重庆市2022届高三上学期第五次质量检测数学试题.docx

1、试卷第 1页，共 4页重庆市重庆市 2022 届高三上学期第五次质量检测数学试题届高三上学期第五次质量检测数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知集合1,2,3A，,Bab aA bA，则集合 B 中元素个数为（）A5B6C8D92已知椭圆22:15xyCm的一个焦点坐标为2,0，则m （）A1B2C5D93已知复数 z 满足1 ii3z 则z （）A1B2C3D54已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若721S ，25a ，则公差为（）A-3B-1C1D35将 5 名实习老师安排到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 人、至多 2 人，则不同的安排方法有（）A

2、90 种B120 种C150 种D180 种6已知0,，sintan2cos3，则cos （）A13B16C14D357地球静止同步通信卫星是当今信息时代的大量信息传递主要实现工具，例如我国航天事业的重要成果“北斗三号全球卫星导航系统”， 它为全球用户提供了全天候、 全天时、高精度的定位、导航和授时服务，是国家重要空间基础设施地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面， 将地球看作一个球， 卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高设球面半径

3、为 R，球冠的高为 h，则球冠的表面积为2SRh已知一颗地球静止同步通信卫星的信号覆盖面积与地球表面积之比为 m， 则它距地球表面的最近距离与地球半径之比为（）A1mmB11 mC11 2mD21 2mm8已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，上顶点为 A，抛物线 E的顶点为坐标原点， 焦点为2F， 若直线1F A与抛物线 E 交于 P， Q 两点， 且4PAQAa，试卷第 2页，共 4页则椭圆 C 的离心率为（）A12B22C155D32二、多选题二、多选题9已知0a ，0b ，且1ab，则（）A14abB2212abC222 2abDln0ab10 已知， 是两

4、个不同的平面， m， n 是两条不同的直线， 则下列命题中真命题是 （）A若m，n，mn，则B若m，n，则mnC若，m，n，则mnD若mn，n，则m11函数 sin04f xx在0,2内有唯一零点的充分条件是（）A fx的最小正周期为B fx在0,2内单调C fx在0,2内有且仅有一条对称轴D fx在0,2内的值域为1,112 已知平面内两个给定的向量a，b满足1a ，2b ， 则使得1acbc的c可能有（）A0 个B1 个C2 个D无数个三、填空题三、填空题13曲线 2lnf xxx在点1,1处的切线方程为_14已知随机变量 X 的概率分布为1,2,3,101aP Xnnn n，则实数a_1

5、5已知定义在 R 上的函数 fx不是常值函数，且同时满足：22fxfx；对任意1xR，均存在2xR使得122fxfx成立；则函数 f x _ （写出一个符合条件的答案即可）16在三棱锥PABC中，PA平面 ABC，ABC是边长为 2 的正三角形，4PA，Q为三棱锥PABC外接球球面上一动点，则点 Q 到平面 PAB 的距离的最大值为_四、解答题四、解答题17在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2coscos0cbAaC，点试卷第 3页，共 4页D 为边 BC 上一点，且ADAC（1）求角 A 的大小；（2）若2ACAD，求sinB的值18已知数列 na的前 n 项和为nS，

6、且满足11a ，121nnSS，*nN（1）证明：数列1nS 为等比数列；（2）设11nnnnabS S，数列 nb的前 n 项和为nT，证明：1nT 19如图，在圆锥 PO 中，边长为2 3的正ABC内接于圆 O，AD 为圆 O 的直径，E为线段 PD 的中点（1）求证：直线/ /PO平面 BCE；（2）若AEPD，求直线 AP 与平面 ABE 所成角的正弦值20已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线斜率为22，且双曲线 C 经过点2 1M,（1）求双曲线 C 的方程；（2）斜率为12的直线 l 与双曲线 C 交于异于 M 的不同两点 A、B，直线 MA、MB 的斜率分别为

7、1k、2k，若121kk，求直线 l 的方程21在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到 2020 年底，全国 830个贫困县全部脱贫摘帽，最后 4335 万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于 2019 年 4 月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果

8、，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持奉节县种植的某品试卷第 4页，共 4页种脐橙果实按果径 X （单位： mm） 的大小分级， 其中70,90X 为一级果，90,110X 为特级果，一级果与特级果统称为优品现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取 1000 个测量果径，得到频率分布直方图如下：（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径 X 服从正态分布2,N ，其中近似为样本平均数x，近似为样本标准差 s，已知样本的方差的近似值为 100若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）这批采摘的脐橙按 2 个特

9、级果和 n（2n，且*nN）个一级果为一箱的规格进行包装， 再经过质检方可进入市场 质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”试用含 n 的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率 p；设抽检的 5 箱脐橙中恰有 3 箱被记为“异”的概率为 fp，求函数 fp的最大值，及取最大值时 n 的值参考数据：若随机变量 X 服从正态分布2,N ，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX22已知函数 elneex mf xx（e 为自然对数的底数） （1）当1m 时，求函数 fx的单调区间；（2）若函数 g

10、 xfxm有且仅有两个零点，求实数 m 的取值范围答案第 1页，共 15页参考答案参考答案1A【分析】根据给定条件分析 a，b 取值即可判断作答.【详解】集合1,2,3A，,Bab aA bA，则当ab时，有0ab，当ab时，1ab或2ab，当ab时，1ab 或2ab ，所以 2, 1,0,1,2B ，集合 B 有中 5 个元素.故选：A2A【分析】由焦点坐标及椭圆方程中参数关系有54m，即可求参数 m.【详解】由题设知：54m，可得1m .故选：A.3D【分析】利用复数运算法则得到12zi ，进而求出复数 z 的模长.【详解】3i 1i3i24i12i1i1i 1i2z ，所以145z .故

11、选：D4B【分析】由前 n 项和及等差中项的性质可得747Sa求得43a ，进而求公差即可.【详解】由71274.721Saaaa，则43a ，公差4212aad .故选：B.答案第 2页，共 15页5A【分析】由题设知分组方式为人数分别为1,2,2，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数1,2,2分组，不同的安排方法有2235332290C CAA种.故选：A.6B【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正弦、余弦公式计算作答.【详解】因0,，则sin0，依题意，2sinsin22sincostan2cos3cos22cos1，即22cos (co

12、s3)2cos1，解得1cos6 ，所以1cos6 .故选：B7D【分析】由题设可得2hmR， 再画出示意图应用直角三角形相似， 令卫星距地球表面的最近距离x，则2()()RRh Rx求x，进而求它距地球表面的最近距离与地球半径之比.【详解】由题设知：224RhmR，可得2hmR，如下截面图，若O为球心，A为卫星位置，则ROBOEOC，hDE，BC为球冠底面直径，答案第 3页，共 15页由题设易知：,OBBA OCCA，则ODBOBA，故2OBOD OA，令卫星距地球表面的最近距离AEx，则2()()RRh Rx，1 2RxRm，故1211 21 2xmRmm .故选：D.8C【分析】由题设可

13、得抛物线 E 为24ycx，直线1F A为cxycb，联立方程应用韦达定理、弦长公式求|PQ，由11|AFOAPFPB求|PA，结合| 2| 4PAQAPQPAa得到椭圆参数的齐次方程求离心率即可.【详解】由题设知：(0, )Ab，1(,0)Fc，2( ,0)F c且抛物线 E 为24ycx，直线1F A为cxycb，联立抛物线方程有22244cyycb，整理得：222440byc ybc，则22216()0c cb ，即cb，令1122( ,),(,)P x yQ xy且210yy，则2212124,4cyyy ycb，222122cc cbyb，答案第 4页，共 15页2222212121

14、22224|1|1()4ccacPQyyyyy ycbbbb，令|dPA，如上图易知：11|AFOAPFPB，即1abady，可得1adyab，222222acac cbdab，又| 24PAQAPQda，222222244424acacac cbcbaabb，整理得2223cb，而222bac，2235ac，则155cea.故选：C.【点睛】关键点点睛： 由| 2|PAQAPQPA， 应用弦长公式求|PQ， 根据11|AFOAPFPB求|PA，进而得到齐次方程求离心率.9BC【分析】利用给定条件结合基本不等式判断 A，C；利用二次函数性质判断 B；取特值判断 D 作答.【详解】因0a ，0b

15、 ，且1ab，则有21()24abab，当且仅当12ab时取“=”，A 不正确；因0a ，0b ，且1ab，则1,01baa ，22222111(1)2()222abaaa，当且仅当12ab时取“=”，B 正确；因0a ，0b ， 且1ab， 则222 222 22 2ababa b ， 当且仅当12ab时取“=”，答案第 5页，共 15页C 正确；因0a ，0b ， 且1ab， 则取1eb ， 即有11ea ， 于是得111ln1ln0eeeab ，D 不正确.故选：BC10AC【分析】AC 选项，可以从线面垂直的性质或判定或面面平行的性质即判定进行说明；BD 选项可以在题干条件下举出反例.

16、【详解】A 选项， 因为mn，m， 所以n， 因为n， ， 是两个不同的平面， 所以，A 选项正确；B 选项，若m，n，则m与 n 可能平行，可能异面，可能相交，B 选项错误；C 选项，若，m，则m，又因为n，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则mn，C 选项正确；若mn，n，则m可能在内，m可能与平行，m可能与相交，故 D 选项错误.故选：AC11AD【分析】求出 fx在0,2内有唯一零点的的范围，再逐项分析即可判断作答.【详解】函数 sin04f xx，当02x时，4424x，依题意， f x在0,2内有唯一零点，当且仅当224，解得3722，对于 A， fx的最小正周期为，则2

17、，符合题意，A 正确；对于 B，当 fx在0,2内单调时，必有242，解得102，不符合题意，B 不正确；对于 C，因 fx在0,2内有且仅有一条对称轴，则32242，解得1522，显然当1522时，不能确保有3722，即 C 不正确；答案第 6页，共 15页对于 D，因 fx在0,2内的值域为1,1，则必有3242，解得52，符合题意，D 正确.故选：AD12ABC【分析】由给定条件用坐标表示a、b，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.【详解】因平面向量a，b满足1a ，2b ，在平面直角坐标系中，令(cos,sin),(cos,sin),Rab ，设( ,

18、 )cx y，由ac可得：22(cos )(sin)1xy，表示以点(cos,sin)C为圆心，1 为半径的圆，由acbc得：2222(cos )(sin)(2cos)(2sin)xyxy，整理得：2(cos2cos)2(sin2sin)30 xy，表示一条直线 l，依题意，( , )x y同时满足直线 l 的方程和圆 C 的方程，因此直线 l 与圆 C 的公共点个数，即是向量c的个数，点 C 到直线 l 的距离22|2(cos2cos)cos2(sin2sin)sin3|2(cos2cos)2(sin2sin)d|54cos()|154cos()22 54cos()，显然1cos()1 ，当

19、1cos()14时，112d，直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点，向量c有 2 个，C 满足；当1cos()4时，1d ，直线 l 与圆 C 相切，有 1 个公共点，向量c有 1 个，B 满足；当11cos()4 时，312d，直线 l 与圆 C 相离，没有公共点，不存在向量c满足条件，即有 0 个，A 满足.故选：ABC【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标答案第 7页，共 15页表示，利用代数方法解决.130 xy【分析】求出函数 fx的导数，再借助导数的几何意义及直线的点斜式方程即可计算作答.【详解】函数 2lnf xxx定义域为(0

20、,)， 12fxxx，则 11f ，于是得11(1)yx，即0 xy，所以曲线 2lnf xxx在点1,1处的切线方程为0 xy.故答案为：0 xy141110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，11()1P Xnann，由分布列的性质得1011111110()(1)()()1223101111naP Xna，解得1110a ，所以实数1110a .故答案为：11101522x(答案不唯一)【分析】由题设函数性质分析知：( )f x关于2x 对称且值域为(,0或0,)，写出一个符合要求的函数即可.【详解】由22fxfx知：( )f x关于2x 对称，由对任

21、意1xR，均存在2xR使得122fxfx成立知：函数值域为(,0或0,)或全体实数，2( )(2)f xx符合要求.答案第 8页，共 15页故答案为：22x(答案不唯一).16533【分析】根据给定条件求出三棱锥PABC外接球半径及球心 O 到平面 PAB 的距离即可推理计算作答.【详解】令三棱锥PABC外接球球心为 O，正ABC所在平面截球面所得小圆圆心为1O，连接11,OO BO BO，如图，则1OO 平面 ABC，而正ABC边长为 2，即有1233BO ，因PA平面 ABC，则三棱锥PABC外接球球心为 O 在过线段 PA 中点，且垂直于线段 PA的平面内，显然过线段 PA 中点垂直于线

22、段 PA 的平面与平面 ABC 平行，则1122OOPA，于是得球 O 的半径22221124(3)2333RBOBOOO，取 PB 中点2O，AB 中点 D，连接221,OO DO DO，因PAB是直角三角形，则2O是平面 PAB 截球 O 所得截面小圆圆心，因此，2OO 平面PAB，而2/ /DOPA，2122DOPA，则2DO 平面 ABC，必有21/ /DOOO，21DOOO，于是得四边形12OO DO是平行四边形，2111323OODOBO，由球面的性质知，点 Q 是经过点2O的球面直径端点且球心O在点2O与 Q 之间时，点 Q 到答案第 9页，共 15页平面 PAB 的距离最大，此

23、最大距离为2533ROO，所以点 Q 到平面 PAB 的距离的最大值为533.【点睛】关键点睛： 涉及几何体的外接球问题，根据给定条件结合球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.17（1）23；（2）3 236.【分析】(1)根据给定条件结合正弦定理边化角即可计算作答.(2)由(1)及已知可得BADCBAD ， 在Rt ADC中求出ADC的正余弦即可借助差角的正弦公式计算作答.（1）在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC及2coscos0cbAaC得：(sin2sin)cossincos0CBAAC，即2sincossin()0BAAC，于是得2sincossin()sin(

24、)sinBAACBB ，而0B，sin0B ，因此有1cos2A ，而0A，因此，23A，所以角 A 的大小是23.（2）由(1)知，23BAC，又ADAC，则有26BADBAC ，如图，在Rt ADC中，2ACAD，则3CDAD，于是得6sin3ADC，3cos3ADC，答案第 10页，共 15页而ADCBADB ，即有6BADCBADADC ，因此，sinsinsinc6331323oscos62sin66BADCADCADC3 236.18（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将题设条件转化为1121nnSS ，注意讨论1110nnSS 的情况，即可证结论.（2）由（1）得2

25、2 2121nnnnb ，应用裂项相消法求nT，即可证结论.（1）由121nnSS,有1121nnSS ，当1110nnSS ，即11nnSS 时，显然不满足11a ，1nS 是以 2 为公比的等比数列.（2）当1n 时，11112Sa 由（1）可得：21nnS ，则1121nnS，11nnnaSS121212nnn ，121121212 2121nnnnnnb，12nnTbbb12231111111212121212121nn11121n ，当1n ，*nN时，11021n，1nT ，得证.19（1）证明见解析；答案第 11页，共 15页（2）77.【分析】（1）设 AD 交 BC 于 F，

26、易证 F 为 OD 中点，利用中位线的性质可得/ /EFPO，再由线面平行的判定证明结论.（2）过 O 作OQAD，构建以 O 为空间坐标原点，OQ，ODuuu r，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 求直线 AP 的方向向量与平面 ABE 的法向量， 应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值即可.（1）设 AD 交 BC 于 F，由题意知：O 为ABC中心，则12OFOA，又2OAODr，F 为 OD 中点POD中 E，F 分别为 PD，OD 中点/ /EFPO，而EF 面 ECB，PO 面 ECB，/ /PO面 BCE（2）AEPD，E 为 PD 中点，又PAPD，

27、APD为等边三角形过 O 作OQAD且OQ 平面 ABC，Q 位于AB 上，以 O 为空间坐标原点，OQ，ODuuu r，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系答案第 12页，共 15页则：0, 2,0A，0,0,2 3P，0,2,2 3AP ，3,1,0B，0,1, 3E，3,3,0AB ，3,0, 3BE 设平面 ABE 的法向量为, ,nx y z，则330330n ABxyn BExz ，取3x ，则3, 1, 3n ，设直线 AP 与平面 ABE 所成角为，则47sincos747n APn APnAP .直线 AP 与平面 ABE 所成角正弦值为7720（1）22:

28、12xCy；（2）1:12l yx .【分析】（1）由渐近线方程及双曲线所过的点可得2222411baab，求参数，写出双曲线 C 的方程；（2）设1:2l yxt ，11,A x y，22,B xy，联立双曲线方程应用韦达定理及121kk求出参数 t，即可得直线 l 的方程（1）答案第 13页，共 15页由题设可得：22222,224111,baabab，22:12xCy.（2）设1:2l yxt ，11,A x y，22,B xy，联立22221,2441012yxtxtxtxy ，则22161610tt ，124xxt ，21241x xt 由1212121122yykkxx121212

29、1241124x xt xxtx xxx，可得11t，故1t ，1:12l yx .21（1）0.84（2）2432nnn； max216625fp；3n 【分析】（1）先求出平均数，然后利用正态分布的对称性和3原则进行求解；（2）先表达出抽检的某箱脐橙被记为“同”的概率，再求出相应的概率；表达出 2335C1fppp，利用导函数求出35p 时， fp取得最大值，进而求出此时 n 的值.（1）由分布图：61 0.01 71 0.0281 0.04591 0.02 101 0.0051080 x 则80,100XN，在70,110内为优品则1130.68270.99730.8422PX（2）答案

30、第 14页，共 15页22222222CC2411C3232nnnnnpnnnn 2335C1fppp，且2442323npnnnn，因为2n，且*nN，由对勾函数知识可知：2442323npnnnn在2,上单调递减，当2n 时，23p ，所以20,3p，因为 210135fpppp，且当35p 时， 0fp，当305p时， 0fp，当315p时， 0fp， fp最大值在35p 时取得，可求得3n 或23，因为*nN，所以3n ，求得 max216625fp22（1）单调增区间0,；单调减区间e,0（2）1 e,+【分析】（1）导函数大于 0，单调递增，导函数小于 0，单调递减； （2）对 f

31、x变形，换元，消去n后，变为只需 12ln0tttt ，求导后研究其单调性，最终求得 t 的取值范围，进而得到 m 的取值范围.（1）1m ， 1elneexf xx，e0 x，解得：ex ，定义域为e,， 11eexfxx且单调递增，令： 0fx，0 x 当e0 x 时， 0fx， fx单调递减；答案第 15页，共 15页当0 x 时， 0fx， fx单调递增，所以当1m 时，函数 fx单调增区间为0,；单调减区间为e,0.（2） eeelneexmg xxm ，定义域为e,，设ext，emn elnt ng xh ttn 1et nh tt易知：0t ， ,h t 且单调递增，存在00t

32、，使 00h t，即001etnt，且 1et nh tt在00,t上小于 0，在0,t 上大于 0， 故 00012h th ttnt， 因为当0t 时， h t ， 当t 时， h t ，要想函数 g xfxm有且仅有两个零点，则只需00120tnt，因为001etnt，所以00lnntt，所以 000012lnh tttt，令 12lntttt 21210ttt ，故 12lntttt单调递减，且 10，要想 00t， 则要满足01t ， 由00lnntt单调递增， 可知1n ， 所以e1m， 1em ，实数 m 的取值范围是1 e,+.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.