江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题.docx

1、2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题高三数学高三数学一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在毎小题绐出的四个选项中在毎小题绐出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1记全集U R，集合216Ax x，集合 ln0Bxx，则CUAB（）A4,)B(1,4C1,4)D(1,4)2设 i 为虚数单位，aR， “1a ”是“复数2121azi是纯虚数”的（）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知圆 C 的圆心在直线yx上

2、，且与 y 轴相切于点(0,5)，则圆 C 的标准方程是（）A22(5)(5)25xyB22(5)(5)25xyC22(5)(5)5xyD22(5)(5)5xy4标准对数远视力表（如图）采用的是“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8 的视标边长为（）A0.810aB0.710aC0.810aD0.710a5已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为 A，直线3()2yxa与 C 的一条渐近线在第一象

3、限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（）A2B3C2D36已知函数( )yf x的图象如下图所示，则此函数可能是（）Asin6( )22xxxf xBsin6( )22xxxf xCcos6( )22xxxf xDcos6( )22xxxf x7 “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿。某商家在舂节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有

4、4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是（）A59B49C716D9168在三棱锥PABC中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且2AB ，5PAPC，PB与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 23，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）A92B89 896C9D272二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小題每小題 5 分分，共共 20 分分。在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分

5、，有选错的得 0 分。分。9下列说法正确的是（）A若1,3XB n，且2EX ，则6n B设有一个回归方程35yx，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测量结果服从正态分布21,(0)N，则(1)0.5P10若函数sin2f xx（ ）的图象向右平移6个单位得到的图象对应的函数为( )g x，则下列说法中正确的是（）A( )g x图象关于512x对称B当0,2x时，( )g x的值域为33,22C( )g x在区间511,1212上单调递减D当0, x时，方程( )=0g x有 3 个根1

6、1如图，直角梯形 ABCD，ABCD，ABBC，12BCCD，1AB ，E 为 AB 中点，以 DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且32PC ，则（）A平面PED 平面 EBCDBPCEDC二面角PDCB的大小为4DPC 与平面 PED 所成角的正切值为2212已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M、N 两点，设线段 AB 的中点为 P，则（）A234pOA OB B若2| | 4AFBFp，则直线 AB 的斜率为3C若抛物线上存在一点(2, )Et到焦点 F 的距离等于 3

7、，则抛物线的方程为28yxD若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则sin PMN的最小值为12三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小題，毎小题小題，毎小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。分。把答案填在答题卡的相应位置。13，在Rt ABC中，90C，4AC ，D 为 AB 边上的中点，则CD AC 等于_。148(2 )()xyxy的展开式中27x y的系数为_。 （用数字填写答案）15 已知定义在 R 上的偶函数( )f x在0,)上递减， 若不等式(ln1)(ln 1)2 (1)faxxf axf对21,xe恒成立，则实数 a 的取值范围为_。6已知函数

8、( )3cos 23f xx，当0,9 x时，把函数( )( )1F xf x的所有零点依次记为1x，2x，3x，nx， 且123nxxxx， 记数列 nx的前 n 项和为nS， 则12nnSxx_。四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小題，共小題，共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 10 分）在212AC ABbab ，tan2 sinaCcA，22234Sabc这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题。锐角ABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，ABC的面积为 S，已知_

9、。（1）求角 C 的大小；（2）求sinsinAB的取值范围。18 （本小题满分 12 分）已知数列 na， nb的前 n 项和分别为nS，nT，且0na ，263nnnSaa。（1）求数列 na的通项公式；（2）记1nnbS，若nkT恒成立，求 k 的最小值。19 （本小题满分 12 分）如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A，B） ，已知2AB ，2AC ，7AE ，四边形 BEDC 为矩形，平面ABC 平面 BEDC设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l。（1）证明：lBC；（2）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值。20 （本小题满分 12 分）

10、垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理。某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据,(1,2,20)iix yi ，其中ix和iy分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量 （单位： 吨） ， 并计算得20180iix，2014000iiy，202180iixx，20218000iiyy，201700iijxxyy。（1）请用相关系数说明该组数据中 y 与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求 y 关于 x 的线性回归方程；（3）某科硏机构硏发了两款垃

11、圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：使用年限台数款式1 年2 年3 年4 年5 年甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率。根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数1211niiinniiiixxyyrxxyy对于一组具有线性相关关系的数据,(1,2, )iix yin， 其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121niiiniixxyybxx， aybx21 （本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一条准线方程为

12、3 22x ，点3 1,2 2在椭圆 C 上。（1）求椭圆 C 的方程；2）过点(0,2)P的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB面积（O 为原点）的最大值。22 （本小题满分 12 分）已知函数( )(0)txf xtet，( )lng xx.（1）若( )f x在0 x 处的切线与( )g x在1x 处的切线平行，求实数 t 的值；（2）设函数( )( )( )xf xg x.当1t 时，求证：( )x在定义域内有唯一极小值0 x，且052,2x；若( )x恰有两个零点，求实数 t 的取值范围。2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题高

13、三数学高三数学一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在毎小题给岀的四个选项中在毎小题给岀的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1 【答案】C2 【答案】A3 【答案】B4 【答案】B5 【答案】 C6 【答案】7 【答案】B解：4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数4381他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数2343C A36364819P ，选 B8 【答案】A解：取 AC 中点 D，连 BD，PDBCAB，PAAC，ACBD，ACPD，PDBDD，PD，BD 平面 PBD，AC

14、 平面 PBD又AC 平面 ABC，平面ABC 平面 PBDPBD为 PB 与底面 ABC 所成锤子数学的角，即2 2cos3PBD，22 2ACAB，2BD ，223PDPAAD令PBx，则22 232223xx解得3x 取 PB 中点 O，连接 OD293 2 212224234OD 222ODDBOB，ODDB，O 为 ABC 外接球锤子数学的球心32r ，4279382V，选 A二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在毎个小题给出的四个选项中在毎个小题给出的四个选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选

15、对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9 【答案】ABD10 【答案】AC11 【答案】AC解：A 中，2222222 2PDADAEDE，在三角形 PDC 中，222PDCDPC，所以PDCD，又CDDE，可得CD 平面 PED，CD 平面 EBCD，所以平面PED 平面 EBCD，A 选项正确；B 中，若PCED，又EDCD，可得ED 平面 PDC，则EDPD，而EDPEDA ，显然矛盾，故 B 选项错误；C 中，二面角PDCB的锤子数学平面角为PDE，根据折前着后不变知45PDEADE ，故 C 选项正确；D 中，由上面分析可知，

16、CPD为直线 PC 与平面 PED 所成角，在Rt PCD中，2tan2CDCPDPD，故 D 选项错误。故选：AC12 【答案】AD解：设 AB:2pxmy，11,A x y，22,B xy22,2ypxpxmy消 x 可得2220ypmyp122yypm，212y yp 2242121222244yyppx xppp2221212344pOA OBx xy ypp ，A 正确2121212|2224ppppAF BFxxx xxx22122222pppmm yypppm22224pp mp23m ，3m AB 的斜率为33，B 错误抛物线上一点(2, )Et到焦点的距离为 3，则 E 到锤

17、子数学准线距离为 3322p，2p 抛物线方程：24yx，C错误此时答案已知 AD 再判断 DF 到锤子数学抛物线准线距离为 2，2p 21242xxm，124yym，2122244rABxxm222rm，22222212211sin1222222dmmPMNrmmm 2222m ，2110,222m，1sin,12PMN即min1sin2PMN，D 正确。三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。分。把答案填在答题卡的相应位置。13 【答案】814 【答案】4815 【答案】214aee解：( )f x为偶

18、函数，(ln1)(ln1)faxxf axx(ln1)(ln1)2 (1)(ln1)(1)faxxf axxff axxf，( )f x在0,) |ln1| 1axx在21,xe恒成立，lnln2xxaxx令ln( )xg xx，21ln( )0 xg xx，xe( )g x在1, ) e ，( ,2e，max1( )( )g xg ee令ln2( )xh xx，21ln( )0 xh xx ，( )h x在21,e 2min24( )h xh ee，214aee。16 【答案】2213解：0F x （ ），则 1fx ，即1cos 233x令( )cos 23g xx， g x的周期为在一个

19、周期0, 内1( )3g x 有两个根1x，2x则在0,9 内共有 18 个根，即18n 相邻的两个根都关于锺子数学对称轴对称，而 g x的对称轴 62kx 即1x，2x关于3x对称，2x，3x关于56x对称17x，18x关于253x对称1122317182nnSxxxxxxxx25172213323。四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。 。17解：选（1）212AC ABbab ，21cos2bcAbab，即2222222122bcabcbababcabbc222122ab

20、cab，1cos2C ，3C。（2）ABC为锐角三角形且0,2620,32AAA13sinsinsinsinsinsincos322ABAAAAA33sincos3sin226AAA2363A，3sin126A，3sinsin, 32AB，即sinsinAB的锤子数学取值范围为3, 32。18解： （1）263nnnSaa当2n 时211163nnnSaa-得2211633nnnnnaaaaa11130nnnnnnaaaaaa1130nnnnaaaa0na ，10nnaa，13nnaa na为等差数列，且公差为 3，在式中令1n ，得13a 33(1)3nann。（2）2993(1)62nnn

21、Sn n，12 1131nnbSnn12211111132231nnTbbbnn21131n nT关于 n 单调递增，且对*nN ，23nT 23k ，所以 k 的最小值为23。19解： （1）证明：四边形 BEDC 为矩形，DEBC，DE平面 ABC又DE 平面 ADE，平面ADE 平面ABCl，lBC。（2）过 A 作AMCB交圆于点 M，连接 BM，EM四边形 AMBC 为矩形，AMBCDE平面 ADE 与平面 AMED 为同一平面平面ABC 平面 BEDC，平面ABC 平面BEDCBC，BE 平面 BEDC，BEBC，BE 平面 ABC，BEAM，又AMBM，BEBMB，AM 平面 B

22、EM，AMEM平面ADE 平面ABCAM，EMB即为所求二面角锤子数学的平面角7AE ，2AB ，743BE ，2BMAC，5EM 210cos55EMB。20解： （1）由题意知相关系数2012020221170070.875880 8000iiiiiiixxyyrxxyy，因为 y 与 x 的相关系数接近 1，所以 y 与 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合。（2）由题意可得，20120217008.7580iiiiixxyybxx，4000808.752008.75 41652020aybx，所以8.75165yx。（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约

23、政府支持的垃圾处理费用 X（单位：万元）的分布列为X50050100P0.10.40.30.2()50 0.10 0.450 0.3 100 0.230E X （万元）购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 Y（单位：万元）的分布列为：Y302070120P0.30.40.20.1( )30 0.320 0.470 0.2120 0.125E Y （万元）因为()( )E XE Y，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算。21解： （1）由题意知2222223 2,23,911,441,acaabbabc，椭圆 C 的锤子数学方程为2213xy。（2）设直线 AB 的方程为2

24、ykx，11,A x y，22,B xy222222,344333,ykxxk xkxxy,22131290kxkx222214436 13363601kkkk 且12212212,139,13kxxkx xk 222121212|114ABkxxkxxx x2223636113kkk2226 1113kkkO 到 AB 的距离221dk2222221 6 11261213131AOBkkkSkkk，令21kt，0t ，221kt2666343422 123AODtSttt，当且仅当43tt即2 33t 时取“”此时213k AOB面积最大值为32。22解： （1）2( )txfxt e，1(

25、 )g xx( )f x在0 x 处切线的斜率为21kt，( )g x在1x 处切线锤子数学的斜率为21k 两切线平行，21t ，1t ，0t ，1t .（2）( )lntxxtex当1t 时，( )lnxxex，1( )xxex令1( )xh xex，21( )0 xh xex，( )h x在(0,)上单调递增注意到1202he，(1)10he ，存在唯一的01,12x使0 0h x，001xex且当00 xx时，( )0h x ，( )0 x，( )x；当0 xx时，( )0h x ，( )0 x，( )x( )x有唯一的极小值点0 x，且0000015ln2,2xxexxx当1t 时，(

26、1)ln0 xex，( )x无锤子数学零点，舍去当01t 时，令ln( )0lnlntxxxtxexxx e令( )xF xxe，( )(1)xF xxe，( )F x在(, 1) 上；( 1,) 上且(0)0F当0 x 时，( )0F x ，0 x 时，( )0F x ，且( )F x ，( )(ln )F txFx而0tx lntxx，令( )lnG xtxx，1( )G xtx ，令( )0G x，得1xt且当10 xt时，( )0G x，( )G x ；当1xt时，( )0G x，( )G x min1( )1lnG xt ，要使( )G x在(0,)有两个零点，则11100lntte ，此时(1)0Gt ，2211111ln0Gttttt，( )G x在11, t和21 1,t t上各有一个零点，此时10te 成立。综上：t 的取值范围为10,e。