江苏省南京市2020-2021学年第一学期 高三数学12月六校联合调研试题.doc

1、南京市南京市 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题高三数学高三数学一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的1记全集 UR，集合 Ax| x216，集合 Bx| lnx0，则（CUA）B（）A 4，）B （1，4C1，4）D （1，4）2设 i 为虚数单位，aR，“a1”是“复数 za2211i是纯虚数”的（）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知圆

2、 C 的圆心在直线 yx 上，且与 y 轴相切于点(0，5)，则圆 C 的标准方程是（）A(x5)2(y5)225B(x5)2(y5)225C(x5)2(y5)25D(x5)2(y5)254标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8的视标边长为（）Aa8 . 010Ba7 . 010Ca8 . 010Da7 . 0105已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为A，直线

3、y32（xa）与C的一条渐近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为（）A 2B 3C2D36已知函数 yf (x)的图象如右图所示，则此函数可能是（）Af (x)sin6x2x2xBf (x)sin6x2x2xCf (x)cos6x2x2xDf (x)cos6x2x2x7 “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意

4、免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是（）A59B49C716D916Oyx（第 6 题图）8在三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且 AB2，PAPC 5，PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 23，则三棱锥 PABC 的外接球的体积为（）A92B89 896C9D272二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，选

5、对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9下列说法正确的是()A若 XB（n，13） ，且 EX2，则 n6B设有一个回归方程 y35x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测量结果服从正态分布 N（1，2） （0） ，则 P（1）0.510若函数 f(x)sin2x 的图象向右平移6个单位得到的图象对应的函数为 g(x)，则下列说法中正确的是（）Ag(x)的图象关于 x512对称B当 x0，2时，g(x)的值域为32，32Cg(x)在区间512，1112

6、上单调递减D当 x0，时，方程 g(x)0 有 3 个根11如图，直角梯形 ABCD， ABCD，ABBC，BCCD12，AB1，E 为 AB 中点，以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC32则（）A平面 PED平面 EBCDBPCEDC二面角 PDCB 的大小为4DPC 与平面 PED 所成角的正切值为22网12已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M、N 两点，设线段 AB 的中点为 P，则（）AOAOB3p24B若|AF|BF|4p2，则直线 AB 的斜率为 3C若

7、抛物线上存在一点 E（2，t）到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 y28xD若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则 sinPMN 的最小值为12PAEDCB（第 11 题图）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置13在 RtABC 中，C90，AC4，D 为 AB 边上的中点，则CDAC等于14 （x2y） （xy）8的展开式中 x2y7的系数为用数字填写答案）15已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上递减，若不等式 f(axlnx1)f(axlnx1)2f(1)

8、对 x1，e2恒成立，则实数 a 的取值范围为16已知函数 f(x)3cos（2x3） ，当 x0，9时，把函数 F(x)f(x)1 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，记数列xn的前 n 项和为 Sn，则 2Sn（x1xn）四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）在ACABb212ab，atanC2csinA，S34(a2b2c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题锐角ABC 中，a，b，c 分别为内

9、角 A，B，C 的对边，ABC 的面积为 S，已知_，（1）求角 C 的大小；（2）求 sinAsinB 的取值范围18 （本小题满分 12 分）已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 an0，6Snan23an（1）求数列an的通项公式；（2）记 bn1Sn，若 kTn恒成立，求 k 的最小值19（本小题满分 12 分）如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A，B） ，己知 AB2，AC 2，AE 7，四边形 BEDC 为矩形，平面 ABC平面 BEDC设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l（1）证明：lBC；（2）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐

10、二面角的余弦值20 （本小题满分 12 分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20 个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi） （i1，2，20） ，其中 xi和 yi分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨） ，并计算得20180iix，2014000iiy，202180iixx，20218000iiyy，201700iiixxyy（1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求 y 关于 x

11、 的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：1 年2 年3 年4 年合计甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi） （i1，2，n） ，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121niiiniixxyybxx， aybx21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C：x2a2y2

12、b21（ab0）的一条准线方程为 x3 22，点（32，12）在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB 面积（O 为原点）的最大值22 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)tetx(t0)，g(x)lnx，（1）若 f(x)在 x0 处的切线与 g(x)在 x1 处的切线平行，求实数 t 的值；（2）设函数(x)f(x)g(x)，当 t1 时，求证：(x)在定义域内有唯一极小值点 x0，且(x0)(2，52)；款式台数使用年限若(x)恰有两个零点，求实数 t 的取值范围2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12

13、月六校联合调研试题月六校联合调研试题高三数学答案高三数学答案一、单选题：18：CABDCDBA二、多选题：9、ABD10、AC11、ACD12、AD三、填空题：13、8；14、48；15、1e，4e2；16、4423四、解答题：17、解答:(1)选条件ACABbccosAb212ab 所以 cbb2c2a22bcb212ab，即 b2c2a22b2ab，所以 b2a2c2ab，所以 cosCb2a2c22ab123 分因为 C(0，)，4 分所以 C35 分选条件atanC2csinA，有正弦定理得，sinAsinCcosC2sinCsinA，因为 A，B(0，)，所以 sinA，sinC0，

14、因此 cosC12，3 分C(0，)，4 分所以 C35 分所以选条件SABC34(a2b2c2)342abcosC，SABC12absinC， 3abcosCabsinC，C(0，)，sinC0，cosC0，tanC 3，3 分C(0，)，4 分C35 分（2）sinAsinBsinAsin(23A)32sinA32cosA 3sin(A3)，7 分A(0，2)，23A(0，2)，所以 A(6，2)，A6(3，23)，8 分所以 sinAsinB(32， 35 分18、解析（1）当 n1 时，211163aaa，解得 a131 分当 n2 时，由263nnnSaa，得211163nnnSaa

15、，两式相减并化简得1130nnnnaaaa，由于0na ，所以130nnaa，即13(2)nnaan，4 分故 na是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以3nan6 分（2）Sn3n（n1）2bn1Sn23n（n1）23（1n1n1）8 分故 Tnb1b2bn23（1112）23（1213）23（1n1n1）23（11n1），由于Tn是单调递增数列，23（11n1）2310 分，所以 k23故 k 的最小值为2312 分19、解 （1）因为四边形BEDC为矩形，DE/BC，DE平面DAB，BC平面DAB，所以BC/平面EAD，2 分又平面EAD平面ABC=l，又 BC平面CAB，所以得/l

16、 BC4 分（2）四边形 BEDC 为矩形，所以 DCBC,又平面 ABC平面 BEDC，平面 ABC平面 BEDC=BC，DC平面 BEDC，所以CD 平面ABC所以CD AC，又 AB 为直径，所以 ACBC6 分以C为坐标原点，以CA，CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)C，( 2,0,0)A，(0,0, 3)D，(0,2, 3)E，所以(2,0, 3)AD ，(0,2,0)DE ，平面ABC的法向量1(0,0, 3)n ，8 分设平面ADE的法向量2( , , )nx y z ，2200nADnDE 所以23020 xzy，即2( 3,0,2)n

17、，10 分所以121212610cos,535n nn nnn 12 分20、 （1）由题意知相关系数2012020221170070.875880 8000iiiiiiixxyyrxxyy，3 分因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.（2）由题意可得，20120217008.7580iiiiixxyybxx，5 分4000808.752008.75 41652020aybx，所以8.75165yx.7 分（3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为X（单位：年）的分布列为：X1234P0.10.40.30.21 0.12 0.43

18、0.34 0.22.6E X .9 分乙款垃圾处理机器使用年限为Y（单位：年）的分布列为：Y1234P0.30.40.20.1 1 0.32 0.43 0.24 0.12.1E Y .11 分因为 E XE Y，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. 12 分21. （1）由222222213abbeaa 得33ba，由椭圆C经过点3 1()2 2，得2291144ab，2 分联立，解得1b ，3a ，椭圆C的方程是2213xy；4 分（2）由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为2ykx，联立22213ykxxy消去y得：22(1 3)1290kxkx，则2214436(1 3)0

19、kk ，得21k ，设11()A xy，、22()B xy，则122121 3kxxk ，12291 3xxk，6 分1212122AOBPOBPOASSSxxxx ，2222121212222 2123636(1)()()4()1 31 3(1 3)kkxxxxx xkkk ，8 分设21kt (0t )，则21223636363()16(34)4169242 924txxttttt，10 分当且仅当169tt，即43t 时等号成立，此时2713k 可取，此时AOB面积取得最大值32.12 分注：不检验，扣一分22、解答:（1）f(x)t2etx，g(x)1x，t21， （t0）t12 分（

20、2）(x)exlnx(x0)，(x)ex1x，(x)ex1x20，所以(x)在定义域上是增函数，(12)e1220，(1)e10，所以(x)在区间(12，1)上有唯一零点 x0当 x(0，x0)时，(x)0，即(x)是减函数；当 x(x0)时，(x)0，即(x)是增函数，所以 x0是(x)的唯一极小值点4 分ex01x0，x0lnx0，x0(12，1)(x0)x01x0在(12，1)是减函数，所以(x0)(2，52)6 分因为 tetx0，lnx0(0 x1)所以(x)tetxlnx 的零点在(1，)上由题意得，x(x)(tx)etxxlnx 在(1，)上两个零点，设 h(x)xlnx，h(x

21、)1lnx0，所以 h(x)在(1，)上是增函数，h(x)h(etx)，当且仅当 xetx，即lnxxt0 有两个解8 分设 p(x)lnxxt(x1)，令 p(x)1lnxx20，xe，当 x(1，e)，p(x)0，p(x)是增函数，当 x(e)，p(x)0，p(x)是减函数，所以当 xe 时，p(x)的最大值为 e1t，()当 te1时，p(x)0 恒成立，方程lnxxt0 无解，舍去；9 分()当 te1时，p(x)0 恒成立，当且仅当 p(e)0，方程lnxxt0 有唯一解 e，舍去；10 分()当 0te1时，设 p(e)e1t0，p(1)t0，所以 p(x)在(1，e)有唯一零点，由()已证 lnxxe，lnxx2ln(x12)x2x12ex2e x，p(2ete)2)0，所以 p(x)在(e)有唯一零点综上所述，当 0te1时，(x)恰有两个零点12 分