甘肃省天水市甘谷县2021届高三上学期第四次检测数学（理）试卷.docx

1、2020202020212021 学年第一学期高三第四次检测考试学年第一学期高三第四次检测考试数学试题（理科）数学试题（理科）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. .1已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2. 已知集合0,1,2,3A，|02BxRx，则AB的子集个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 83. “18a ”是“对任意的正数x

2、，21axx”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.若正数,m n满足12nm，则11mn的最小值为A223B32C22 2D35.若实数, x y满足约束条件3403400 xyxyxy，则32zxy的最大值是A1B 1C 10D 126.函数 2e2xf xxx xR的图像大致为（）7中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A(35) B( 51) C( 51) D( 52)

3、8.若函数 sin0,0,0f xAxA的部分图像如图所示，则函数 f x图像的一条对称轴是（）A.56x B.1112x C.1112xD.116x9. 设向量，11,22a ，则下列结论中正确的是（）A./ /abB.abC.a与b的夹角为34D.b在a方向上的投影为22）（ 1 , 0b10 已知正项数列na满足：11a ，2212nnaa，则使7na 成立的n的最大值为（）A. 3B. 4C. 24D. 2511. 已知函数 f x在定义域上的值不全为零，若函数1f x的图象关于1,0对称，函数3f x的图象关于直线1x 对称，则下列式子中错误的是（ ）A.()( )fxf xB.(2

4、)(6)f xf xC.( 2)( 2)0fxfx D.(3)(3)0fxfx12. 若函数 sinxxf xeexx，则满足2(2ln(1)02xf axf恒成立的实数a的取值范围为（）A.12ln2,2B.1ln2,4C.7,4D.3,2二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.设 ?是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则 ?的通项公式为_14.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若6,2 ,3bac B，则ABC的面积为_15. 在边长为 2 的正方形ABCD中，E为CD的中点

5、，AE交BD于F.若23AFxAByAD ，则xy_.16. 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 若1b ，1sincossin2BBCC，则当角B取最大值时，ABC的周长为_.三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤17.（12 分）在ABC中，a=3，bc=2，21cosB（1）求b，c的值；（2）求 sin（BC）的值18.（12 分）记?为等差数列?的前 ? 项和，已知? ?，? ?（1）求?

6、的通项公式；（2）求?，并求?的最小值19（12 分）已知数列 na的前n项和nS，满足3 =1+2nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列(21)nna的前n项和nS20.（12 分）在()()()ab abac c，22 cosacbC，3(cos)sinabCcB三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题在ABC中，内角,A B C的对边分别是, ,a b c，且满足_，2 3b .（1）若4ac ，求ABC的面积；（2）求ac的取值范围.21.（12 分）已知函数( )ln()af xxxaRx.（1）若函数( )f x在1,)上为增函数，求a的取值范围；（2）若函

7、数2( )( )(1)g xxf xaxx有两个不同的极值点，记作1x，2x，且12xx，证明：2312x xe.22.（10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为22xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程为2cos8sin（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求MN2020202020212021 学年第一学期高三第四次检测考试学年第一学期高三第四次检测考试数学答案（理科）数学答案（理科）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，

8、满分满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是一项是符合题目要求的符合题目要求的. .1解析：D2. 【答案】D【分析】先求出AB集合元素的个数，再根据求子集的公式求得子集个数【详解】因为集合0,1,2,3A，=02,BxxxR所以0,1,2AB 所以子集个数为328个故选：D3.3.解析：A4.【答案】A【解析】由题意，因为12nm，则111122() (2)33232 2nmnmmnmnmnmnmn ，当且仅当2nmmn，即2nm时等号成立，所以11mn的最小值为223，故选 A.5【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为3

9、2zxy，所以3122yxz .平移直线3122yxz 可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得340340 xyxy，解得22xy.即点A坐标为(2,2)A，所以max3 22 210z .故选 C.6.【答案】【答案】B B【考点考点】函数的图象与性质【解析解析】法一法一： 由题意可作出函数xey 与函数xxy22的图象， 得到有 3 个交点，即函数 xf有 3 个零点，则故答案选 B.法二法二：因为 0211 ef，可排除选项 A、D；且当x， 2xxexfx，排除选项 C，故答案选 B.法三法三：因为 22 xexfx，设 22 xexfxgx，则 2xexg，令 0

10、 xg，可得2lnx，所以当2lnx时， 0 xg，则 xg，在2ln，上单调递减；当2lnx时， 0 xg，则 xg，在，2ln上单调递增，又02ln222ln222ln2ln fg，即函数 xf有两个极值点，排除选项 C、D；而 0211 ef，所以排除选项 A，故答案选 B.7解析：A8.【答案】【答案】B B【考点考点】三角函数的图象与性质应用【解析解析】由函数 f x的图象可知一个对称中心为03，而06f，即另一个对称中心为06， 且 为 相 邻 的 对 称 中 心 ， 故 函 数 f x的 一 条 对 称 轴 为12236x， 则2632T， 即T， 所以函数 f x的对称轴为直线

11、Zkkx212， 令2k，解得1211x，故答案选 B.9. 【答案】C利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.110122 ，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.110 1022 ，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.122cos2|22a ba b ，0,，所以夹角为34，正确；D.b在a方向上的投影为122222a ba ，故错误.故选：C10 由等差数列的定义可知2na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，可求得221nan，所以21nan，带入不等式即可求解【详解】由等差数列的定义可知2na是首项为 1，公差为 2 的等差数列所以

12、21 (1) 221nann ，所以21nan，*nN，又7na ，所以217n ，即2149n 解得25n，又*nN，所以24n ，故选 C11. 【答案】D由题设条件可得函数( )f x的图象关于(2,0)对称，且关于直线4x 对称，从而得到 f x为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.【详解】函数(1)f x的图象关于1,0对称，函数( )f x的图象关于(2,0)对称，令 (1)F xf x， 2F xFx ，即(3)1fxfx ， 4fxf x 令 (3)G xf x，其图象关于直线对称，2GxGx，即53f xfx，44fxfx由得， 4f xf x ， 8f xf x844

13、fxfxfx，由得 4444fxfxfx, fxf x；A 对；由，得282f xf x ，即26f xf x，B 对；由得，220fxf x，又 fxf x，( 2)( 2)220fxfxfxfx ，C 对；若330fxfx，则 6fxf x ， 12fxf x，由得124fxf x，又 4f xf x ， f xf x ，即 0f x ，与题意矛盾，D 错.故选：D.12. 【答案】A判断 sinxxf xeexx是R上的奇函数，利用导函数可判断 f x是R上的增函数，2(2ln(1)02xf axf恒 成 立 等 价 于22ln(1)2xax ， 分 离a得22ln(1)2xax ，令2

14、( )2ln(1)2xg xx ，则max( )ag x，经过分析知 g x是R上的偶函数，只需求 g x在0,上的最大值，进而求得a的取值范围.【详解】因为 sinxxfxeexxf x ，所以 f x是R上的奇函数， cos1xxfxeex， cos12cos1 1 cos0 xxxxfxeexeexx ，所以 f x是R上的增函数，2(2ln(1)02xf axf等价于22(2ln(1)22xxf axff 所以22ln(1)2xax ，所以22ln(1)2xax ，令2( )2ln(1)2xg xx ，则max( )ag x，因为()( )gxg x且定义域为R，所以 g x 22ln

15、(1)2xx是R上的偶函数，所以只需求 g x在0,上的最大值即可.当0,x时，2( )2ln(1)2xg xx ，22122( )111xxxxg xxxxx ，则当0,1x时， 0gx；当1,x时， 0gx；所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，可得：max1( )(1)2ln22g xg，即12ln22a ，故选：A二、二、填空题填空题： （本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.【答案】? ? ?14.【答案】6 3【解析】 由余弦定理得2222cosbacacB， 所以2221(2 )2 262cccc ， 即2

16、12c ，解得2 3,2 3cc （舍去） ，所以24 3ac，113sin4 32 36 3.222ABCSacB15.【答案】718【分析】根据向量加法的三角形法则得AEADDE 1122ADDCADAB ，根据三角形相似可得23AFAE，23AFAE ，代入AE 可得AF2133ADAB ，结合已知23AFxAByAD ，根据平面向量基本定理可得16x ，29y ，即可求解【详解】因为在正方形中，E为CD中点，所以AEADDE 1122ADDCADAB ，又为EFDAFB，所以2AFABFEED，所以2AFFE，23AFAE，所以23AFAE 2122121()33333ADDCADAB

17、ADDC ，又已知23AFxAByAD ，根据平面向量基本定理可得16x ，29y ，所以1276918xy，故答案为：71816. 【答案】23【分析】先利用已知条件化简整理得tan3tanAC= -，再根据tantanBAC 化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长.【详解】因为1sincossin2BBCC，所以sin2cossin0BAC ，即A是钝角，,B C是锐角，sinsincoscossin2cossinACACACAC ，即sincos3cossinACAC 得tan3tanAC= -，故2tantan2tan2tantan1tantan13tan13t

18、antanACCBACACCCC ，因为tan0C ，所以223tan132 33tantanBCC，当且仅当13tantanCC时，即3tan3C =时tanB最大，为3tan3B ，故角B取最大值，6BC，故23A，又由1b ，故11,1 1 2 1 132bca ，即周长为23.故答案为：23.三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤17.（12 分） 【答案】 （1）7b ，5c ； （2）437.【解析】 （

19、1）由余弦定理2222cosbacacB，得222132 32bcc .因为2bc，所以2221(2)32 32ccc .解得5c .所以7b .（2）由1cos2B 得3sin2B .由正弦定理得5 3sinsin14cCBb.在ABC中，B是钝角，所以C为锐角.所以211cos1 sin14CC.所以4 3sin()sincoscossin7BCBCBC.18.（12 分） 【答案】 （1）an=2n9， （2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析： （1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2）根据等差数列前 n 项和公式得?的二次函数关系式，根

20、据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解： （1）设an的公差为d， 由题意得 3a1+3d=15 由a1=7 得d=2 所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4 时，Sn取得最小值，最小值为1619（12 分）解析. 【解】 （1）当n1时，11,a当n2时，3S =1+2ann113S =1+2ann得，n12,naa n1, 2是以为首项为公比的等比数列a1( 2) nna4 分（2）11 1 3 ( 2)21) ( 2)（ nnSn11 1 3 ( 2)21) ( 2)（ nnSn221 ( 2) 3 ( 2)21) ( 2)

21、（ nnSn得，2131 2( 2) ( 2)( 2)21) ( 2)-（ nnnSn1( 2) 1 ( 2)1 221) ( 2)1 ( 2)（ nnn1 61( 2)33 nn161( 2)99 nnnS12 分20. 解答:若选，由题意()()()ab abac c，化简得222122acbac，-2 分即1cos,02BB，得3B。-3 分（1）由余弦定理22()22cosbacacacB，得21124222acac，解得43ac 1143sinsin22 333SacB 。-6 分（2）由正弦定理2 34sinsinsin32acbACB，又因为23AC，所以4(sinsin)acA

22、C-8 分24(sinsin()3AA=134 3(cossin)22AA=4 3sin()6A，-10 分因为220,3663AA ，1sin()( ,162A。(2 3,4ac -12 分若选，由22 cosacbC，得2sinsin2sincosACBC，2sin()sin2sincosBCCBC，化简得2cossinsinBCC，得1cos,02BB，得3B。以下与选同。若选，由3(cos)sinabCcB得3(sinsincos)sinsinABCCB，即3sin()sincossinsinBCBCCB，化简得tan3B ，0B，得3B。以下与选同。21.（12 分） （1）由题意可

23、知，函数 f x的定义域为0,， 22211axxafxxxx ，因为函数 f x在1,为增函数，所以 0fx在1,上恒成立，等价于20 xxa在1,上恒成立，即2minaxx，因为2211224xxx，所以2a ，故a的取值范围为2a .（2）可知 222ln1lng xx xxaaxxx xaxxa，所以 ln2gxxax，因为 g x有两极值点12,x x，所以1122ln2,ln2xaxxax，欲证2312xxe，等价于要证：2312lnln3xxe，即12ln2ln3xx，所以12322axax，因为120 xx，所以原式等价于要证明：12324axx，由1122ln2,ln2xax

24、xax，可得2211ln2xa xxx，则有2121ln2xxaxx（），由原式等价于要证明：212112ln32xxxxxx，即证2211221121313ln212xxxxxxxxxx，令21xtx，则1t ，上式等价于要证31ln12ttt，令 31ln12th ttt，则 223 126114111212tttth ttttt因为1t ，所以 0h t，所以 h t在1,上单调递增，因此当1t 时， 10h th，即31ln12ttt.所以原不等式成立，即2312xxe.22（10 分） 【答案】 （1）曲线C方程为28xy，表示焦点坐标为0,2，对称轴为y轴的抛物线；（2）10【解析】 （1）因为2cos8sin，所以22cos8 sin，即28xy，所以曲线C表示焦点坐标为0,2，对称轴为y轴的抛物线（2）设点11,M x y，点22,N xy直线l过抛物线的焦点0,2，则直线参数方程为22xtyt化为一般方程为122yx，代入曲线C的直角坐标方程，得24160 xx，所以12124,16xxx x 所以22221212121MNxxyykxx22121214kxxx x 22114416102