南平市2021—2022学年第一学期高二期末质量检测数学试题参考答案及评分标准.pdf

1、 高二期末数学参考答案 第1页（共 8 页） 南平市南平市 20202 21 120202 22 2 学年第学年第一一学期高学期高二二年级期末质量检测年级期末质量检测 数学数学参考答案参考答案及评分标准及评分标准 说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分

2、. 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1C 2B 3B 4A 5A 6D 7A 8D 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9B D 10B CD 11A B 12A B D 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分 135 142 159 16189 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 解: （1）圆C经过

3、坐标原点O，圆心在x轴正半轴上， 故可设圆C的圆心坐标为( ,0)C a， 1 分 其中0a ，且半径ra=2 分 又圆C与直线3420 xy+=相切， 22|302|34aa+=+，4 分 解得1a =或14a = （舍去） ， 故圆C的标准方程为22(1)1xy+=5 分 （2）直线l过点()12，设直线l方程为()21yk x=，6 分 即20kxyk+= 直线l与圆C有公共点，圆心到直线的距离2211dk=+，8 分 解得：33kk 或10 分 高二期末数学参考答案 第2页（共 8 页） 18. （本小题满分 12 分） 解（1）方案一：选条件：2nSn=. 当1n =时，111as=

4、.1 分 当2n 时，212(1)21nnnassnnn= 4 分 又当1n =时,11a =符合上式， 5 分 21nna=6 分 方案二：选条件 ：点1)(,nna a+在直线2yx=+上，且35a =， 12nnaa+=+， 即12nnaa+=，2 分 na为等差数列，公差2d =，4 分 3(3) 221nnnaa=+=.6 分 方案三：选条件公差为正数的等差数列 na中，35a =且1a，2a，42a +成等比数列. 设等差数列 na的公差为(0)d d ，依题意，得232145aaaa=且 （+2） 2ddd(5- )(5-2 )(7+) , 解得2d =或5d =（舍去） ， 2

5、d=，4 分 3(3) 221nnnaa=+=.6 分 （2）21nan=， 12211(21) (21)2121nnnbaannnn+=+.7 分 12nnbbTb=+ 高二期末数学参考答案 第3页（共 8 页） 1111111()()()11335212121nnn=+= +， 9 分 1021n+， 11121n+ .10 分 数列 nb的前n项和nTm对任意的正整数n恒成立， 1m，11 分 m的最小值为 1 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为3=a，所以193)(3+=xxxf，99)(2=xxf， 1 分 所以，当1x 或1x 时，( )0fx ；当11x

6、时，( )0fx ； 所以( )f x在(, 1) 和(1,)+单调递增，在()1,1单调递减， 3 分 所以( )f x的极大值为7) 1(=f，( )f x的极小值为5) 1 (=f. 5 分 （2）) 3( 393)(22=axaxxf， 6 分 当0a 时，0) 3( 3)(2=axxf恒成立，( )f x在R上单调递减， ( )f x至多一个零点，不合题意； 7 分 当0a 时，令( )0fx =，则ax3=， 8 分 所以，当ax3或ax3时，( )0fx ；当axa33时，( )0fx ； 所以( )f x在），（a3和），（+a3单调递增，在），（aa33单调递减， 9 分 高

7、二期末数学参考答案 第4页（共 8 页） 所以( )f x的极大值为136)3(+=aaf， ( )f x的极小值为136)3(+=aaf. 10 分 又( )f x恰有三个零点，所以36103610aa+， 11 分 解得1080 a 综上，a的取值范围为1080 a 12 分 20 （本小题满分 12 分） 证明： （1）如图，取AC中点D，连接OD、BD， 因为2OAOC=，所以ODAC，1 分 又OAOC， 所以2AC =，112ODAC= 因为2ABBC=，所以BDAD 又因为112ADAC=，又=2OB，所以3BD =， 所以222ODBDOB+= ， 所以ODBD.3 分 又=A

8、CBD D， 所以OD 平面ABC， 5 分 又因为OD平面OAC， 所以平面OAC 平面ABC.6 分 DEOCAB 高二期末数学参考答案 第5页（共 8 页） （2）由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系-D xyz，如图. 则()1,0,0A，()0, 3,0B，()1,0,0C ，()0,0,1O，11,0,22E，8 分 所以()1, 3,0AB = ，11, 3,22EB=， 设()=, ,nx y z为平面EAB的法向量， 则301130.22xyxyz +=+=， 令1y =，则3x =，3 3z = 所以(

9、)=3,1,3 3n是平面EAB的一个法向量，10 分 由（1）知()= 0,0,1DO为平面ABC的一个法向量，11 分 设平面ABC与平面EAB所成角为，则3 33 93coscos,3131n DO= 故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为3 933112 分 21 （本小题满分 12 分） （1）证明：由圆222150 xyx+=可得， 圆心为，半径为 4， / /EQPC， PCDEQD= ， 又| |PDCP=， PCDPDC=， DEBOCAzxy 高二期末数学参考答案 第6页（共 8 页） EQDPCDPDC= = ， | |EQED=，2 分 | | | 4EPEQEPEDP

10、D+=+=，则| 4EPEQ+=，3 分 点E的轨迹是以( 1,0)P ，(1,0)Q为焦点，4为长轴长的椭圆，4 分 故点E的轨迹的方程为221(0)43xyy+=；5 分 （2）解： 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是1x =. 此时点M的坐标是31,2，点N的坐标是31,2. 所以直线AM的方程是()122yx=+，直线BN的方程是()322yx=. 所以直线AM，BN的交点K的坐标是()4,3. 所以点K在直线4x =上. 6 分 当直线l的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l的方程为()1yk x=. 联立方程组()221143yk xxy=+=， 消去y，整理得()2223484

11、120kxk xk+=. 显然0 . 不妨设()11,M x y，()22,N xy， 所以2122834kxxk+=+，212241234kx xk=+.7 分 因为直线AM的方程是()1122yyxx=+， 高二期末数学参考答案 第7页（共 8 页） 由()112 ,24.yyxxx=+=得116,24.yyxx=+= 即AM与=4x的交点11164,2yKx=+，8 分 同理可得BN与=4x的交点22224,2yKx=，9 分 因为()()121212126121622222k xk xyyxxxx=+ ()()()()()()12121261222122k xxk xxxx+=+，10

12、 分 因为()()()()1212612221k xxk xx+ () ()12211212232222kx xxxx xxx=+()12122258kx xxx=+ ()22222 4125 8283434kkkkk=+()2880k= +=，11 分 所以1K与2K重合，即直线AM、BN的交点K在直线4x =上12 分 22 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）( )e2cosxfxx=+ 1 分 令)()(xfxh=，则( )00h=且( )esinxh xx=，2 分 )0(+，x，( )esin1 sin0 xh xxx= ， 所以( )(0)0h xh=，即( )0fx， 所

13、以)(xf在)0(+，的单调递增，3 分 高二期末数学参考答案 第8页（共 8 页） )0(，x，( )e2coscos10 xfxxx=+ ， 所以)(xf在)0(，单调递减.4 分 所以)(xf的单调递减区间为)0(，)(xf的单调递增区间为)0(+，5 分 （2）设2( )( )( )e2sin21xF xf xg xxxax=+，且0)0(=F，6 分 ( )ecos42xF xxax=+，令)()(xFxG=，( )esin4xG xxa=， 令)()(xGxH=，( )ecos1 cos0 xH xxx= ， 所以)(xG在)+，0上单调递增， 8 分 若41a，041)0()(=aGxG，所以)(xF在)+，0上单调递增， 所以0)0()(=FxF，所以0)0()(= FxF恒成立. 9 分 若41a，041)0(=aG， 0)24sin(24)24sin(24)24(ln(+=+=+aaaaaG，10 分 所以存在)24ln(0(0+ax，使0)(0= xG，且0(0)xx，0)( xG， 所以( )G x在0(0)x，单调递减，即)(xF在0(0)x，单调递减，所以0(0)xx，时， 0)0()(=FxF，所以0)0()(= FxF，不合题意. 综上，41a. 12 分