232221321321,几率测量值本征值特例：特例：1. 这时系统处于这时系统处于 的本征态。相当于的本征态。相当于所以只有所以只有 的几率为一，其它为零。的几率为一，其它为零。即：系统处于某力学量的本征态时，只能测到一即：系统处于某力学量的本征态时，只能测到一个本征值。个本征值。反过来也成立：如果只能测到某力学量的一个值，反过来也成立：如果只能测到某力学量的一个值，系统必处于这个力学量的本征态，系统必处于这个力学量的本征态， 这个值一这个值一定是本征值。定是本征值。nFn1000321n