《污染气象学》课件：第三周第二章2.ppt

1、 湍流半经验理论的一个基本假定：由湍流引起的动量通量与局地风速梯度成正比，如 推广至任意物理量1zukwuzSKSwySKSxSKSuszsysx式中Ksx、Ksy、Ksz分别表示x、y、z三个方向的比例系数，即任意物理量（S）的脉动值与该特征量的平均值的梯度成线性比例关系。 2zqKwqyqKvqxqKuqzyx)()()(zwqyqxuqtq考虑由湍流引起的速度脉动和浓度涨落，即将速度和浓度写为平均值与脉动值之和，如zqwyqxquzqwyqxqutqqqq)()()(zqwyqxqudtqd)()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyx 若取坐标系使x轴与平均风向一致，z轴垂直向上，

2、则有 30wzqwyqxquzqwyqxqutq222222zqKyqKxqKxqutqzyx222222zqKyqKxqKtqzyx若平均风速很小)(222222zqyqxqKtq假定大气静止，0wuKx=Ky=Kz=常数)(222rqrrrKtq当t0, r0或r=0，当t 解：4KtrKtQzyxKtKtQtzyxq4exp)( 8)(41exp)( 8),(22/32222/3)222(exp)2(),(2222222/3zyxzyxzyxQtzyxqtKtKtKzzyyxx2,2,22222、有风瞬时点源的解、有风瞬时点源的解 0u2222222/3222)(exp)2();,(zy

3、xzyxzyt uxQtzyxq 有风条件下连续点源的解有风条件下连续点源的解5222222zqKyqKxqKxqutqzyx22xqKxqux2222zqKyqKxquzy Qqdydzu.,0; 0,qzyxqzyx时时 边界条件：连续条件： 222222exp2),(zyzyzyuQzyxq解定常条件 烟流宽度和烟流高度6yyyyyyeyqqy3 . 4215. 210/ 12exp10002220022烟流宽度烟流半宽度72.1 梯度输送理论梯度输送理论K理论理论2.2 湍流扩散的统计理论湍流扩散的统计理论 (重点重点泰勒公式的导出泰勒公式的导出,扩散参数和扩散时间关系扩散参数和扩散时

4、间关系)2.3 湍流扩散相似理论湍流扩散相似理论 2.4各种扩散理论的比较各种扩散理论的比较第二章小结第二章小结 练习作业一练习作业一第二章第二章 湍流扩散基本理论湍流扩散基本理论 8 由湍流引起的动量通量与局地风速梯度成正比，如 比例系数K即湍流交换系数,亦称湍流扩散系数。 导出公式：zukwu222222exp2),(zyzyzyuQzyxq（2.2）（2.1）92.2 湍流扩散的统计理论湍流扩散的统计理论 基本观点： 近地层大气总是处于湍流运动状态。 单个微团（粒子）的运动极不规则，但对大量的微团的运动却具有一定的统计规律。 湍流统计理论就是从研究湍流脉动场的统计性质出发，如相关、湍强、

5、湍谱等，描述流场中扩散物质的散布规律。 属于拉格朗日途径的处理方法。10l 泰勒公式的谱函数形式泰勒公式的谱函数形式l 用拉氏谱函数表示的泰勒公式用拉氏谱函数表示的泰勒公式l 用欧拉谱用欧拉谱函数表示的泰勒公式函数表示的泰勒公式11一、泰勒公式 泰勒（Taylor，1921）用拉格朗日的方法首先把扩散参数和湍流脉动场的统计特征量联系起来，导出了适用于连续运动扩散过程的泰勒公式。12跟踪一个从源放出的粒子的运动，跟踪很多同时从源放出粒子的运动,浓度分布一般为正态分布。浓度正态分布的假设，仅是同实况比较接近的一种假设。13y方向浓度分布的标准差等于横向粒子位移y的均方差，即： 22212yyyy或

6、14将上式对时间t求导，得：其中 是微粒y方向位移的时间变化率， 即横向脉动速度横向位移y等于横向脉动速度对时间的积分，即： dtdyydtyd22dtdy dtdytv0tyv td 22212yyyy或15 022220020222002220T2tttytLTtyLyv tddv t v td yv tv tdvddtdtvvRdyvRd dt 把上式从积分，得：dtdyydtyd22 dtdytv16 这就是著名的泰勒公式。 是湍流扩散统计理论的基本公式之一。 公式表明，在定常均匀湍流场中， 粒子的湍流扩散范围取决于 湍流强度 脉动速度的拉氏相关性（RL（）。 dtdRvyTtLy 0

7、022222v（2.3）17 泰勒公式的另一种形式：泰勒公式的另一种形式：运用分部积分法则并且令 duuudtdRut0)(, dtdRvyTtLy 002222TLTLTtLtLTdRTdtRdRtdRdt000000)()()()()(18 可将（2.3）式的二重积分简化为一重积分，即变为：此式即为泰勒公式的另一种形式。 TLtLTdRTdtdRy020022)()(2)(2（2.4) dtdRvyTtL 0022219 由泰勒公式和 的性质， 可得出扩散参数和扩散时间的关系： 1）当扩散时间足够短时，即T 0，可认为 0，则RL（） 1 将RL（）值代入（2.4）式有 意即 或 2_2

8、2Ty22Ty Ty LRTLtLTdRTdtdRy020022)()(2)(2（2.5)202）当扩散时间足够长时，这里即拉氏相关时间尺度或湍涡积分时间尺度。于是 或 TLdRTdRTdRdTRytTLTLTLTL2002020222)()(2)(2)(2dRLLt)(0Ty 2TyTLtLTdRTdtdRy020022)()(2)(2（2.6)21 即： 在源点附近，扩散开始时，扩散参数随扩散时间线性增加； 当扩散时间足够长时，扩散参数与扩散时间的平方根成正比。TyTy中间？过渡22三、泰勒公式的谱函数形式三、泰勒公式的谱函数形式1、用拉氏谱函数表示的泰勒公式、用拉氏谱函数表示的泰勒公式

9、拉格朗日谱由下式表达即相关系数与谱函数互为富里叶变换关系。式中FL（n）为拉格朗日的谱函数。代入泰勒公式（2. 3）式则 dnnnFRLL2cos)()(023xxdnnTnTnFTydnnnTnFdnnFntdtndnnFdtdndtdndnnFyLLLTLTtTtL2220222202002000200022sin22cos1)(sin)()(22cos1)()(2sin212)(2cos22cos)(2 dtdRytLT)(20022dnnnFRLL2cos)()(0cxccxdxsin1cos24此式即横向扩散与拉氏湍谱之间的关系。公式表明，经过时间T，在x轴向距离为x= u T 位置

10、上，y向扩散散布与横向湍强有关，亦与拉氏湍谱有关。显然，当T足够小时， 22Ty dnnTnTnFTyL220222)(sin)(220222)(TdnnFTyL即1)(sin22nTnT（2.7)252、用欧拉谱表示的泰勒公式用欧拉谱表示的泰勒公式 研究表明： 拉氏相关RL和欧氏相关RE随时间变化都符合指数关系，但一般RL比RE下降的慢，即RL比RE要大。 两者在时间尺度上相差倍。 26 如图所示，一个半径为R并具有切向速度w的圆形湍涡处于平均风速的气流之中。 粒子绕湍涡一周的运行时间为 ， 而固定的风速表则在 时间内观测到湍涡通过。 于是，拉格朗日和欧拉时间尺度之比由下式表示： uRTwR

11、TEL2,2wR2uR24,101/22中性iuwuRwRTTEL27所以，欧氏谱与拉氏谱之间的关系为： 欧拉谱与拉氏谱形式相同，相差倍。)(2cos)(42cos)(42cos)(4)(000nFtdtntRttdntRdnRnFEEELL)()t(),()(ttRRtRRELEL即时，有当)()(nnFnnFEL即28把代入得：当T足够短时，仍有： dnnTnTnFTyE20222/)/sin()(222Ty)()(nnFnnFELdnnTnTnFTyL220222)(sin)(1/)/sin(2nTnT29 统计理论优缺点：优：把湍流与扩散直接联系起来， 物理概念清楚。缺：局限于均匀、定

12、常条件。 实际应用只利用其物理概念。30相似理论是在量纲分析的基础上发展起来的。 是研究近地层大气湍流一种有效的理论方法。最早把相似理论应用于粒子扩散问题的是 Monin(1959)。此后，Batchelor(1959, 1964) ，Gifford(1962)进一步发展此理论相似理论的基本工具是量纲分析与定理。2.3 湍流扩散的相似理论 31一、量纲分析与定理323334二、拉格朗日相似性假设与扩散的基本数学处理 拉格朗日相似方法的基本假设是：在近地面层，流体质点的统计特性完全可以用确定欧拉特性的参数来确定。表征欧拉性质的参量有 在近地面层，在中性大气中，u*， 在非中性层结时除u*外还有热

13、通量HT。 可用莫宁-奥布霍夫长度L来表示。 35 对于从位于z=0处的点源释放的质点，用量纲分析方法，可以得到释放质点中每个质点都移动了t时间之后，移动质点的平均垂直位移 的增长率必然具有以下形式：)(Z)(*LZbudtZd36进一步假定：相应的平均水平位移 的增长率等于在与 有关的高度上的平均风速，表示为 ZcudtXd)(ZX式中c是另一常数。 以上两式是数学处理的基础。37三、中性层结条件下的平均位移三、中性层结条件下的平均位移 在中性层结条件下，风廓线为 代入积分得： 上式中只要给定常数b和c，就可以求出每个距离上扩散质点的平均垂直位移。)ln()(0*zzkuzu)ln1 (1l

14、n00cZzzZckbZX实验结果，参数b=0.4 ,c=0.56 。ZcudtXd38四、非中性层结条件下的平均位移四、非中性层结条件下的平均位移非中性层结条件下风速廓线为 代入积分得： 同样给定常数b和c，就可以求出每个距离上扩散质点的平均垂直位移。)()(0*LzfLzfkuuZdLZLczfLZcfkbXzz0)()()(10给定常数b、c以及函数f和，从原则上，地面源的垂直扩散是可以预报的。39 相似理论的基本原理是关于拉格朗日相似性假设。粒子扩散特征与流场的拉格朗日性质相联系假定流场的拉格朗日性质仅仅决定于表征流场欧拉性质的那些已知参量把粒子扩散与近地层风速和温度的空间分布(欧拉参

15、量)联系起来质点速度的统计特征量也同样决定欧拉特性参量。 受很大限制（多限制在近地面层限制于湍流粘滞等于常数的薄层高于该层需考虑科里奥利力，使量纲复杂化，难以导出确定结果） 无助于实际应用。40第二章小结（ 各种扩散理论的比较） 1、湍流扩散有三大基本理论： 梯度输送理论(K理论)、统计理论和相似理论。 实际应用最广的为梯度输送理论（K理论）。、梯度输送理论类比分子扩散，假定湍流引起的动量输送正比于风速梯度。根据质量守恒定律，利用K理论关系式，可导出湍流扩散方程。经简化(坐标系、均匀流场)可导出瞬时源、连续源的正态解（高斯模式）。41各种理论的比较湍流半经验理论zqKq理论类型梯度输送理论统计

16、理论相似理论基本原理湍流脉动速度统计特征量与扩散参数之间的关系拉格朗日相似性假设基本参数湍流交换系数K风速的脉动速度均方差拉氏自相关系数摩擦速度u*湍流热通量HT42理论类型梯度输送理论统计理论相似理论气象资料风速及K的垂直廓线湍流能谱风、温廓线主要限制条件小尺度湍涡作用均匀湍流地面应力层基本适用范围z地面源y，z高架源y地面源z地面源近距离43现代新的扩散模拟方法原理与发展 1、随机游动扩散模型2、高阶矩湍流闭合模拟并非新的理论体系！44随机游动扩散模拟:对随机的大气扩散行为,用大量粒子的随机游动方式来模拟,即用大量标记粒子的施放来表征污染物的连续排放,让它们在流场中按平均风输送,同时又用一

17、系列随机位移来模拟大气扩散,这样就表达了平流输送和湍流扩散两种作用.这些质点在空间和时间上的总体分布,构成空气污染物的散布图.1、随机游动扩散模型45 标记粒子的输送速度是由平均速度和湍流速度组成,i方向总的粒子速度为iiiiiiiiiwwwvvvuuu 不论扩散速率如何,凡时间尺度大于平均风场,平均时间的扩散过程,均随平均风的时间和空间变化而变化.对时间尺度小于平均风场,平均时间的扩散过程,则按两部分湍流脉动计算,即相关分量和随机分量,iiLiitRtVttV)()()(t时间步长时间步长RL(t) 拉格朗日自相关系数，拉格朗日自相关系数，i 随机风量或蒙特卡洛分量随机风量或蒙特卡洛分量46

18、 且iiiLitR2/12)(1 自相关系数取指数形式,即有)exp()(iLiLTttR物理意义是，把湍流、扩散看成是一个连续过程，假定这种运动遵从马尔可夫假设，即粒子与周围连续交换动量的情形。可见,实施随机游动扩散模拟的关键在于,确定边界层湍流的一些特征量,如湍能廓线和时间尺度等参量,这些应由近年来的大气边界层观测和理论成果获得.而且,对不同的大气稳定度和边界层状况应有不同的结果和相应的表达式.具有零平均值和单位标准差的随机数，由自计算机程序自动产生i为速度脉动标准差，i可表示为u, v, w分量dttRTL0)(拉格朗日积分时间尺度拉格朗日积分时间尺度47 通过不同层结条件下的湍能和拉格

19、朗日时间尺度,便可完全确定马尔可夫扩散方程,然后,可计算施放粒子的轨迹. 根据上述原理可建立随机游动扩散模式,适用于非均匀,非平稳湍流扩散问题的处理. 近年来,随机游动扩散模拟模式的建立和应用研究相当活跃,并取得令人鼓舞的进展,表明它是一种模拟湍流扩散的有效手段. 模拟概念清晰简明,扩散计算直接与基本湍流性质相联系,完全摆脱了K模式的框架和泰勒公式的均匀,平稳的假定,运算省时,不出现人为耗散和负值浓度等问题,尤其适用于复杂地形条件和非中性,如对流边界层条件下的扩散处理.它还可考虑干湿沉积,自然衰减并实施多源应用.482、高阶矩湍流闭合模拟 在导出梯度输送理论的湍流扩散方程中采用了 假设，导致连

20、续方程中出现二阶未知项，如 ，致使方程不闭合而无法求解。 为使方程闭合，作闭合假设，假定Kz为已知，使方程 的平均浓度为唯一的未知量。梯度输送理论中湍流扩散方程的求解方法称作一阶闭合或k闭合.这种闭合假设常常是不正确的,而且k的变化很大,确认它较为复杂,导致k模式的种种问题. 高阶矩湍流闭合模拟舍弃上述处理方法,直接求助于高阶矩湍流量,并采用数值解方法直接求解,这就是新发展的高阶矩湍流闭合模拟.qqqqwqvzqKqwz49 目前,二阶矩湍流闭合模拟在预报大气边界层风和湍流方面取得相当大的进展,一些研究表明,预报结果与观测结果颇为一致, 但是,对应扩散模拟的应用还很不成熟,有待进一步发展. 另外,对实用而言,它虽然具有舍弃k闭合的局限性以及直接得湍流量模拟等重要优点,但计算量很大.目前,仍处研究扩散模拟阶段.50？ 问题与讨论51 LRexp练习作业一练习作业一(由指数相关由指数相关讨论扩散参数与扩散时间关系讨论扩散参数与扩散时间关系,谱及最大频率谱及最大频率)已知相关系数为：根据泰勒理论，导出的表达式并讨论: 扩散参数与扩散时间关系, 给出湍谱函数 nFL(n) 及相应的最大频率nmax。 2y