工程力学课件：第二章　引力场.ppt

1、第二章引力场 牛顿在牛顿在16871687年发表年发表解释物体之间的相解释物体之间的相互作用的引力的万互作用的引力的万有引力定律。它把有引力定律。它把地面上物体运动的地面上物体运动的规律和天体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，规律统一了起来，对以后物理学和天对以后物理学和天文学的发展具有深文学的发展具有深远的影响远的影响 。 （）（）天体质量或密度的估算天体质量或密度的估算 测出卫星围绕天体做匀速圆周运动的半测出卫星围绕天体做匀速圆周运动的半径径r r和周期和周期T T。 （）（）预测未知天体预测未知天体海王星、海王星、冥王星冥王星的发的发现现 在在1818世纪发现的第七个行星世纪发现的第

2、七个行星天王星的天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离。当时有人预测，肯定在其来的有一定偏离。当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星。后来，亚当轨道外还有一颗未发现的新星。后来，亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星星( (海王星海王星) )。33232222234()rMGTmMGMrVGTmrRrT 火箭和宇宙飞船火箭和宇宙飞船（）人造地球卫星和宇宙速度（）人造地球卫星和宇宙速度 本章学习内容 场强度的概念 引力场第一基本定律 引力场第二基本定律 引力场的势及其梯度 具有面质量

3、分布的场 泊松方程和拉普拉斯方程 格林函数 平面场、重力场引力场 引力场是在任何具有质量的物质的周围空间中存在的一种无形引力场是在任何具有质量的物质的周围空间中存在的一种无形的物质。的物质。 引力场的特性是对处于引力场空间中的任何具有质量的物质要引力场的特性是对处于引力场空间中的任何具有质量的物质要施加力的作用。施加力的作用。 如何描述引力场?有什么样的性质? 引力场源与场量的(时空)关系是怎么样的? 引力场的场量与能量的关系是怎样的? 引力场问题的正反演问题是受什么样的方程及条件控制? 引力场的应用(勘察方向及其它)引力场强度引力场强度试探质点的性质 质量很少质量很少，质量少得使它的场在实际

4、上不致改变所研究场中的质量分布，质量少得使它的场在实际上不致改变所研究场中的质量分布 几何尺度很小几何尺度很小，即几何尺度小得近于一个质点，这样才能根据对它的作用，即几何尺度小得近于一个质点，这样才能根据对它的作用来求得空间某一点的场强度。来求得空间某一点的场强度。 这些条件都是相对的，只要质量如此之小，以至在由它的存在而引起的变这些条件都是相对的，只要质量如此之小，以至在由它的存在而引起的变化的实验范围内，不能影响到观察结果的精确度就行了，式中取极限就是化的实验范围内，不能影响到观察结果的精确度就行了，式中取极限就是指这个意义来说的。指这个意义来说的。点质量的场强度 万有引力定律万有引力定律

5、万有引力定律描述质点间用力关系，宏观引力场基础。万有引力定律描述质点间用力关系，宏观引力场基础。 万有引力场万有引力场引力场对场中质量有力作用，为了描述引力场强弱，引入引力场强度引力场对场中质量有力作用，为了描述引力场强弱，引入引力场强度123121212m mkr Fr0mFG0330()()()mmmffxyxr mr Gr =rrijk质点组质点组( (系统系统) )的场强度的场强度场的叠加原理场的叠加原理311NNiiiiiimfr GGr连续质量分布的场强度3 mLdlfr Gr连续质量线分布连续质量线分布3msdsfr Gr连续质量面分布连续质量面分布3mvdvfr Gr连续质量体

6、分布连续质量体分布连续体质量分布 直角坐标下分量形式:连续体质量分布(2)-体质量内部的场强度v 广义积分广义积分: : 收敛条件收敛条件: :密度是连续函数密度是连续函数场强度公式的应用 重力异常 地球形状 重力固体潮 卫星(同步旅行者) .力线 微分方程形式:例 薄球壳的场强 垂直台阶的重力异常 点质量的力线方程引力场第一基本定律-高斯定律 表述:场强矢量F对于任意一闭合面S的通量贝N等于S所包围质量的-4*pi*k倍。这就是引力场的第一基本定律，也就是场论中著名的高斯定律。 质点的场强通量立体角 质点的能量表达:闭合曲面的立体角体质量内部的闭合曲面场强度的散度 场中每一点上场强度的散度只

7、与该点的质量密度成比例，而与其它点上的质量分布无关。如果策点没有质量密度存在，则在该点的场强散度为0。kFdiv4引力场第二基本定律 基本内容:场强度的环流等于零是引力场的一个基本性质，称引力的场第二定律。引力场为一保守力场 引力场第二基本定律的实质是能量守恒定律在引力场的特殊形式. 引力场第二基本定律表示的是场量与能量(做功)的关系.场力所作的功 当一质量位于引力场中时，它就受到一机械力的作用.所以当它在场中有一无限小的位移dl时,引力场力所作的功是 对于单位质量来说，场力作的功为 当单位质量移动一非无限小的路程时，场力所作的功引力场做功与路径无关 对于质点m的引力场 引力场做正功,引力场中

8、质量获得能量 引力场做负功,引力场中质量损失能量场强度的旋度 旋度是对于矢量场的一种导微它在运算,直角坐标系中的意义表示场强矢量在沿垂直场强度三分量方向的空间变化率。 实际上旋度更普遍的定义为定域化时场矢量的环流对面积之比的极限值 在引力场中所有各点的场强度的旋度但等于零引力场的势及其梯度引力势的计算点质量的势质点组的势 标量场的叠加性质体质量分布的势 观测点在体质量分布外: 观测点在体质量分布内:势的梯度与场强度的关系 势差: 微分形式 投影 场强沿dl方向的分量等于势在该方向的方向导数。 直角坐标系中,场强度在三个坐标轴的分量: 梯度定义 引力场中任一点的场强度只等于该点的势的梯度。等势面

9、 具有相同势函数的值的各点所构成的曲面称为等势面 等势面和力线处处正交 等势面上任意两点势差为零面质量分布的场 面质量分布的场强 面质量分布的势 面外各点 面上各点面质量场强的连续性(1)-法线分量不连续 换言之，在面质量两边相邻两点上的场强矢量万的法线分量发生一突变，其恒等于面质量密度的4*pi*k倍面质量场强的连续性(2)-切线分量连续 回路L均匀圆板的在其轴上的场强度和势均匀圆板的在其轴上的场强度和势重力场重力场地球形状地球形状自然表面自然表面大地水准面大地水准面参考椭球面参考椭球面正常椭球面正常椭球面大小大小fM地轴地心大小大小一、重力位（一、重力位（geopotential） 力的位

10、函数：为一数量函数，该函数对任意方向力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向 的导数等于力在该方向上的分力。的导数等于力在该方向上的分力。质体引力：质体引力：)(),(MrdmfzyxV)(2MrrrdmfF质体引力位：质体引力位：引力位引力位验证：验证：),cos(SFFSV ),(zyxVxyzo质体(M)1mdmr),(zyx),(质质体体引引力力位位cos( ,)cos( , )cos( , )xF XryF YrzF Zr 222cos( ,)cos( , )cos( , )xyzfm xFFF Xrrfm yFFF Yrrfm zFFF Zrr 1( )Vfmxx rrzrfmz

11、VryrfmyVrxrfmxV2222/Ffmr222()()()rxyz( , , )x y zfmVr)(2),(222yxzyxQ)(),(MrdmfzyxV重力位重力位),(zyxW离心力位：离心力位：地球引力位：地球引力位：重力位：重力位：)(2 ),(),(),(22)(2yxrdmfzyxQzyxVzyxWMxyzoPFg重重力力位位),(zyx重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力位等于引力位与离心力位之和。位等于引力位与离心力位之和。质体对外部点的引力位：质体对外部点的引力位：)(),(MrdmfzyxV满足拉普拉斯方程：满足拉普

12、拉斯方程：0222222zVyVxV)(2 ),(),(),(22)(2yxrdmfzyxQzyxVzyxWM地球重力场模型（地球重力场模型（model of earth gravity field） 质体对外部点的引力位：质体对外部点的引力位：)(),(MrdmfzyxV满足拉普拉斯方程：满足拉普拉斯方程：0222222zVyVxVcossinsincossinzyx2222222212cot0sinVVVVVXZYzxyP)(MO引力位球谐函数1001( , , )(cossin)(cos )nnknknknnkVakbkP 1,0 , )()(0 xnxPxPnnnkxPnxxPnkxP

13、knxxPnxPknnnnnknnkkn, )() 12( )1 ()(0 , )( )()() 12()() 1(1, 12, 1, 1xxPxP)(, 1)(10递推公式的初始值递推公式的初始值递推公式递推公式伴随勒让德多项式伴随勒让德多项式)(cosnkPnknkba ,球谐系数分析球谐系数分析1001( , , )(cossin)(cos )nnknknknnkVakbkP 011()111()111()(cos)()!2(cos)cos()!()!2(cos)sin()!nnnMnnknkMnnknkMafPdmnkafPkdmnknkbfPkdmnkXZYzxyP)(M),(111

14、dmO1001( , , )(cossin)(cos )nnknknknnkVakbkP 球谐系数分析球谐系数分析nknkba ,011()111()111()(cos)()!2(cos)cos()!()!2(cos)sin()!nnnMnnknkMnnknkMafPdmnkafPkdmnknkbfPkdmnk零零 阶项阶项 引力为的零阶项表示把地球当作一个位于地球质心引力为的零阶项表示把地球当作一个位于地球质心的质点所产生的引力位，也可以认为是球心在地球质心的质点所产生的引力位，也可以认为是球心在地球质心的均质球体产生的引力位。的均质球体产生的引力位。fMa00地球重力场模型（地球重力场模型

15、（model of earth gravity field） )(2)(cos)sincos()(1 )(2 ),(),(),(2222022)(2yxPkSkCafMyxrdmfzyxQzyxVzyxWnknnknknknM其中，坐标系原点放在地球质心，其中，坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于地球的主惯性轴，轴重合于地球的主惯性轴，02121 SC又称位系数模型，n总是有限 水准面的不平行性、不相交性水准面的不平行性、不相交性constzyxW),(sgdh1W2W水准面的性质（水准面的性质（features of level surface） gdhggdhdW),cos( 水准面的重力位

16、值水准面的重力位值0),cos(SggdSdW正常椭球是一个假想的、质量分布规则的旋转椭球体，用于研究地球重力场及地球形状，它的四个基本参数为：长半轴a，扁率，质量M 和绕其短轴旋转的角速度。正常椭球一般选取原则：旋转轴与实际地球的自转轴重合，且两者的旋转角速度相等；椭球中心与地球质心重合； 质量与实际地球的质量相等； 椭球面与大地水准面较为接近。正常椭球与正常重力（正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity） 正常椭球及其选择正常椭球及其选择 正常重力位与正常重力正常重力位与正常重力正常引力位正常引力位1222),()(cos)(1nnnnPaJfMV离心力

17、位离心力位XZYPO)(2),(222yxzyxQ正常椭球与正常重力（正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity） 正常重力位与正常重力正常重力位与正常重力正常引力位正常引力位1222),()(cos)(1nnnnPaJfMV离心力位离心力位)(2),(222yxzyxQ正常重力位正常重力位)(2)(cos)(12221222),(yxPaJfMUnnnn正常椭球与正常重力（正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity） 正常重力位与正常重力正常重力位与正常重力正常椭球表面重力正常椭球表面重力)2sinsin1 (2120BB-

18、afMbammmmmmmmabfMa2221228581415141725)29412573231 (H3086. 00正常椭球表面外部重力正常椭球表面外部重力XZY0PPOBH正常椭球与正常重力（正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity） 空间重力异常空间重力异常常H.g ggPPPP308600XZYPOBPPg常H.P308600主要用于确定全球重力主要用于确定全球重力场模型及精化局部重力场模型及精化局部重力场模型。场模型。正常椭球与正常重力（正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity） 扰动位（扰动位（disturb

19、ance potential） 定义：空间任一点真实重力位与正常重力位之差定义：空间任一点真实重力位与正常重力位之差UWTHEHEHHEEQQVVQVQVT )(HEVVT扰动位（扰动位（disturbance potential） )(2)(cos)(12221222),(yxPaJfMUnnnn)(2)(cos)sincos()(1 ),(22220yxPkSkCafMzyxWnknnknknkn 模型模型)(cos)sincos()( ),(20*nknnknknknPkSkCafMT泊松方程和拉普拉斯方程 引力场的边值问题 两个基本定律： 势与场强度的关系： 场强度与势函数表示引力场的

20、等效性：泊松方程与拉普拉斯方程 泊松方程： 拉普拉斯方程：泊松方程与拉普拉斯方程的意义 泊松方程和拉普拉斯方程的意义：引力场中的势是这样分布的，若在场中任一点P周围取一无阻小闭合面S，其体积为dv，那么势沿该面的法线方向导数罢的通量对加之比的极限值，征质量分布区以内等于一4*pi*rho；而征质量分布不存在的区域，则等于零。 势的这种分布规律是引力助的基本特性引力场的边值问题 两类边值问题： （1） 知道体密度或面密度时，可以根据边界条件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势（或场强度）。正演问题。 （2） 知道场的势U及其梯度时，我们就可以根据泊松方程来确定场中某点的体质量密度（引力场问

21、题）唯一性定理 基本内容： 如果在空间中其一区域v内，各点的质量密度和这个区域的边界面S上各点的势或其梯度(场强度)为已知时，那么这个区域中由泊松方程解出的势(或场强度)是唯一的(或差一常数)。格林定理 高斯定理：高斯定理：地球物理学中解的多值性问题 产生多值性问题的原因（1）场值测量只在地表或近地空间中进行（2）测量一般以线或点方式进行 没有得到全空间的势，测量面（地表等）不是连续测量，而是离散化的势值无限平面薄板场无限平面薄板场均匀质量球体的场均匀质量球体的场泊松方程的积分 格林函数狄义赫利问题和诺依曼问题引力场势的显式形式 设在场中给一任意的正规的闭合面S，面内包含的体积为v。 质量分布

22、可以完全在S面内，也可以一部分在S面外。 设体积v内选择任意一点P(x,y,z)，并求该点的势U(x,y,z) 这个势的微商在整个区域内是一连续函数。引力场势的显式形式 一般形式：表明：场中任一区域v内的任意点P的势可以表示成一体积分和一面积分之和 满足泊松方程： 满足拉普拉斯方程：无穷远处的势和场强度 无穷远边界的物理意义：在无限远处势U趋于零，场强度也趋于零，这就是说所有质量部位于观察考所在空间内的有限区域内。狄义赫利问题和诺依曼问题 基本方程： 两类边界问题：（1）在S面上（2）在S面上（1）也可称为第一类边界问题，（2）也可称为第二类边界问题（*）混合边界问题格林函数 （？）引力场的狄义赫利问题 找到V 势函数：引力场的诺依曼问题 找到V 势函数：半空间情况 重力、电法测量 地面看作无限大平面 对于狄义赫利问题： 对于诺依曼问题作业