《固体电子学》课件:第三章.pptx
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- 固体电子学 固体 电子学 课件 第三
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1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-51第三章第三章 能带论基础能带论基础能带的重要意义:能带的重要意义: 能带理论是研究固体电子运动的重要理论基础,是凝聚态物理 中最重要的部分。 固体的导电性质,主要是能带结构决定的,而不是由电子的多 少决定。 能带的概念被推广到固体中光、声的传播。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-52能带理论的发展:能带理论的发展: 1900,Drude建立金属自由电子气体模型,解释金属的电导、 热导;1928,Scommerfeld引入Fermi-Dirac 统计,解释电子 的热容量等。 固体能带理论的建立:19
2、28,F. Bloch应用量子理论研究固体 的电子运动,提出Bloch定理,奠定了现代量子固体物理的基 础。1931,A.H.Wilson依据能带理论,成功地解释了金属、 绝缘体和半导体的差别(定性)。 1964,W.Kohn等建立密度泛函理论,借助计算机,能够定量 计算高分子、纳米材料、介观器件等(精确计算)。 -1998年诺贝尔化学奖单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-53能带理论的出发点:能带理论的出发点:能带理论是一种近似理论,主要有三个假设:1.Born-Oppenheimer绝热近似2.单电子近似3.周期势场近似能带问题简化为“单电子在周期势场”的运动。
3、 能带理论虽然是一个近似的理论,但实际的发展证明,在某些领域(重要的半导体)中是比较好的近似,可以作为精确概括电子运动规律的基础。在另外一些领域(许多金属)中,可以作为半定量的系统理论。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-543.1 3.1 晶体中电子状态的近似处理方法晶体中电子状态的近似处理方法 3.1.1 3.1.1 单电子近似单电子近似 19001900年,特鲁特提出:年,特鲁特提出:金属中的价电子同气体分子类似,形成自由金属中的价电子同气体分子类似,形成自由电子气体,称为金属电子气电子气体,称为金属电子气。 按照特鲁特模型,金属电子气可以用具有确定平均速度和
4、平均自按照特鲁特模型,金属电子气可以用具有确定平均速度和平均自由时间的电子运动来描述。由时间的电子运动来描述。 例如,例如,在外电场作用下,电子气产生漂移运动形成了电流在外电场作用下,电子气产生漂移运动形成了电流;在温度在温度场中,电子气的流动总是伴随着能量场中,电子气的流动总是伴随着能量(热量热量)的传递,从而形成了金的传递,从而形成了金属的热传导现象属的热传导现象。 晶体中电子的能级和波函数是分析电子在晶体中的运动和晶体的许多物理性质的理论基础:单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-55 索末菲(索末菲(A.Sommerfeld)用)用量子理论量子理论对经典的自由
5、电子模型加以改对经典的自由电子模型加以改进,进,定量地解释定量地解释金属金属的许多重要性质,如热容量,热导率,电导率,的许多重要性质,如热容量,热导率,电导率,磁化率等。磁化率等。 没有考虑没有考虑晶体势场的作用晶体势场的作用,不能解释晶体,不能解释晶体为什么区分为导体,半为什么区分为导体,半导体和绝缘体导体和绝缘体。 实际上,实际上,每个电子的运动受其他粒子的影响,而每个粒子的运每个电子的运动受其他粒子的影响,而每个粒子的运动也不是独立的。动也不是独立的。原则上,原则上,应把整个晶体作为研究体系,同时列应把整个晶体作为研究体系,同时列出所有粒子和电子的薛定谔方程,求解。出所有粒子和电子的薛定
6、谔方程,求解。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-56 通常采用单电子近似的方法把多体问题简化为单电子问题,这种近似方法包括两个步骤:(1)绝热近似:(把多体问题转化为一个多电子问题) 原子质量大的多,运动速度小得多,相对电子好像静止不动。 把电子的运动和粒子的运动分开考虑,两者不交换能量。 进一步的研究中,把晶格振动对电子运动的影响作为微扰处理,会 引起电子的跃迁和散射单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-57(2)自洽场的利用:(把多电子问题转化为单电子问题)电子受到的作用随着电子的运动而改变。根据其他电子所处的位置的几率分布,将离子势
7、或其他电子 作用的周期势场对其他电子的位置求平均。可以把电子的运动分开单独处理,认为每个电子是在固定的 粒子势场和其他电子平均势场中运动。该势场具有晶体结构的周期性和晶体结构的微观对称性。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-58 3.1.2 3.1.2 周期势场的形成周期势场的形成单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-593.2 3.2 金属中的自由电子模型金属中的自由电子模型“单电子单电子在在周期势场周期势场”中的运动。中的运动。3.2.1 3.2.1 无限深势阱近似无限深势阱近似-驻波解驻波解 金属内部的自由电子不会逸出体外,因此金属内
8、部的电子能量比金属外部的电子能量低,也即金属中的电子处于有限深势阱中。 假设金属内的势阱是无限深的方势阱,金属是边长为L的立方体。 考虑一维情况:在金属外部在金属外部在金属内部在金属内部,)(0)(r rr rVV势能:0 r Lr0 或x L单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-510金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属内部的自由电子不会逸出体外,晶体外和晶体边界处的电子波函数为0.)()()(222r rr rr rEVm0)()(0Lrrr rr r该方程式的一般解为:22,cossin)(mE
9、kkxBkxAx x单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-511. 0sin0)(L0B0)(0kLAxx,得处,;,得处,x xx x.)3 , 2 , 1( ,2,2222nmLnEEnkLn因为A不等于0,所以,相应的波函数为)sin()(xLnAx x式中A为归一化常数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-512在三维情况下:L Lz zy,y,x,x,0 0z zy,y,x,x, 在金属外部在金属外部L Lz zy,y,x,x,0 0 在金属内部在金属内部或,),(0),(zyxVzyxV),()()(22222222zyxEzy
10、xmr r)()()(),(321zuyuxuzyx势阱内,电子能量和波函数应满足的薛定谔方程为:上式用分离变量法求解,令)(22222222zyxkkkmmkE参数k是自由电子波矢的模,kx,ky,kz是波矢的三个分量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-513代入,分离变量可得:0)()(0)()(0)()(322322222212212zukdzzudyukdyyudxukdxxudzyx满足三维无限深势阱边界条件可得:)sin()(),sin()(),sin()(332211zkAzuykAyuxkAxuzyx式中,A1,A2,A3是归一化常数。单击此处编辑
11、母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-514电子的波矢分量满足:LnkLnkLnkzzyyxx,)sin()sin()sin(),(zkykxkAzyxzyxnx,ny,nz可取任意的正整数。最终结果为:)(2222222zyxnnnmLE其中A是归一化常数。 晶体中自由电子的本征态波函数和能量均由一组量子数来确定。能量的取值可以是分立的,形成能级。当晶体的线度L很大时,能级成为准连续的。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5153.2.2 3.2.2 周期性边界条件周期性边界条件-行波解行波解 晶体内部的周期性势场不能忽略,假想所研究的晶体是许许多多
12、首尾相连的完全相同的晶体中的一个,每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有限性对内部粒子运动状态的影响。 在周期性边界条件下,不限定波函数在边界上的值,而是要求波函数的性质延续到下一块晶体。),(),(),(),(),(),(zyxLzyxzyxzLyxzyxzyLx单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-516 上面的方程解为行波解:)exp()()exp()()exp()(321zikAxyikAxxikAxzyx1LikLikLikzyxeeezzyyxxnLknLknLk222 利用边界条件和波函数,可以得利用边界条件和波函数,可以得 进而得到波矢的取值,即
13、进而得到波矢的取值,即 能量:能量: mkEmkEmkEzyxzyx2,2,2222222n n为任意整数。为任意整数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-517 采用周期性边界条件,采用周期性边界条件,(1)L作为晶体的长度远大于晶格常数,kx可看作准连续的。(2)能量是波矢的偶函数。 E(kx)=E(-kx)(3) kx的取值是等间隔的,量子态在kx轴上均匀分布。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5183.2.3 3.2.3 能态密度能态密度 半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、电导率、磁导率半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、
14、电导率、磁导率的计算都要用到能态密度公式。的计算都要用到能态密度公式。按照周期性边界条件的结果来讨论能态密度。 晶体长度L远大于其晶格常数a,能级间隔和波矢间隔很小,能量和波矢几乎是准连续的值,波矢的取值为等间隔的,先讨论一维情况先讨论一维情况。密度:L/2能量在E-E+dE范围内的量子态数为:222 22222( )xLmLdEdkLmEN EdEdEhE222xkEm22xmdkdEE0( )limEZdZN EEdE 能态密度:单位能量间隔内的量子态数目。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-519三维情况:三维情况:32=()L222222()22xyzkkk
15、kEmm()( )exp()xyzi k x k y k zrAik rAe自由电子波函数能量一个点子占有的“体积”密度33() =28LV能量在E-E+dE范围内的量子态数为:32323/21/23221242()4822( )4(2 )/VmEmLdEk dkEN EdEdEVmEh单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-520 N个电子的基态,是从能量最低的个电子的基态,是从能量最低的 k 态开始,由低到高依次填态开始,由低到高依次填充而得到。充而得到。 在绝对零度时,在绝对零度时,N 个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理,个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理
16、,即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。 在在 k k 空间中电子占据区域最后形成一个球,空间中电子占据区域最后形成一个球,称为称为费米球。费费米球。费米球的半径米球的半径称为称为费米波矢,费米波矢,用来用来 kF 表示。表示。3.2.4 3.2.4 费米球费米球单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5213.2.4 3.2.4 费米球费米球 k k空间从原点到半径为空间从原点到半径为k kF F的球面之间的量子态数正好等于电子数的球面之间的量子态数正好等于电子数目,则此球称为费米球。目,则此球称为费米球。费米
17、球体积343Fk量子态数3342 ()32()FkNL费米球半径21/33()FNkV费米球表面处的能量称为费米能量22222/33()22FFkNEmmV单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5223.3 3.3 布洛赫定理布洛赫定理 晶体中的电子是在固定粒子的势场和其他电子的平均势场中运动晶体中的电子是在固定粒子的势场和其他电子的平均势场中运动的,电子的势能具有晶体结构的周期性。的,电子的势能具有晶体结构的周期性。一个在周期势场中运动的一个在周期势场中运动的电子应该具有哪些基本特征?电子应该具有哪些基本特征?3.3.1 3.3.1 布洛赫定理的表述布洛赫定理的表述
18、电子的能量E(k)和波函数(x)必须满足薛定谔方程:222( )( )( )( )2kkdV xxE kxm dxK为波矢,表征量子状态的量子数,V(x)是周期函数,( )()V xV xna单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-523满足上两式的薛定谔方程解具有如下特殊形式:( )( )ikxkkxe ux式中uk(x)也是以a为周期的周期函数:( )()kkuxuxna布洛赫函数布洛赫函数 在周期势场中运动的电子,其本征态波函数的形式为一个自由电在周期势场中运动的电子,其本征态波函数的形式为一个自由电子的波函数子的波函数eikx乘上一个具有晶体结构的周期性函数乘上
19、一个具有晶体结构的周期性函数uk(x)。这这反应了反应了晶体中的晶体中的电子既具有公有化的倾向,又受到周期排列的粒子的束缚的电子既具有公有化的倾向,又受到周期排列的粒子的束缚的特点特点。只有在。只有在uk(x)等于常数时,在周期场中运动的电子的波函数才完等于常数时,在周期场中运动的电子的波函数才完全变成自由电子的波函数。全变成自由电子的波函数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-524布洛赫函数不是周期函数:()()()( )( )ik x aikaikxikakkkkxaeuxae e uxex 对于一个实际晶体,其体积总是有限的,必须考虑边界条件,仍然采用周期性
20、边界条件周期性边界条件。 设一维晶体一维晶体的原胞数为N,线度L=Na,则布洛赫函数满足:()()()( )( )ik x NaikNaikxikNakkkkxNaeuxNaee uxex=1ikNae所以:2,0, 1, 2,.kNall 22=kllNaL边界的影响使波边界的影响使波矢矢k取分立的值。取分立的值。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-525三维情况三维情况( )()V rV rnR势场具有周期性,薛定谔方程,22( )( )( ) ( )2V rrE krm 解,( )( )ik rkreu r其中,u为晶格周期性函数,满足:()( )knku r
21、Ru rRn为晶格平移矢量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5263.3.2 3.3.2 布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-527单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-528单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5293.3.4 3.3.4 布洛赫函数的意义布洛赫函数的意义 电子不再是局域化的,而是扩展于整个晶体之中。 自由电子在空间各点出现的概率相同,但晶体中的电子在原胞不同位置上出现的概率不同。uk(x)eikx 反应电子在每个原子附近的运动情况
22、。 布洛赫函数为一被周期函数uk(x)所调制的平面波, uk(x) 反应了晶格周期势场对电子运动的影响。 晶体中不同原胞各等价位置上电子出现的几率相同。22( )()xxna 反映了晶体中电子的共有化,与自由电子的运动有相似之处。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-530 对于自由电子,波矢为k的状态具有确定的动量k; 对于晶体中的电子,波矢为k的状态并不具有确定的动量,但仍具有类似于动量的性质,通常把k 称为晶体动量或准动量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-3-5313.4 3.4 克龙尼克克龙尼克- -潘纳模型潘纳模型 周期势场中运动
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