《固体物理》课件：ssp302.ppt

1、3.2 简正振动声子简正振动声子上面讨论的方法对于进一步的理论分析并不适用，如固上面讨论的方法对于进一步的理论分析并不适用，如固体比热问题，晶格散射问题。本节采用分析力学的方法处体比热问题，晶格散射问题。本节采用分析力学的方法处理晶格振动问题。理晶格振动问题。基本方法：写出晶格的动能和势能，利用正则方程建立基本方法：写出晶格的动能和势能，利用正则方程建立一组新的方程。一组新的方程。特点：可以直接过渡到量子理论。特点：可以直接过渡到量子理论。如果晶体包含如果晶体包含N个原子，平衡位置分别为个原子，平衡位置分别为Rn，偏离，偏离平衡位置的位移为平衡位置的位移为，把位移矢量用分量表示，把位移矢量用分

2、量表示，N个个原子的位移矢量共有原子的位移矢量共有3N个分量，个分量，jNjiijiNiiiVVVV31,023100)(21)(NiiimT31221)3 , 2 , 1(Nii晶体的动能为晶体的动能为晶体的势能为晶体的势能为V0是平衡时的势能，即晶体的结合能，第二项为零，略去高阶项是平衡时的势能，即晶体的结合能，第二项为零，略去高阶项jNjiijiVV31,02)(21NQQQ321,体系的势能函数只保留到体系的势能函数只保留到的二次方项，称为简谐近似，的二次方项，称为简谐近似，但在一些问题中，需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。但在一些问题中，需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。上面给出

3、的上面给出的V 含有含有的交叉项，引入简正坐标的交叉项，引入简正坐标NjjijiiQam31变换关系为变换关系为iiiNjiiNjiQQLPVTLQVQT31223122121引入简正坐标的目的是使系统的势能函数和动能函数都引入简正坐标的目的是使系统的势能函数和动能函数都具有简单的形式，即化为平方项之和，而无交叉项。具有简单的形式，即化为平方项之和，而无交叉项。拉格朗日函数为拉格朗日函数为定义正则动量为定义正则动量为NiQQQHPQPHiiiiiNjiii3 , 2 , 10)(21231222 写出哈密顿量写出哈密顿量应用正则方程应用正则方程得：得：是是3N个彼此独立的方程，表明简正坐标描述

4、独个彼此独立的方程，表明简正坐标描述独立的简谐振动。立的简谐振动。每一个简正坐标的解为每一个简正坐标的解为)sin(tAQii表明：每个原子都参与所有简正坐标的振动。表明：每个原子都参与所有简正坐标的振动。如果只考察某一个如果只考察某一个Qi的振动时，的振动时，NjjijiiQam31而原子位移坐标为而原子位移坐标为)sin(1tAmaQamjiijjijii一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶格所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率整个晶格所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。都相同。由简正坐标所代表的，体系中所有

5、原子一起参由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动称为一个振动模。与的共同振动称为一个振动模。),(),()(213213213122222NNNjiiiQQQEQQQQQiQi 把把Pi和和Qi看作量子中的正则共轭算符，把看作量子中的正则共轭算符，把Pi写成写成得到波动方程得到波动方程NiQQQQiiiiii3 , 2 , 1)()()(2122222方程表示一系列相互独立的简谐振子，对其中每一个简方程表示一系列相互独立的简谐振子，对其中每一个简正坐标有正坐标有NiiniNNiiiNiiiniiniiiQQQQnEQHQn3132131312)(),()21()()2exp()(

6、)21(本征值本征值本征态为本征态为其中其中系统的本征态系统的本征态值和本征态分值和本征态分别为别为引入简正坐标的关键是找到合适的引入简正坐标的关键是找到合适的Qi，并求出，并求出aij，以，以一维单原子链为例。一维单原子链为例。前面得到了本征解前面得到了本征解)(tqnaiqnqqeA表示第表示第q个格波引起第个格波引起第n个原子的位移，而原子的总位移为个原子的位移，而原子的总位移为qiqnanqtqnaiqqnqneqQNmeAq)(1)(iqnanqqiqnantiqeNaqQeNmeANmqQq1)(1)(Q(q)是否是简正坐标，需要证明经过变换后动能和是否是简正坐标，需要证明经过变换

7、后动能和势能都具有平方项和的形式。势能都具有平方项和的形式。10)(1)()(*NnqqqqinaeNqQqQ)()(*)(*1*)(1)(1qQqQeqQNmeqQNmeqQNmqiqnanqiqnanqiqnan由于由于可以写为可以写为第第1式取复共轭得式取复共轭得因为位移为实数，所以因为位移为实数，所以两个关系两个关系qq10)(1NnqqqqinaeN2,Nahqsqq当当q=q时，每一项等于时，每一项等于1，共有，共有N项，显然成立。项，显然成立。当当0111111111)(11121010NeNeeNeeeNeNiasiasNahiNaNnNniasNiasniasisna等比级数

8、求和等比级数求和 qqqqqqqqqqnnaqqiqqqnaq inqiqnannqQqQqQqQqQqQqQeNqQqQeqQeqQNmmmT2,)(2)(21)(*)(21)()(21)()(211)()(21)( )(12121qqqiqaqiqaqqaq iqqiqannaqqiaq iqqiqaqaq inaq iqiqaiqnannnnqQqamqQqQeeqQqQmeeqQqQmeNeeqQqQmeeqQeeqQNmU22,)(21)(21)cos22(2)(*)()1 ( )1)()(2)1 ( )1)()(21)1 ( )1)()(2 )1 ()( )1 ()(121)(21

9、Q(q)确实是简正坐标结论：由结论：由N个原子组成的一维单原子链，其振动模为个原子组成的一维单原子链，其振动模为N个个格波，在简谐近似下，格波是相互独立的，格波的振幅对格波，在简谐近似下，格波是相互独立的，格波的振幅对应着系统的简正坐标；按量子理论每种简正振动的能级是应着系统的简正坐标；按量子理论每种简正振动的能级是量子化的，能量的激发单元是。量子化的，能量的激发单元是。声子：就是指格波的量子，它的能量等于，一个格声子：就是指格波的量子，它的能量等于，一个格波称为一种声子；波称为一种声子；当振动模处于本征态时，称为有个声当振动模处于本征态时，称为有个声子，为声子数；子，为声子数；当电子（或光子

10、）与晶格振动相互作用时，交换能量以当电子（或光子）与晶格振动相互作用时，交换能量以为单元，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声为单元，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，当电子给晶格能量，称为发射一个声子。子，当电子给晶格能量，称为发射一个声子。qnqqn)21(qqqnqqq3.3 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波长声学波可以认为是把晶体看成连续介质的长声学波可以认为是把晶体看成连续介质的弹性波，弹性波满足在弹性理论基础上的建立弹性波，弹性波满足在弹性理论基础上的建立的宏观运动方程，对于光学波，由于原胞内正的宏观运动方程，对于光学波，由于原胞内正负离子离子做相对运动，不可能用弹性理论

11、处负离子离子做相对运动，不可能用弹性理论处理，理，黄昆首先提出长光学波也可以在宏观理论黄昆首先提出长光学波也可以在宏观理论的基础上进行讨论的基础上进行讨论。以立方晶体为例，设每个原胞内只含有一对以立方晶体为例，设每个原胞内只含有一对离子，质量分别为，黄昆选择了离子，质量分别为，黄昆选择了W W 做为描述长光学波运动的宏观量。做为描述长光学波运动的宏观量。一、黄昆方程一、黄昆方程MM ,EbWbPEbWbW22211211 )()(21MWMMMMM,为约化质量，为正、负离子的为约化质量，为正、负离子的位移。建立了下面一对宏观的方程。位移。建立了下面一对宏观的方程。黄昆方程黄昆方程0W EP,E

12、bbW1112分别是宏观极化强度和宏观电场。分别是宏观极化强度和宏观电场。第一个方程是决定离子相对运动的动力学方程，不仅与第一个方程是决定离子相对运动的动力学方程，不仅与回复力有关，还与电场有关；第二个方程表明宏观极化回复力有关，还与电场有关；第二个方程表明宏观极化强度除去正、负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观强度除去正、负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化。电场存在时的附加极化。上述唯象方程中的系数可以上述唯象方程中的系数可以通过实验来确定通过实验来确定。（）存在静电场时，正、负离子发生相对位移（）存在静电场时，正、负离子发生相对位移W，令，令得：得：EbbbEbWbP

13、)(2211212222111212220000 1)0( 1)0()0(bbbEPEPED高频情况，假设电场的频率远高于晶格振动的高频情况，假设电场的频率远高于晶格振动的频率，晶格位移跟不上电场的变化，有频率，晶格位移跟不上电场的变化，有W=02011112120220022)()0( 1)( 1)(,bbbbEPEbP下面将证明下面将证明02102121120222011)()0( 1)(bbbb二、长光学波的横波频率和纵波频率二、长光学波的横波频率和纵波频率在考虑有带电粒子的晶格振动时，必须考虑它们的电磁在考虑有带电粒子的晶格振动时，必须考虑它们的电磁相互作用，对于长光学波，用上述方程求

14、解晶格振动，相互作用，对于长光学波，用上述方程求解晶格振动，如果把静电学方程与唯象方程结合起来，就相当于考虑如果把静电学方程与唯象方程结合起来，就相当于考虑了电荷之间的库仑作用。了电荷之间的库仑作用。在立方晶体中，长光学波有横波和纵波，有在立方晶体中，长光学波有横波和纵波，有0, 0)(0, 00, 00EPEDWWWWWWWTLLTLT1120201122121122)()(bWbdtWdEbWWbdtWWdTTTLTLT对对取旋度EbWbW1211 固有频率固有频率EbWbW1211 EbWbWEbWbWLL12111211 EbWbdtWdLL121122得得(1)LLWbbEEbbWE

15、EbWbP220212122002221,LLLLLWdtWdWWbbbdtWd222002022202112200012)()0() 1)()()0()(对对(2)式取散度并利用式取散度并利用D的性质的性质所以所以将将E代入代入(1)式得：式得：210022)()0()()0(00TLLLST(Lyddano-Sachs-Teller)关系关系三、长光学波振动的原子理论三、长光学波振动的原子理论离子晶体的极化有两方面的贡献，一方面是离子晶体的极化有两方面的贡献，一方面是原胞中正、负离子的相对位移，有电偶极矩原胞中正、负离子的相对位移，有电偶极矩)(*qq*表示有效电荷，由于讨论的是长光学波，

16、在一个相表示有效电荷，由于讨论的是长光学波，在一个相当大的范围内，正负离子的位移各原胞中是相同的，宏当大的范围内，正负离子的位移各原胞中是相同的，宏观极化强度为观极化强度为)(*1qP位移在外电场中，正、负离子本身由于电子云的在外电场中，正、负离子本身由于电子云的畸变也会发生极化，畸变也会发生极化，)(1)()(efefEEP极化PEEef031位移极化PPP而而将以上将以上3式代入得：式代入得：)()(*3111)31)(1)(*100EqPPEqP)()(21MWEbWbP2221求得：求得：由于由于0220212131)(31)(*bMqb)31(*)(*)()(*)(*)(022)(22)(22PEqkEqkdtdMEqkdtdMEqkdtdMefefef第二个方程与正、负相对位移有关第二个方程与正、负相对位移有关MM)2() 1 (代入代入P得：得：EqqkdtdM00202231*)(31*)(31)(EbWbdtWd12112221021120201131)(*31*)(31bMqbMqMkb因因为为