《计算材料学》课件：2.ppt

1、2.7 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 1. 动量算符动量算符: 动量算符本征值方程为：动量算符本征值方程为：( )( )PPiPrr( )( )( )( )( )( )PxPPyPPzPrPrixrPriyrPriz( )expP rpirC3将动量波函数归一化，将动量波函数归一化，*2( )( )exp PxxPyyzzirr dCppxppyppz dxdydz 因为：因为：exp2()xxxxippx dxpp 因此有：因此有： 3*23222ppxxyyzzdCppppppCPP 取取322C*ppdPP 321( )exp(2)iPrP r动量本征函数的归一化不是1，而是

2、归一化为函数因为动量的本征值组成连续谱。222222()()() ()()()zyxzyxxzyyxzzyxzyyzyxLypzp izpxpjxpyp kLypzpyzizyLzpxpzxixzLxpypxyiyxLL Lypzpzpxpxpypyzzxzyxz22xyyx2. 角动量算符prLprL2222sincos ,sinsin ,cos, cos,sincos ,1coscos ,sin,sinxryrzrzyrxyztgrxrxrrxryzxryzxryz同理可求得同理可求得同理可求得11 sinsincoscoscossin11 cossinsincossinsin1cossi

3、nrxxrxxrrrryyryyrrrrzzrzzrr 球坐标变换关系：球坐标变换关系：)14. 3(sin1)(sinsin122222iLLz则注意到iixip2L本征方程：22(,)(,)L YL Y 得：-球谐函数)1(22llL本征值0,1,2l lml,2,1,0,2,1 ,0lmlmYllYL)1(),(22 即*( ,)(cos)( 1),0,1, 2,( ,)1,1,2,3,(cos)mimmlmllmmlmlmmllmYPeNmlYYmlPN 缔 合 勒 让 德 函 数是 归 一 化 常 数 ， 2*00( ,)( ,)sin1! 21!4lmlmlmYYddlmlNlm

4、/1ln:zzzzziLCdiLdLiLL积分zL本征方程：zLi 2L的本征值为：的本征值为：2(1)l l 本征函数为本征函数为( , )lmY l表示角动量的大小，角量子数，表示角动量的大小，角量子数，m为磁量子数。为磁量子数。对一给定的对一给定的l ， m可以取可以取(2l+1)个值。个值。 简并简并12/2/ )2(/zzziLiLiLeee单值）（）（自然周期条件：2/1122/*20CCdCeeCzziLiL取归一：mLmmLzz, 2, 1, 0,2/2/ziLCe通常考虑到：缔合勒让德函数)(cos)1()(cos),(mllmmimmllmPNePY(cos )()(cos

5、 )(cos )mimmimzlmlllmlmzL YPiePm em YYL则即 也是 的本征态imimzimiLemeLeez21212121)(/即小结：/22()()1122(3.15)(1)0,1,2.0, 1,.iP riP rlmlmzlmlmrrrrrrPePeL Yl lYlL Ym Ymll=0, s态, l=1, 2, 3,p, d, f态球谐函数Y0,0, Y1,12.8 中心力问题中心力问题 考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动: 电子的质量为, 核的电荷数为Ze, Z=1 氢原子 Z1, 类氢离子 取原子核为坐标圆点,则 2120(4),()sssZeUree

6、SIee 设粒子在中心力场中运动，势能设粒子在中心力场中运动，势能U(r)(222rUH球坐标系中：球坐标系中：222222221111sinsinsinrrrrrr 本征方程：本征方程：22222211sinsinsi)2n(rrrEU rr 同乘以同乘以2r则角度与径长项分开，可分离变数则角度与径长项分开，可分离变数2222222( ) ( ,)11sin( ) ( ,)2sinsin( )( ) ( ,)( ) ( ,)R r YrR r Yrrr U r R r Yr ER r Y 令除以2( ) ( , )2R r Y 并将含r项放在等号左边，角度项移到右边22222212()111

7、sin(,)sinsinddRrrEUR drdrYYY r与角度独立变化，等式两边对应为常数与角度独立变化，等式两边对应为常数2222222212011sinsinsinddRrrEURrdrdrrYYY (1)0,1,2.( ,)0,1,2.lml llYYml 2222212(1)0ddRrl lrEURr drdrr这是中心力问题的径向方程，凡是中心力问题，这是中心力问题的径向方程，凡是中心力问题，可直接用它解出可直接用它解出R(r)后后, 利用：利用：),(),()(lmRYYrR问题就解决了问题就解决了.U是势能，是势能，E是总能是总能l称为角称为角量子数量子数，m称为称为磁量子数

8、磁量子数，由于，由于E只在径向方程中只在径向方程中出现，角度方程中无出现，角度方程中无E无关与Eml,2222212(1)0ddRrl lrEURr drdrr类氢原子能量本征方程类氢原子能量本征方程:类氢原子类氢原子高斯制国际制eeeerzerUsss2/102)4()(22222212(1)0sZeddRrl lrERr drdrrrE0, 对于任何值，方程都有满足波函数条件的解，对于任何值，方程都有满足波函数条件的解， 构成连续谱构成连续谱E0, E具有分离值，电子的状态为束缚态。（将要讨论）具有分离值，电子的状态为束缚态。（将要讨论）要求解(3.3-8)，先作变换22222212(1)

9、0sZeddRrl lrERr drdrrr221()drRrdr令令( )( )u rR rr222222(1)0sZed ul lEudrrr讨论讨论E0的情形，令的情形，令1122222282,2ssEZeZehEr作代换(3.3-9)方程(3.3-11)变为：2221(1)04d ul lud先讨论这个方程的渐近行为。当 方程变为：22104d uud解为：解为：12( )ue正号解与波函数正号解与波函数的有限性条件矛盾的有限性条件矛盾取取2( )( )uef(3.3-14)代入(3.3-13)得：222(1)0d fdfl lfdd求这个方程的级数解，令求这个方程的级数解，令00(

10、),0sfbb解这个方程得：解这个方程得：0222222021001,222( ).22( )rsnslZrnalnlnln lnlnZ eEnZeZnnafZZRrN erLrnana 库仑场中运动得电子能量小于零时的波函数为：库仑场中运动得电子能量小于零时的波函数为：( , , )( )( , )nlmnllmrRr Y 对于一个给定对于一个给定n，Enl: 0,1,2,.n-1 m: 0, 1, 2,. l, 共2l+1120(21)nlln对于一个给定对于一个给定n，En2222,2snZ eEn 氢原子氢原子首先写出电子和原子核组成的氢原子体系的薛定谔方程：首先写出电子和原子核组成的

11、氢原子体系的薛定谔方程：1112222222222211122222222211112222, ;,;, ;,;22ix y z x y z ttUx y z x y z txyzxyz 11122( ,),x y zxyz2和分别为电子和核的坐标分别为电子和核的坐标12和分别为电子和核的质量分别为电子和核的质量将方程将方程(3.4-1)变换为相对坐标和质心坐标后，可以分离为变换为相对坐标和质心坐标后，可以分离为两个独立的方程两个独立的方程2222222( , , )2U x y zExyz电子相对于核的运动状态对氢原子而言对氢原子而言，2222,eUrxyzr 粒子质量理解为约化质量，约化质

12、量与电子质量相粒子质量理解为约化质量，约化质量与电子质量相差很小差很小Z=1422,1,2,3,.2sneEnn 氢原子光谱氢原子光谱 当电子从第当电子从第 能级跃向第能级跃向第 能级时放出能量能级时放出能量nnE1022222021 .109737312)20. 3)11()11(2)(1)(米代数计算（由hcaeRnnRcnnhaeEEhhEnnhEnn 这是原子物理中的理德伯常数用电子质量，如果用约化质量，则110967758米R与实验值符合很好。就是原子物理中由试验总结出的公式.321帕邢系巴尔末系赖曼系nnn电离能电离能02202naeEnsn无穷大时，当电子束缚态能级总是小于0，若

13、0E则电子便不再是束缚态，可到达无穷远，即摆脱核的吸引。电子由束缚态变成自由态所需的能量叫电离能电子由束缚态变成自由态所需的能量叫电离能氢原子基态电离能就是基态能量负值氢原子基态电离能就是基态能量负值电子伏特6.132021aeEEs常见正交归一函数系：常见正交归一函数系： （1）线性谐振子的能量本征函数）线性谐振子的能量本征函数2212()xnnnN eHx（2）角动量算符的本征函数）角动量算符的本征函数1( )2imme（3）角动量算符平方的本征函数）角动量算符平方的本征函数( , )(cos )mimlmlmlYN Pe (4) 氢原子的波函数氢原子的波函数( , , )( )( , )nlmnllmrRr Y