衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一）.docx

1、试卷第 1页，共 5页衡水金衡水金卷卷 2021-2022 学年度高三一轮复习摸底测试卷数学学年度高三一轮复习摸底测试卷数学 （一）一）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知集合2230Mx xx，12MNxx ，则集合N可以为（）A10 xx B22xx C02xxD14xx 2已知a，b，tR，复数2 i1 it的实部为a，虚部为b，则（）A2abB2abC2abD2ba3 已知双曲线22:123xyCmm与双曲线226xy有相同的焦点.则C的渐近线方程为（）A20 xyB20 xyC30 xyD30 xy4已知某圆柱的底面积为4，高为 4，某母线长为 8 的圆锥的侧面

2、积恰好与该圆柱的侧面积相等，则此圆锥的体积为（）A43B323C8 153D12835在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度( )C t（单位：g / ml）与时间t（单位：h）的关系式为0( )ektC tC，其中0C为0t时的药物浓度，k为常数.已知给某患者注射某剂量为1050mg的药物后，测得不同时间药物浓度如下：(h)t1.02.0( )( g / ml)C t109.7880.35则该药物的k的值大约为（）(ln1.2580.253,ln1.350.300,ln1.380.322,ln1.390.329)A0.287B0.312C0.323D0.3566函数 fx的部分图象如图所

3、示，则 fx的解析式可能为（）试卷第 2页，共 5页A3( )cosf xxxB1( )sinf xxxC21( )cosf xxxD1( )sinf xxx7在平行四边形ABCD中，点E，F满足2DEEC ，2AEAF ，且DFAE ，设|ABAD ，则（）A43B32C2D2 28已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F.点P在C上且位于第一象限， 圆1O与线段1FP的延长线， 线段2PF以及x轴均相切，12PFF的内切圆为圆2O.若圆1O与圆2O外切，且圆1O与圆2O的面积之比为 4，则C的离心率为（）A12B35C22D32二、多选题二、多选题9已知ab，c

4、R，则下列不等式一定成立的是（）AacbcB22acbcC22abD20222022ab10已知一组样本数据1x，2x，nx的平均数与中位数均为 9，方差为 4，极差为 10，由这组数据得到新样本数据131x ，231x ，231x ，则（）A新样本数据的平均数为 26B新样本数据的中位数为 26C新样本数据的方差为 35D新样本数据的极差为 3011已知函数( ) |sin2 |cos|f xxx，则下列结论错误的是（）A( )f x的最大值为2试卷第 3页，共 5页B( )f x的图象关于直线2x对称C( )f x的最小正周期为2D( )f x在0,2上单调递增12已知函数( )f x的定

5、义域为(0,)，其导函数为 fx，对于任意,()0 x，都有 ln( )0 xxfxf x，则使不等式1( )ln1f xxx 成立的x的值可以为（）A12B1C2D3三、填空题三、填空题13设命题: 2, 1px ，34ax ，若p为假命题，则实数a的取值范围是_.142021 年 5 月 15 日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、 乙等 6 名同学中选出 4 名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为_.15阿基米德多面体是由边数不全

6、相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有 13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为 1，则该截角四面体的外接球表面积为_.四、双空题四、双空题16记等差数列 na的前n项和为nS，若123a ，111017SS，则公差d _；使nS取得最小值的n值为_.五、解答题五、解答题17已知数列 na的前n项和为nS，313S ，121nnaS.（1）证明：数列 na是等比数列；（2）若131lognnba，求数列1nnb b的前n项和nT.18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos()co

7、s2 3 sincos0cBAcCbAC.（1）求C；（2）若4c ，求AB的中线CD长度的最小值.试卷第 4页，共 5页19中医药文化历史悠久.我国经历了数千年的艰难探索和发展，逐渐积淀成博大精深的中医药文化.某医药采购商计划从云南昭通购买 500 千克乌天麻，购买数据如下表：乌天麻规格（支/千克）(0,10)10,20)20,30)30,40数量（千克）20010015050（1）估计每千克乌天麻的平均支数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） ；（2）已知生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：这 500 千克乌天麻一律售价为 280 元/千克.方案二：这 500 千克按规

8、格不同售出，其售价如下：乌天麻规格（支/千克）(0,10)10,20)20,30)30,40售价（元/千克）300280260240从采购商的角度考虑，应该选择哪种方案?请说明理由.20如图，直角梯形ABCD中，/ABCD，90ADC，点E，F分别在CD，AB上，EF / AD，22CEBFEF，将四边形AFED沿EF折起，使得点A，D分别到达点P，Q的位置，如图，平面EFPQ 平面BCEF，3EFPF.（1）求证：平面BEQ 平面BCQ；（2）求二面角CPBF的余弦值.21已知抛物线2:4C yx的准线为l，直线1xmy交C于A，B两点，过点A，B分别作l上的垂线，垂足分别为A，B.（1）若

9、梯形ABB A 的面积为24 3，求实数m的值；（2）是否存在常数，使得2A BAF BF 成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由?试卷第 5页，共 5页22已知函数2( )ln22(1) (0)f xxaxax a.（1）讨论函数( )f x的极值；（2）当0a 时，证明： ( )21a f x 恒成立.答案第 1页，共 14页参考答案参考答案1B【分析】先化简集合 M，再根据12MNxx 逐项验证.【详解】由题意得13Mxx ，A 项中，10MNxx ，不符合；B 项中，12MNxx ，符合；C 项中，02xx，不符合；D 项中，13MNxx ，不符合.故选：B.2A【分析】由复数的

10、除法运算化简复数后结合复数的定义可得【详解】2i(2i)(1 i)2(2)i1 i(1 i)(1 i)2tttt 22i22tt，所以22ta，22tb，所以22222ttab.故选：A.3C【分析】根据两个双曲线有相同的焦点，由2312mm，得到双曲线C的方程求解.【详解】由226xy，得22166xy，由题得2312mm，解得3m，所以22:139xyC，答案第 2页，共 14页所以C的渐近线方程为3yx .故选：C.4C【分析】利用圆柱与圆锥的侧面展开图面积相等，可得圆锥的半径，从而可得圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面圆半径为R，圆锥的底面圆半径为r，则24R，2R .由圆柱与圆锥的侧面

11、展开图面积相等，得248Rr，即168 r，解得2r = =，故此圆锥的体积22218 158233Vr.故选:C.5B【分析】所给数据代入已知表达式，相除后取对数可得k值【详解】由题得0(1)e109.78kCC，20(2)e80.35kCC，两式相除得109.78e1.36680.35k，所以ln1.366(0.300,0.322)k .故选：B.6D【分析】由定义域排除 A，由函数在0 x 处的变化趋势排除 B，由函数的奇偶性排除 C，得正确正确选项【详解】由图知0 x ，排除 A 选项；当0 x ，且x趋近于 0 时，由图知( )f x趋近于，排除 B；又 C 选项中2211()cos

12、()cos( )()fxxxf xxx，其图象关于y轴对称，不符合.故选：D.7B【分析】由题意可知DF是线段AE的中垂线，从而可得结果.答案第 3页，共 14页【详解】由2AEAF 得F是AE的中点，又由DFAE 得22| |33ADDEDCAB ，所以3|2ABAD .故选：B.8B【分析】设圆1O、2O与x轴的切点分别为A，B，圆心1O、2O在12PF F的角平分线上，从而切点D也在12PF F的角平分线上，所以1122PFF Fc，由切线的性质求得1FB，1F A，由圆面积比得半径比21O BO A，然后由相似形得出, a c的关系式，从而求得离心率【详解】由已知及平面几何知识可得圆心

13、1O、2O在12PF F的角平分线上.如图，设圆1O、2O与x轴的切点分别为A，B，由平面几何知识可得，直线2PF为两圆的公切线，切点D也在12PF F的角平分线上，所以1122PFF Fc，由椭圆的定义知122PFPFa，则222PFac，所以2212F DPFac，所以222F AF BF Dac，所以11222F AFFF Acacac，答案第 4页，共 14页112223FBFFF Bcacca.又圆1O与圆2O的面积之比为 4，所以圆1O与圆2O的半径之比为 2，因为21O B / O A，所以1211FBO BF AO A，即312caac，整理得35ac，故椭圆C的离心率35ce

14、a.故选：B.9AC【分析】由不等式的性质判断 A，举例说明 BD，由指数函数性质判断 C【详解】由不等式的性质可知，A 正确；当0c =时，220acbc，故 B 错误；函数2xy 为R上的增函数，故 C 正确；当0a ，0b 时，20222022ab，D 错误.故选：AC.10ABD【分析】根据新数据与原数据之间的关系，得出它们的平均值、方差、中位数、极差的关系，求得新数据的平均值、方差、中位数、极差，从而可判断各选项【详解】若一组样本数据1x，2x，nx的平均数，方差分别为x，2s，则样本数据1axb，2axb，naxb的平均数，方差分别为axb，22a s，故本题中新样本数据的平均数为

15、39126 ，方差为23436 ，A 正确，C 错误；若原样本数据的中位数为ix，则新样本数据的中位数为3127 126ix ，B 正确；若原样本数据的极差为maxminxx，则新样本数据极差为 maxminmaxminmaxmin3131330yyxxxx，D 正确.故选：ABD.11ACD【分析】举反例说明 ACD，根据对称性定义、周期的定义、增函数的定义判断 B答案第 5页，共 14页【详解】22242f，A 错误；sin2cos222fxxx|sin2 |sin|xx，sin2cos222fxxx|sin2 |sin|xx，所以22fxfx，B 正确；(0)1f，02f，(0)2ff，

16、且(0)2ff，C，D 错误.故选：ACD.12CD【分析】构造函数1( )( )ln1g xf xxx ，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项【详解】令1( )( )ln1g xf xxx ，所以 2( )1( )lnf xg xfxxxx，因为 ln( )0 xfxxf xx，210 x，所以( )0g x，所以( )g x在(0,)上单调递增，又(1)0g，可得( )0g x的解集为(1,).故选：CD.131,2 【分析】p为假命题，p为真命题，将问题转化为3max4ax，求出函数34yx的最大值，即可得出实数a的取值范围.【详解】由题得: 2, 1px ，34ax 为

17、真命题，所以3max4ax，又函数34yx在 2, 1上单调递减，所以当2x 时，max12y .答案第 6页，共 14页故只需12a .故答案为：1,2 1435【分析】利用条件概率公式即可得到结果.【详解】设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率2435C()3( )|C5n ABP B An A.故答案为：3515112【分析】如图，1O是下底面正六边形ABCDEF的中心，2O是上底面正三角形MNG的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O在原正四面体的高1PO上，利用勾股定理求得1OO后是外接球半径，再由表面

18、积公式得表面积【详解】如图，1O是下底面正六边形ABCDEF的中心，2O是上底面正三角形MNG的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O在原正四面体的高1PO上，答案第 7页，共 14页23231233O G ，2212122322 63333233OOPO.设球O的半径为R，在1RtOO A中，22211OAO AOO，所以2211ROO ，在2RtOO G中，22222OGOOO G，所以22222112 612 6333RO GOOOO，所以221112 6133OOOO ，解得164OO ，所以212214ROO，所以外接球的表面积21142SR.故答案为：1121646

19、【分析】由1110SS得11a，从而可得公差d，然后求出nS的表达式，结合二次函数性质得最小值及相应的n值【详解】由111017SS，得11111017aSS，所以111410aad.2(1)2342252nn nSnnn 225625248n，所以当6n 时，nS取得最小值.故答案为：4；617（1）证明见解析（2）4(1)nn【分析】（1）121nnaS中令1n 和2n 结合3123Saaa求得12,a a，然后121nnaS中利用1nnnSSa得数列 na的递推关系得数列为等比数列；（2）由（1）求得na再得出nb，利用裂项相消法求得和nT（1）答案第 8页，共 14页因为313S ，所

20、以12313aaa，因为121nnaS，所以3221aS，2121aS，即12321aaa ，2121aa，解得11a ，23a ，当2n时，121nnaS，与121nnaS联立，得12nnnaaa，所以13nnaa.又因为213aa，所以 na是以 1 为首项，3 为公比的等比数列.（2）由（1）得13nna，所以311log32nnbn，1122nbn，所以111114 (1)41nnb bn nnn，所以111111142231nTnn4(1)nn.18（1）23C（2）2 33【分析】（1）利用正弦定理可得cos()cos()sin2 3sinsincosBAABCBAC ，结合三角恒

21、等变换可得结果；（2）由题意可得22224402 22 2CDbCDaCDCD ，即22228CDab，结合余弦定理及均值不等式可得结果.（1）因为cos()cos2 3 sincos0cBAcCbAC，所以cos()cos2 3 sincoscBAcCbAC ，即cos()cos()sin2 3sinsincosBAABCBAC ，整理得2sinsinsin2 3sinsincosCABBAC ，因为A，B为三角形内角，所以0A，0B，所以sin0A，sin0B ，答案第 9页，共 14页所以sin3cosCC ，即tan3C ，又因为0C，所以23C；（2）因为ADCBDC，所以22224

22、402 22 2CDbCDaCDCD ，整理得22228CDab，在三角形ABC中，由余弦定理得22222242cos3abababab.因为222abab，当且仅当ab时取等号，所以22222222131622ababababab，即22323ab，所以22232828833CDab，即2 33CD ，即CD长度的最小值为2 33.19（1）16 支（2）选择方案二，理由见解析【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解；（2）根据频率分布表，利用平均数公式求得方案二的产品的平均售价，再比较下结论.（1）解：1(5 20015 10025 15035 50)16500，所以该采购商购买的

23、乌天麻每千克的平均支数为 16 支.（2）由题意知：方案二的产品的平均售价为：20010015050300280260240278500500500500（元/千克）.因为 278280，所以从采购商的角度考虑，选择方案二.20（1）证明见解析（2）55答案第 10页，共 14页【分析】（1）根据/ABCD，90ADC，EF / AD，22CEBFEF，易证BCBE，再根据平面EFPQ 平面BCEF，EQEF，得到EQ 平面BCEF，进而得到EQBC，再利用线面垂直的判定定理证明BC 平面BEQ即可；（2） 根据 （1） 知EF，EC，EQ两两垂直， 以EF ，EC ，EQ 的方向分别为x，y

24、，z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz， 分别求得平面BCP的一个法向量( , , )mx y z和平面PBF的一个法向量(1,0,0)n ，设二面角CPBF的大小为，由|cos| |cos,|m nm nm n 求解.（1）解：因为/ABCD，90ADC，EF / AD，所以EFCE，EFBF，又BFEF，所以BEF是等腰直角三角形，即45BEF，所以45BEC.由平面几何知识易知45BCE，所以90CBE，即BCBE.又平面EFPQ 平面BCEF，平面EFPQ平面BCEFEF，EQEF，所以EQ 平面BCEF，又BC 平面BCEF，所以EQBC.又BEEQE，所以BC 平面BEQ，又BC

25、 平面BCQ，所以平面BEQ 平面BCQ.答案第 11页，共 14页（2）由（1）知EF，EC，EQ两两垂直，以EF ，EC ，EQ 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，设1BF ，则(0,0,0)E，(1,1,0)B，(0,2,0)C，31,0,3P，F（1，0，0）(1,0,0)F，则31, 2,3CP ，( 1,1,0)BC ，设平面BCP的一个法向量为( , , )mx y z，由00m BCm CP ，得0,3203xyxyz ，取1x ，则(1,1, 3)m .由PFEF，BFEF，BFPFF，得EF 平面PBF，所以平面PBF的一个法向量为(1

26、,0,0)n ，设二面角CPBF的大小为，答案第 12页，共 14页则|15|cos| |cos,|5|1 13m nm nm n ，由图可知二面角CPBF为钝二面角，所以二面角CPBF的余弦值为55.21（1）2m 或2（2）存在，-4【分析】（1）直线1xmy过焦点(1,0)F.设11,A x y，22,B xy，则11,Ay ，21,By ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,yyy y，再得出1212,xx x x，计算梯形面积，可求得m值；（2）计算出数量积12| |11AF BFAFBFxx ，2A B 可得（1）由题得准线:1l x ，直线1xmy过焦点(1,0)F.

27、设11,A x y，22,B xy，则11,Ay ，21,By ，联立21,4xmyyx得2440ymy，所以124yym，124y y ，所以21212242xxm yym，221212116y yx x ，21212124yyyyy y22(4 )4 ( 4)41mm .而梯形ABB A 的面积1212111122SAABBA Bxxyy 222 44124 3mm 解得2m 或2.（2）12| |11AF BFAFBFxx 2212121142141x xxxmm ，答案第 13页，共 14页又222212161A BA Byym ，所以24A BAF BF 为常数.22（1）答案见解析

28、（2）证明见解析【分析】（1）求出导函数( )fx，然后分类讨论确定( )fx的正负，得单调区间后可得极值；（2）不等式变形为1( )2f xa ，只要只要证max1( )2f xa ，由（1）得( )f x最大值，不等式再变形后，换元12ta ，0t ，引入新函数，利用导数求得新函数的最大值，从而证明不等式成立（1）显然( )f x的定义域为(0,)，因为2( )ln22(1)f xxaxax，所以 1(21)(21)422axxfxaxaxx，若0a ，则当10,2xa时， 0fx，当1,2xa 时， 0fx，故函数( )f x在10,2a上单调递增，在1,2a上单调递减；故( )f x在

29、12xa 处取得唯一的极大值，且极大值为111ln222faaa1.若0a ，则当,()0 x时 0fx恒成立，故函数( )f x在(0,)上单调递增，无极值.综上，当0a 时，( )f x的极大值为11ln122aa，无极小值；当0a 时，( )f x无极值.（2）当0a 时，若证 ( )21a f x 恒成立，只需证1( )2f xa 恒成立，即证max1( )2f xa ，由（1）知( )f x在12xa 处取得最大值，最大值为111ln1222faaa，所以即证111ln1222aaa ，即证11ln1022aa .令12ta ，因为0a ，所以0t ，则只需证明ln10tt ，答案第 14页，共 14页令( )ln1g ttt ，0t ，则11( )1tg ttt ，当(0,1)t时，( )0g t，当(1,)t时，( )0g t.故( )g t在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故( )(1)0g tg，故 0g t ，即ln10tt .因此当0a 时， ( )21a f x 恒成立.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，证明不等式证明不等式的关键是不等式的转化，一是由不等式的性质转化为max1( )2f xa ，二是换元化简不等式，三是引入新函数，转化为求新函数的最大值考查逻辑思维能力，运算求解能力