工程力学课件：工程力学-第二章平面汇交力系和平面力偶系.ppt

1、第二章第二章 平面汇交力系和平面汇交力系和 平面力偶系平面力偶系 概述概述 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 平面力对点之矩平面力对点之矩 平面力偶平面力偶 平面力偶系的合成与平衡条件平面力偶系的合成与平衡条件 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。概述概述 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方

2、法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系 平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向 转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向一一.平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法1.力的三角形法则力的三角形法则 三角形三角形abc称为称为力三角形力三角形;上述作图上述作图方法称为方法称为力的三角形法则力的三角形法则.ab1Fc2FRFA1FRF2F2.2 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡

3、的几何法2、力的多边形法则、力的多边形法则A1F2F3F4FRFab1Fc2Fd3Fe4F各力矢与合力矢构成的多边形称为各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭封闭边边。313R1R2RiiFFFF力多边形力多边形力多边形规则力多边形规则211RFFFiniiFFF1R结论：平面汇交力系合成的最后结果是一结论：平面汇交力系合成的最后结果是一个力（称为合力），它的作用线通过力系个力（称为合力），它的作用线通过力系的汇

4、交点，其大小和方向由力多边形的封的汇交点，其大小和方向由力多边形的封闭边来确定，即等于各力矢的矢量和。闭边来确定，即等于各力矢的矢量和。用用矢量式表示为：矢量式表示为：12RnFFFFF 二二.平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的几何法结论：平面汇交力系几何法平衡的必要与结论：平面汇交力系几何法平衡的必要与充分条件是：充分条件是：力系中各力矢构成力系中各力矢构成 的力多边形自行封闭；的力多边形自行封闭；或各力矢的矢量和等于零。或各力矢的矢量和等于零。用矢量式表示为：用矢量式表示为：0RF 或0iF2.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力的分解和力在轴上的投影一、力的分解和力在轴上的投

5、影1、力的分解、力的分解 由力的平行四边形法则知，两个共点力的合力由力的平行四边形法则知，两个共点力的合力是唯一的。若将一个力分解为两个分力，若无足够是唯一的。若将一个力分解为两个分力，若无足够的条件，则解答不是唯一的。因为在的条件，则解答不是唯一的。因为在 中，中，每个矢量均包含大小和方向两个要素，故上式共有每个矢量均包含大小和方向两个要素，故上式共有六个要素，必须已知四个才能确定其余两个。六个要素，必须已知四个才能确定其余两个。 12RFFF大小方向? ? ? ? 12RFFF1、力的分解、力的分解 xyRFxFyF力的正交分解：力的正交分解：sincoscosFFFFFyx12RFFF大

6、小方向? ? 2、力在轴上的投影、力在轴上的投影ABFxabxFcosxFF即即力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力与投影轴正向间夹角的余弦。11FFxcosFFycosyxFFF二、力的解析表达式二、力的解析表达式力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影cos( , )cos( , )xyFF iFF iFF jFF j如已知力的投影大小和方向为如已知力的投影大小和方向为X,Y22cos( , ),cos( , )xyyxFFFFFF iF jFF在直角坐标系中在直角坐标系中xyxyFFFF iF jXiYj此式即为此式即为力

7、的解析表达式力的解析表达式。xABOFxFyFxFyFijy三、合力投影定理三、合力投影定理 由平面汇交力系合成的几何法知：由平面汇交力系合成的几何法知：iFF 任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为代入上式，得代入上式，得()()()RxRyixiyixiyF iFjF iF jFiFj 由矢量相等的概念有由矢量相等的概念有RxixRyiyFFFF 即：即：平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。这就这就是是合力投影定理合力投影定理。RRxRy

8、FF iF jiixiyFF iF j四、平面汇交力系合成的解析法四、平面汇交力系合成的解析法 设有平面汇交力系，过汇交点建立直角坐标，设有平面汇交力系，过汇交点建立直角坐标，根据合力投影定理，有根据合力投影定理，有1212RxxxnxixRyyynyiyFFFFFFFFFF 于是合力的大小和方向为：于是合力的大小和方向为：2222()()RRxRyixiyFFFFF cos(, )RxRRFF iF cos(, )RyRRFFjF 作用点在汇交点作用点在汇交点五、平面汇交力系平衡的解析条件五、平面汇交力系平衡的解析条件 由平面汇交力系平衡的几何法知：平面汇交由平面汇交力系平衡的几何法知：平面

9、汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即：力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即：2222()()0RRxRyxyFFFFF 要使上式成立，必须且只须要使上式成立，必须且只须0 xF0yF结论：结论：平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中各力在作用面内两个任选的坐标轴件是：力系中各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零上投影的代数和等于零。上式称为。上式称为平面汇交力系平面汇交力系的平衡方程的平衡方程。例例1求图示平面刚架的支反力。FABAFBFxy解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:cos00:sin0 xAyABF

10、FFFFFFABm4m8由几何关系，552cos,55sin解得51,22ABFF FF例例2求图示平面刚架A、B处的支反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:coscos00:sinsin0 xABByAFFFFFFF由几何关系，22cos解得22BAFFFFm4m84mCABFAFBFABxyCABCDEF 如图所示为一拔桩装置。在木桩的A点系一绳，将绳的另一端固定在C点，然后又在绳的B点系另一绳，此绳的另一端固定在E点，然后在绳的D点用力向下拉，这时绳的BD段是水平的，AB段是铅垂的，DE段与水平线、CB段与铅垂线成等角 （当 很小时， ）。如向下拉力F=80N，求AB绳

11、作用于桩上的拉力。rad1 . 0tg 解：分别以D、B两点为研究对象，受力如图，建立如图坐标。例例3 ABCDEFxy1TF2TF2TF3TF4TF对D点：10:sin0yTFFF1800sinTFFN210:cos0 xTTFFF21cos797TTFFN对B点：320:sin0XTTFFF237970sinTTFFN340:cos0yTTFFF43cos7940TTFFN绳子作用在桩上的拉力为7940N。 例例4ABCD3045G 如图简单起重设备，AB和BC两杆在A、B、C三处用铰链连接，在B处的销钉上装有一个不计重量的小滑轮，杆重不计，当卷扬机匀速吊起重G=1.5kN的重物时，求两杆

12、所受的力。解：以B轮为研究对象，受力如图，建立如图坐标。BCF1TF2TFABFBxy10:cos30cos450 xBCABTFFFF120:sin30sin450yABTTFFFF由于匀速起吊，故12TTFFG解之得：5.12ABFkN5.49BCFkN21注意：注意：1、对于平面汇交力系平衡问题，先取未知力不超过两、对于平面汇交力系平衡问题，先取未知力不超过两个的刚体为研究对象；个的刚体为研究对象；2、列平衡方程时，选取的投影轴应与各力平行或垂直，、列平衡方程时，选取的投影轴应与各力平行或垂直，或与各力之间的夹角为特殊角或与各力之间的夹角为特殊角3、带入计算时，要连符号一起带入、带入计算

13、时，要连符号一起带入例例5PABORQ 解：分别以球A、球B为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 两球A和B分别重P和Q，用长为2L的杆连接，然后放在有光滑内表面的球形穴中，此球形穴的半径为R。如不计杆重，求物系平衡时，在接触点A和B处的约束反力以及杆的内力和杆与水平线的夹角 。 ABORQPxyANTTBN对球A：0cossin:0PNYAPNAsincos0sincos:0TPNXAPPTsin)cos()sincossincos(对球B：cossin:0QNYB0QNBsincos0sincos:0QNTXB将 和 代入上式可得：TT BN 0sincossincossin)cos(QQ

14、P0)sinsincos(cos)cos(QPtgPQPQsin)(cos)(RlR22sinRlcos ， 代入上式，得：22)()(lRPQlPQarctg 例例6ABCDEFFaaaa 求图示机构的支座反力。 解：以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。ABCDEFFaaaaAFBFxy0 Xcoscos0ABFF0Ysinsin0ABFFF 由几何关系，得：101sin103cos132sin133cos代入解得：10AFF 13BFF一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念oABdF一、力对点的矩的定义一、力对点的矩的定义力使刚体绕力使刚体绕O点转动的强弱点转动的强弱程度的物理量称

15、为力对程度的物理量称为力对O点点的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定义式为：义式为：FdFmo)(其中：点其中：点O称为称为矩心矩心，d称为称为力臂力臂。力矩的正负号。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（米（N m）。）。 由图可知：由图可知：OABFmo2)( 的面积的面积2.4 平面平面 力对点之距力对点之距二、平面汇交力系的合力矩定理二、平面汇交力系的合力矩定理定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任意平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于

16、各个分力对同一点之矩的代一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即数和。即()()oRoim Fm F oxxyyFxFAyF 利用合力矩定理，可以利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即析表达式，即( )()()ooyoxyxm Fm Fm FF xF y 例例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 对A、B、C三点之矩。FFABCDAdCd解：由定义mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30c

17、os)(例2OxyFA1r2rBd如图所示，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定义cos1rOB cos12rrAB12coscosrrABd)cos()(21rrFFdFmA一、力偶的概念一、力偶的概念dFF 在力学中，把等值、在力学中，把等值、反向、平行而不共线的反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为作为一个整体，称为力力偶偶。以。以 表示。表示。),(FF两力作用线所决定的平面称为两力作用线所决定的平面称

18、为力偶的作用面力偶的作用面，两力作用线间的距离称为两力作用线间的距离称为力偶臂力偶臂。 力偶是具有特殊关系的力组成的力系，力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：纳如下：2.4 平面力偶平面力偶二、力偶的性质二、力偶的性质 1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。一个基本的力学量。 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平

19、衡力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡力偶只能与力偶平衡。 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm正负号表示力偶的转向。规定正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正逆时针取正；顺时顺时针取负针取负。单位同力矩的单位。单位同力矩的单位。二、力偶的性质二、力偶的性质 2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和

20、相应的力偶臂的大小，同时力偶力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。体的作用。此性质是力偶系合成的基础。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。量。 力偶可表示为：力偶可表示为：mm二、力偶的性质二、力偶的性质 3、力偶对其作用面内任一点之矩、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶

21、矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩 在力矩方程中可以简化计算在力矩方程中可以简化计算 4、力偶在任一轴上的投影恒等于、力偶在任一轴上的投影恒等于0（因为组成力偶的两个力在任一轴上（因为组成力偶的两个力在任一轴上投影的代数和恒为投影的代数和恒为0） 在投影过程中可以简化计算在投影过程中可以简化计算2.5 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡作用面共面的力偶系称为作用面共面的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FddFm11dFm33dFm22123RFFFF123RFFFF123123()RMF dFFF dmmm推广得：推广得：mmmmMn 21结论：结

22、论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。的代数和。RFRFABd平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 平面力偶系总可以简化为图示平面力偶系总可以简化为图示情形。若情形。若F=0，则力偶系平衡，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是合力偶矩等于零，则或是F=0或或是是d=0，无论哪种情况，该力偶，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：系均平衡。因此可得结论： 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系平面力偶系平衡

23、的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。中各力偶矩的代数和等于零。即：即：0m上式称为上式称为平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。RF RF ABd例例1AB1m2m3mAFBF 求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。1230:0AmF lmmm解之得：123ABmmmFFl例例2 图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。MABMCMCAFCFMMABCAFBFBFMRF例例3BAC1m2mDE45EB1mAAFEFC2mDECFEF 如图杆AB上有一导槽，套在杆CD上的销子E上，在两杆上各

24、有一力偶作用。已知 ，若杆重和摩擦不计，求机构平衡时 应为多大。mNm100012m 解：先以AB为研究对象，受力如图。10:0EmFAEm再以CD为研究对象，受力如图。20:0RmmFAE于是得：mNmm100012例例4 系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A的约束反力及地面对轮C的反力。MBADNDFNAF 解：先以AB杆为研究对象，受力如图。0:0NAmMFAD由几何关系：RRRAD3)2(22333NANDMMMFFADRR所以：AMBCED 再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:coscos0 xDTF

25、FF0:sinsin0yNDTFFFF21sinsin,23coscos其中：解之得：33TNDNEMFFFRAMBCDNEFRAF讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：33ANEMFFRCDFNEFxyTF 小结小结1 1、掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法与解析法、掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法与解析法3 3、熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题、熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题2 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。正确理解合力投影定理上的投影。正确理解合力投影定理4 4、理解力矩、力偶和力偶矩的概念，、理解力矩、力偶和力偶矩的概念，5 5、熟练运用平衡条件，求解力偶系的平衡问题、熟练运用平衡条件，求解力偶系的平衡问题