福州市2022届高三1月质量检查数学试题(PDF版).doc
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1、20212022 学年第一学期福州市高三期末质量检测学年第一学期福州市高三期末质量检测数 学 试 题(完卷时间:120 分钟;满分:150 分)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 到 3 页,第卷 3 至4 页注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答,答案无效3.考试结束,考
2、生必须将答题卡交回第 卷一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A2,1 , BxN xx20,则A*2AB2, 1, 1C2, 1, 1, 2D2, 1, 0, 1,2【答案】C【解析】BxN*1x21, 2,所以A2, 1, 1, 2,故选 C【考查意图】本小题以集合为载体,主要考查集合的概念和基本运算等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养,体现基础性2.已知z34i,则 z +ziA1+3iB84iC9+3iD29+3i【答案】C【解析】因为z34i,所以 z +
3、zi5+34ii=9+3i ,故选 C【考查意图】本小题以复数为载体,主要考查复数的基本概念等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养,体现基础性3.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为 16,方差为0.8,则三年后,下列判断错误的是A这五位同学年龄的平均数变为 19B这五位同学年龄的中位数变为 19C这五位同学年龄的方差仍为 0.8D这五位同学年龄的方差变为 3.8【答案】D【考查意图】本小题以“五位同学的年龄”为载体,考查平均数、中位数、方差等基础知识;考查应用意识;考查逻辑推理等核心素养;体现基础性与应用性高三数学参考答案
4、及评分细则(第 1 页共 21 页)4.613xx展开式中的常数项为A540B15C15D135【答案】D【 解 析 】 二 项 式613xx的 展 开 式 的 第 r1 项 为16r3()r6 rTCxxr63316r令,解得r4,所以 T5C432135,所以6r0展开 ( 1)rCr3rx3x62626x式中的常数项为 135故选 D.【考查意图】本小题以二项式为载体,主要考查二项式定理等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数学运算、逻辑推理等核心素养,体现基础性5.已知函数 f (x)x1,x0,33x1,x0,为偶函数,则2a+bax3bx,0A3B【答案】B321CD23
5、2【解析】解法一、当x0时,x0,所以 f (x)(x)31x3+1,因为 f (x) 为偶函数,所以 f (x)f (x)x3+1,又 f (x)ax3b ,所以a1,b1,所以2 +3ab2解法二、因为 f (x) 为偶函数,所以f (1)f1,ab2,所以1a,解得经f (2)f 2 ,8ab9,b1,a1,3检验,符合题意,所以2a+bb12【考查意图】本小题以分段函数为载体,主要考查函数的奇偶性的定义等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数学运算、逻辑推理等核心素养,体现基础性6.已知一张边长为 2 的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转4弧度,则该纸片扫过的区域形成的几
6、何体的表面积为A2BCD【答案】C【解析】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转4,所形成的几何体为柱体,1该柱体是底面半径r为 2, 高h为 2 的圆柱的八分之一,所以其表面积S2rh2r2812222,故选 C22222828高三数学参考答案及评分细则(第 2 页共 21 页)【考查意图】本小题以旋转体为载体,主要考查旋转体的体积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想;考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性7.已知函数 fxsinx的部分图象如图所示,则fx的单调递增区间为15A k,k,kZB66152k,2k,kZ
7、66C15k,k,kZD66152k,2k,kZ66【答案】D2mmZ ,3【解析】解法一、由42mmZ ,3,解得2mmZ ,3f xxmxsin2sin33,Z ,解得15令kkkkZ 故选 D23266T41解法二、由图象知1,T2,又233排除 A、B、C.故选 Dx14533时, f (x) 取得最大值,26【考查意图】本小题以三角函数的图象为载体,考查三角函数的图象和性质等基础知识;考查抽象概括能力、推理论证能力;考查数形结合思想;考查直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性和综合性xy228.已知O为坐标原点,F 是双曲线C :1 a0,b0 的左焦点, A 为C的右ab22顶点
8、过 F 作C的渐近线的垂线,垂足为M ,且与 y 轴交于点 P 若直线 AM 经过OP的中点,则C的离心率为A2B【答案】A32C3D43【解析】解法一、如图所示,设 AM 交 y 轴于Q,过M 作x轴的垂线,垂足为N由双曲线性质可知,FMb,OFc, OMa ,由FMNFPO,AQOAMN 得高三数学参考答案及评分细则(第 3 页共 21 页)FNMN,FOPOAOQO,以上两式相乘得ANMNFNAOFOAN12,所以2acac2ac ac12,所以a c2a21ac ca2,即cac111,所以1,解得e2故选 A2e2yPMQFANOx解法二、如图所示,设 AM 交 y 轴于Q,过M 作
9、x轴的垂线,垂足为N不妨设渐近线方程为bayxyxc, 令x0,得,则直线 FP 的方程为abyPbyx,aca 由bayxcb可得Maab22aab, 则cckAMabbcaac2acb,所以直线 AM 的方程为yxaac,令x0得yQabac因为Q为OP中点,所以2abacacb,整理得acc22b22 c2a2,即c2ac2a20,所以e2e20,解得e2,或e1(舍去)故选 AyPMQFANOx解法三:如图所示,设 AM 交 y 轴于Q由双曲线性质可知, FMb,OFc,OMaOA , 所 以OMQOAQ 在RtOPM中 ,Q为OP中 点 , 所 以MQOQPQ ,所以QOMOMQOA
10、Q ,所以RtOMPRtAOQ,所以MPOQ ,所以MPQ为正三角形,所以MPQ60,故MFO30,a所以c2a,所以e2(. 也可以利用ktan30, 即eFPb2b12a) , 故 选 A高三数学参考答案及评分细则(第 4 页共 21 页)yPMQFOAx【考查意图】本小题以双曲线为载体,主要考查双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想;考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性和综合性二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的
11、得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分9.已知向量mn =3, 1,mn =1, 1,则AmnnBmnnC m2 nD m, n45【答案】BCD【解析】依题意,m = 1mnmn2 0,1n =mnmn1,1,22所以mnn1, 11, 10 ,所以mnn,所以选项 A 错误,B 正确所以m22 n,选项 C 正确;cos22mnm, nm n222,因为0 m, n 180,所以 m, n45,选项 D 正确【考查意图】本小题以平面向量为载体,考查平面向量的坐标表示、平面向量共线与垂直、平面向量模长、夹角等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程
12、思想;考查直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性和综合性10. 某人有 6 把钥匙,其中n把能打开门如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为 p ,则下列结论正确的是A. 当n1 时, p1B. 当n2时,1p,63C. 当n3时, p3D. 当n4时,4p105【答案】AC【解析】当n1 时,5 11p656,选项 A 正确;当n2时,424p6515,选项 B错误;当n3时,3 33p6510错误故选 AC,选项 C 正确;当n4时,244p6515,选项 D【考查意图】本小题以“取钥匙开门”为载体,考查随机事件的概率等基础知识;考查推理论证能力、运
13、算求解能力与创新意识;考查化归与转化思想、或然与必然思想;高三数学参考答案及评分细则(第 5 页共 21 页)考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现综合性、应用性11. 已知A3, 0, B3, 0,动点C满足CA2 CB,记C的轨迹为过 A 的直线与交于 P, Q两点,直线 BP 与的另一个交点为M ,则AQ, M 关于x轴对称BPAB的面积的最大值为6 3C当PMQ45时, PQ4 2D直线AC的斜率的取值范围为3,3【答案】AC【解析】设 Cx, y,由CA2 CB得xy2x3y,整理得的方22223程 为xy216, 其 图 象 是 以 D5, 0为 圆 心 , 半 径 r4
14、 的 圆 故5211SABr,选项 B 错误因为PA2 PB,MA2 MB,所以6412PABmax22PAPB,所以PABMAB,又轨迹的图象关于x轴对称,所以 Q, M 关于x轴对MAMB称,选项 A 正确当PMQ45时,PDQ45290,则DPQ为等腰直角三角形, PQ2r4 2 ,选项 C 正确当直线AC与圆 D 相切时,CDAC,此时AD82r2 CD ,切线AC的倾斜角为30和 150,结合图象,可得直线AC的斜率33的取值范围为,选项 D 错误故选 AC33y4Q32P1ABD321O123456789x123M4【考查意图】本小题以圆为载体,主要考查直线与圆的位置关系、弦长、图
15、象的对称性等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、函数与方程思想;考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性和综合性12. 设函数f (x)xex1x e1x,则A f (x)f (1x)高三数学参考答案及评分细则(第 6 页共 21 页)B函数 f (x) 有极大值为eC若xx,则121x1f (x1)x2f x2eD若x1x21,且1x ,则f (x ) f 1x2212【答案】ACD【解析】易验证 A 是正确的,也即函数 f (x) 关于直线1x对称故选项 A 正确;2,所以(1)0 xxf,+1 ex2 e1x因为 f(x)xexex2e1xxe1x2
16、当1131x时,fxxxxxxx,此时x1x,所以 f(x)0,( )+1 e2 e(ee)fxxxxxxx,此时x1x,所以 f(x)0,221故函数 f (x) 在(,)上单调递增;2由于函数 f (x) 关于直线x1 对称,所以函数 f (x) 在(,1)上单调递减x1 对称,所以函数 f (x) 在(,1)22所以函数 f (x) 在x1 处有极小值,也是最小值,(1)ef故选项 B 错误;22若xx,且1211x,则2212,由 f (x) 在(1 ,)x1x上单调递增得212f (x )f1x故选项D 正确;21由于函数 f (x) 的最小值为e ,所以f (x ),1若xx,则1
17、21x21x1,所以fxfx,211又因为fxfx,所以111f xf x,12故x1f (x1)x2f x2x1f (x1)x2f (x1)x1x2f (x1)f (x1),故选项 C 正确故选 ACD.【考查意图】本小题以函数为载体,考查函数与导数、函数的基本性质、函数的极值等基础知识;考查抽象概括能力、推理论证能力、创新意识;考查数形结合思想、化归与转化思想;考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养;体现综合性与创新性第卷注意事项:用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答,答案无效三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13. 曲线f (x)
18、x32x在x0处的切线方程是【答案】2xy0高三数学参考答案及评分细则(第 7 页共 21 页)【解析】依题意得, f (0)0, fx3x22,所以 f02 ,所以所求的切线方程为 y2x,即2xy0【考查意图】本小题以三次函数为载体、考查导数的几何意义等基础知识;考查抽象概括能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想;考查数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性14. 在正三棱柱ABCABC中,ABAA12,F 是线段111AB上的动点,则11AFFC的1最小值为【答案】62【解析】将正三棱柱ABCABC上底面沿111AB展开至平面11ABB A上,如图所示,因11为A
19、A1A1C12,且AACAA1C190+60=150,所以1122sin75AC12AA1sin262 ,所以AFFC的最小值为62 1【考查意图】本小题以正三棱柱为载体,主要考查空间中动点到两定点的距离和最小值等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力;考查化归与转化思想;考查直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性15. 抛物线 E : y22px(p0)的焦点为 F, 点 A 是 E 的准线与坐标轴的交点,点 P 在 E 上,若PAF30,则 sinPFA【答案】33y【解析】过 P 作准线的垂线,垂足为 B ,所以BPAPAF30,PBPFPB在RtBPA中,cos30,PABPAOF
20、xPF即在PAF 中,cos30,PA高三数学参考答案及评分细则(第 8 页共 21 页)又由正弦定理PAPFsinPFAsinPAF,PAsin303sinPFAsinPAFPFcos303所以【考查意图】本小题以抛物线为载体,主要考查抛物线的方程与定义、解三角形等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想;考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养,体现基础性16. 函数 yx称为高斯函数,x表示不超过x的最大整数,如0.90,lg991已知数列a,且anaa,若blga,则数列a满足b的前 2 022 项33nnn 1nnnn和为【答案】4959aaa【解析】利用累乘法(或13
21、1),得nnn1n3an记b的前n项和为T,nnn当1时,01时,lg0ba;nn当10时,12时,b1;n当100时,23时,b2;n当1000时,34时,b3;n所以T2022lga1lga2lga20229019002102334959【考查意图】本小题以数列为载体,考查数列求通项、递推数列、数列前n项的和等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识;考查数形结合思想、化归与转化思想;考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养;体现综合性与创新性四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10 分)设数列aa.a是首项为
22、1 的等差数列,若a是a ,a的等比中项,且n21523(1)求a的通项公式;n(2)设 bn1,求数列b的前n项的和Snna ann 1【考查意图】本小题主要考查等比中项、等差数列的通项公式、裂项相消求和等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化思想、函数与方程思想;考查逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性满分 10 分【解】(1)设等差数列a的公差为d ,n因为11a是a,且a ,a的等比中项,215所以a2a a ,1 分215高三数学参考答案及评分细则(第 9 页共 21 页)所以2a1da1a14d , 2 分又因为11a,所以1d14d2解得d2,或d0
23、,3 分又因为aa,23所以d0,所以d2,4 分所以aa1n1d12n12n15分n(2)由(1)知,a2n1,n因为 bn1,aann 1所以 bn1111()(2n1)(2n1)2 2n12n1, 7 分所以Sn111111118(1)()()()2335572n12n1=11(1)22n19 分n. 10 分2n118. (12 分)为让人民享受到更优质的教育服务,我国逐年加大对教育的投入下图是我国 2001年至 2019 年间每年普通本科招生数y(单位:万人)的条形图普通高等学校本科招生数(万人)(数据来源:国家统计局网站)为了预测 2022 年全国普通本科招生数,建立了 y 与时间
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