高中数学求轨迹方程的六种常用技法.doc

1、求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例 1已知线段AB6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

2、49，求点M的轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(3,0), B(3,0)，设点M的坐标为(x, y)，则直线AM的斜率kAMyy4(x3)x3x39y(x3)，直线BM的斜率ky(x3)由已知有x3x3AM化简，整理得点M的轨迹方程为x2y21(x3)94练习： 1平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x4的距离之比为2，则点P的轨迹方程是。2设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x22y24交于A、B两点，P是l上满足PAPB1的点，求点P的轨迹方程。3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A直线B

3、椭圆C抛物线D双曲线2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例 2若B(8,0),C(8,0)为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_。解：设ABC的重心为G(x, y)，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得2BGCG3020，而点B(8,0),C(8,0)为定点，所以点G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆。 所3以由2a20,c8可得a10,ba2c261x2y2故ABC的

4、重心轨迹方程是1(y0)10036练习：4方程2 (x1)2(y1)2| xy2|表示的曲线是（）A椭圆B双曲线C线段D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x , y ),B(x , y )的坐1122xyxy标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x，y，x，y等关系式，由12121212于弦AB的中点P(x, y)的坐标满足2xxx，12yy2yyy且直线AB的斜率为21，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。xx1221例 3椭圆x2y21中,过P(1,1)的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为_。42解：设过点P(1,1)的直线交椭圆于

5、A(x , y )、B(x112, y )，则有2x2y2x2y21111224242可得(x1x2)(xx )(yy )(yy )012121242而P(1,1)为线段AB的中点，故有x1x22, y1y22所以(x1x )2(yy )2yy1101，即k212242xx22AB12所以所求直线方程为y112(x1)化简可得x2y30练习：5已知以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x2ym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方22程。6已知双曲线x2y221，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点，使P为线段AB的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一

6、个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。,F例 4 已知P是以F12为焦点的双曲线x2y21上的动点，求FF P的重心G的轨迹方程。169122解：设 重心G(x, y)，点P(x0, y0)，因为F (4,0), F(4,0)1244x0 xx3x30代入则有， 故00y0y03yy322xy001得所求轨迹方程1699x216y21(y0)例 5抛物线x4y的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平2行四边形AFBR，试求

7、动点R的轨迹方程。x y1解法一：（转移法）设R(x, y)，F(0,1)，平行四边形AFBR的中心为P( ,)，22将ykx1，代入抛物线方程,得x4kx40，2设A(x , y ),B(x , y1122)，则16k2160|k |1xx4kxx4k1212xx44xx1212y1y2xx2x(xx )22x24k22，12121244xxx2k12x4k22P为AB的中点.，消去k得y1yy2y4k3212k1222x24(y3)，由得，| x|4，故动点R的轨迹方程为x24(y3)(| x |4)。x y1解法二：（点差法）设R(x, y)，F(0,1)，平行四边形AFBR的中心为P(

8、 ,)，22设A(x , y ),B(x , y1122)，则有x24y24y24yx2211由得(xx)(xx )4(yy)xx4klx212121212而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以x1y11xy32x,k2代入可得2xxl2y3x212x4，化简可得x4y12y24xx y1xy1由点P( ,)在抛物线口内，可得( )24x28(y1)22223将式代入可得x8(2x21241)x216| x|4故动点R的轨迹方程为x4(y3)(| x |4)。2练习：7已知A(1,0),B(1,4)，在平面上动点Q满足QAQB4，点P是点Q关于直线y2(x4)的对称点，求动点P的轨迹方程

9、。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例 6过点M(2,0)作直线l交双曲线xy1于A、B两点，已知OPOAOB。22（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：当直线l的斜率存在时，设l的方程

10、为yk(x2)(k0)，代入方程xy1，22得(1k )x4k x4k102222因为直线l与双曲线有两个交点，所以1k0，设A(x , y ),B(x ,y21122)，则x1x24k24k21,xx1kk12212y1y2k(x12)k(x22)k(x1x2k4k24k)4k4k1k21k2设P(x, y)，由OPOAOB得(x, y)(x1x ,y21y24k24k)(,)1k1k224k24xx1k2x4ky所以k，代入y可得，化简得yy1k22x4k1( )yy1k2x2y24x0即(x2)2y24当直线l的斜率不存在时，易求得P(4,0)满足方程，故所求轨迹方程为(x2)y4(y0

11、)，其22轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是OAOB0即x0yxy1212当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)、(2,3)，不满足式当k存在时，x x1 2yy12xx12k(x12)k(x22)(1k )x2k (xx )4k2x221 212(1k2)(14k2)2k24k2k214k0化简得21k2k1k1220，此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。4练习：8设椭圆方程为x2y241,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足OP11 1(OAOB),点N的坐标为( , ),当l绕点M旋转时,求:2

12、2 2(1)动点P的轨迹方程；(2)| NP |的最小值与最大值。9设点A和B为抛物线y24px(p0)上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。6交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。22xy例 7已知MN是椭圆1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB22ab的交点P的轨迹方程。解 1:(利用点的坐标作参数)令M(x , y )，则N(x ,y )1111而A(a,0), B(a,0).设AM与NB的交点为P(x, y)因为A,M,P共线，所以y因为

13、N,B,P共线，所以y1y1yxax1axax1a22222(a2x12) yby1x1y12两式相乘得， 而1即y1代入2222222xax1aaab2222xbxy得，即交点P的轨迹方程为122222xaaab解 2:(利用角作参数)设M(acos,bsin)，则N(acos,bsin)所以ybsin,ybsin两式相乘消去xaacosaxaacosa即可得所求的P点的轨迹方程为22xy1。22ab练习：10两条直线axy10和xay10(a1)的交点的轨迹方程是_。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意

14、它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x, y的取值范围。2“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。5练习参考答案1(x2)2y24x212解：设P点的坐标为(x, y)，则由方程x2y4，得y2216482由于直线l与椭圆交于两点A、B，故2x24x24x2即A、B两点的坐标分别为A(x,),B(x,)224x24x2PA(0,y),PB(0,y)224x24x2由题知PAPB1即(0,y)(0,y)

15、122y24x2x2y21即x2y6所以点P的轨迹方程为1(2x2)222633D 【解析】在长方体ABCDABC D中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与DC是异111111面垂直的两条直线，过直线AD与DC平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x, y)满足到11MP于M，MNCD于N，NPD直线AD与DC的距离相等，作MMC于P，连结MP，111111易知MN平面CDD,MPDMP，| y |xa(其中a是异面直线AD与DCC，则有MMC222111111间的距离)，即有yxa，因此动点M的轨迹是双曲线，选D.2224A5解 设M(x, y)，A(x , y ),B(

16、x , y )1122x2x, yy则x1212两式相减并同除以(x) x得1211xxxyyyy12,而k11222y2m，x22y2m2y，由x1122yAOPM Bx2xx22yyyxxAB121212kPMy2x2, 又因为PMAB所以kABkPM11 xy21化简得点M的轨迹方程xy2x4y02 yx26先用点差法求出2xy10，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。7解：设Q(x, y)，则QA(1x,y),QB(1x,4y)由QAQB4(1x,y)(1x,4y)4(1x)(1x)(

17、y)(4y)4即x(y2)3所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆心，以 3 为半径的圆。222点P是点Q关于直线y2(x4)的对称点。6(x , y )为圆心，半径为3 的圆，其中C (x , y )是点C(0,2)关于直线动点P的轨迹是一个以C000000y2(x4)的对称点，即直线y2(x4)过CC的中点，且与CC垂直，于是有002y210 x02y40 x80即故动点轨迹方程为(x8)2(y2)29。0002x180y2y2xy02400000228解：(1)解法一:直线l过点M(0,1)，设其斜率为k,则l的方程为ykx1记A(x , y )、B(x112, y2),由题设可得点A、B的

18、坐标(x , y11)、(x2, y2)是方程组ykx1y2x124的解将代入并化简得,(4k )x2kx30,222kxx,1221xxyk44ky所以于是OP(OAOB)(1,)(,).21282224k4k22yy.4k122kx,4k2消去参数得4x2y2y0设点P的坐标为(x, y),则k4y.4k2当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4xyy022解法二:设点P的坐标为(x, y),因A(x , y )、B(x11, y2)在椭圆上,所以21y2y2x1,x1.得x2x(y2y212222444121212)0,所以(x1x2)(x1x21

19、)(y41y2)(y1y2)0.当x1x2时,有x1x21yy(yy )124xx1212xxx,212yy ,将代入并整理得4x并且y12y2y0.22y1yy.12xxx12x时,点A、B的坐标为(0,2),(0,2)，这时点P的坐标为(0,0)当x121(y)2x212也满足,所以点P的轨迹方程为11164111(2)解:由点P的轨迹方程知x2，即x所以16447111117| NP |2(x)2(y)2(x)24x23(x)22224612111故当x,| NP|取得最小值,最小值为;当x时,| NP|取得最大值, 最大值为4462169解法 1 ：(常规设参)设M(x, y)，A(x

20、 , y ),B(x112, y )，则224px1y1y24px2y y16p2 2y1y21214py（）yyx1x212xyy2y11x1x2x24p4p由A,M,B共线得yy1x1 2y1y y(x)则yy1y24py1y2y1y224px x把（）代入上式得y化简得M的轨迹方程为xy4px0(x0)22yy解法 2： (变换方向) 设OA的方程为ykx(k0)，则OB的方程为y12p 2pykxyx(,)(2,2)由得A，由得Bpkpkk222y2pxkk22pxy1kx所以直线AB的方程为yk(x2p)1k2因为OMAB，所以直线OM的方程为y1k2kx即得M的轨迹方程:xy4px0(x0)22解法 3：(转换观点)视点M为定点,令M(x0, y0)，由OMAB可得直线AB的方程为yy0 x0y04py4p(xx ), 与 抛 物 线y)0, 设24px联 立 消 去y得y2y(xy0220 xx0000A(x , y ),B(x112, y2)，则yy124px0(xy2200)又因为OAOB，所以y1y216p2故4px0(x2y2)16p2即x2y200004px00所以M点的轨迹方程为x2y24px0(x0)10 xyxy0(x0, y0)228