高中数学 必修5 解答题第一章６６题.doc

1、必修解答题第一章题一、解答题1、在锐角三角形 ABC 中，A2B，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，求 a的取值范围 b2、在ABC中，已知A30,C45a20，解此三角形。3、在ABC中，已知b3,c33,B30,解此三角形。accosBsinB4、在ABC 中，求证：.bccosAsinA5、在ABC 中，已知 a2tanBb2tanA，试判断ABC 的形状6、在ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a2，C，4cosB2 5，求ABC 的面积 S.257、在ABC 中，已知 a23，b6，A30，解三角形8、在ABC 中，已知 a22，A30，B45，解三

2、角形9、ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b2ac 且 cosB3.411(1)求的值；tanAtanC3（2）设BABC=，求 a+c 的值.210、在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边的长，cosB =35，且ABBC21.(1)求ABC 的面积；(2)若 a7，求角 C.a2b2sinAB11、在ABC 中，求证：.c2sinC12、如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离为 126nmile，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，距离为83nmile，货轮由A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 12

3、0方向上，求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离13、测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC65.3m，塔顶B的仰角是25 25已知山坡的倾斜角是17 38，求井架的高BC14、(6739)第 4 题.如图，货轮在海上以 35nmile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行为了确定船位，在 B 点观察灯塔 A 的方位角是126，航行半小时后到达点，观察灯塔 A 的方位角是78求货轮到达点时与灯塔 A 的距离（精确到n126B78ACmile） 15、轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船的航行

4、方向之间的夹角为120，轮船 A 的航行速度是 25nmile/h，轮船 B 的航行速度是 15nmile/h，下午 2 时两船之间的距离是多少？16、一架飞机从 A 地飞到 B 到，两地相距 700km飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来路程 700km 远了多少？CA35700kmB17、一架飞机在海拔 8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27 和39，计算这个海岛的宽度8000m39PQ18、如图所示，在山顶铁塔上 B 处测

5、得地面上一点 A 的俯角为，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.19、已知在ABC 中，A45，AB6，BC2，解此三角形120、在ABC 中，D为边 BC 上一点，BD2DC，ADB120，AD2.若ADC 的面积为 33，求BAC.21、一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是，设A，B间的距离是aDhACaB22、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 20250m，速度为 1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18 30，经过 150s 后又看到山顶的俯角为81

6、，求山顶的海拔高度（精确到 1m） 18308123、一架飞以 326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市 A 出发向城市 B 飞行，18min 以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市 C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？24、A，B 两地相距 2558m，从 A，B 两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？A72.3B76.525、为测量某塔的高度，在 A，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度26、如图，已知一艘船从 30nmile/h 的速度往北偏东10的 A 岛行驶，计划到达

7、 A 岛后停留 10min 后继续驶往 B 岛，B 岛在 A 岛的北偏西60的方向上船到达处时是上午 10 时整，此时测得B 岛在北偏西30的方向，经过20min 到达处，测得B 岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？B45A3020 minC27、已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形 ABCD 的面积28、如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量已知 AB50m， BC120m， 于A 处测得水深 AD80m， 于B 处测得水深 BE200m， 于C 处测得水深 CF110m，求DEF

8、的余弦值29、江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连成 30角，求两条船之间的距离30、如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为a，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B， 在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高Bahasinasinsin-a31、如图，一艘船以 32.2nmile/h 的速度向正北航行在处看灯塔在船的北偏东20的方向，30min后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔 6.5nmile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？S北B西东20南A32、如图所示，甲船以每小时 302 海里的速

9、度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 102 海里问乙船每小时航行多少海里？33、如图，为测量河对岸 A、B 两点的距离，在河的这边测出 CD 的长为 3km，ADBCDB230，ACD60，ACB45，求 A、B 两点间的距离34、（本题满分 13 分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA（）求B的大小；（）求cosAsinC的取值范围35、在四边形 ABCD 中，

10、AC 平分DAB，ABC=600，AC=7，AD=6，15SADC=23，求 AB 的长.36、在ABC 中，设tantanA2cBbb,，求 A 的值。37、半径为 1 的圆内接三角形的面积为 025，求此三角形三边长的乘积38、一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15相距 20 里处，随后货轮按北偏西 30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东 45，求货轮的速度39、（本题满分 12 分）在ABC 中，a 比 b 大，b 比 c 大，且最大角的正弦值是32，求c40、（本题满分 12 分）ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD2，DC1，B60o，ADC150o

11、，求 AC 的长及ABC 的面积41、（本题满分 12 分）在ABC 中，BCa，ACb，a，b 是方程x223x20的两个根，且2cosAB。1求：(1)角 C 的度数；(2)AB 的长度。42、（本小题满分 13 分）如图，货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为 155o的方向航行为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o半小时后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 80o求此时货轮北B125o155o北A80oC与灯塔之间的距离（答案保留最简根号）。43、在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对

12、边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状44、已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3a2，cosB.5(1)若 b4，求 sinA 的值；(2)若ABC 的面积 SABC4，求 b，c 的值45、如图所示，我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45且距离为 12 海里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105的方向逃窜，我艇立即以 14 海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间46、（本题满分 13 分）ABC的周长为21，且sinAsinB2sinC（1）求

13、边AB的长；（2）若ABC的面积为16sinC，求角C的度数47、已知 1xy5，1xy3，求 2x3y 的取值范围48、为了测量两山顶 M、N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B、M、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 M、N 间的距离的步骤49、如图所示，已知O 的半径是 1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC1，点 P 是O 上半圆上的一个动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧(1)若PO

14、B，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示为关于的函数；(2)求四边形 OPDC 面积的最大值50、设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a2bsinA.(1)求 B 的大小(2)若 a33，c5，求 b.51、如图，H、G、B 三点在同一条直线上，在 G、H 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别为，CDa，测角仪器的高是 h，用 a，h，表示建筑物高度 AB.52、如图所示，已知在四边形 ABCD 中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求 BC 的长53、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2C1.4(1)求

15、 sinC 的值；(2)当 a2,2sinAsinC 时，求 b 及 c 的长54、在ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为 4 的平行四边形的最大面积55、如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交 AC 于 E，AB2.(1)求 cosCBE 的值；(2)求 AE.56、某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向

16、以 v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值57、在ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cosA4.5BC(1)求 sin2cos2A 的值；2(2)若 b2，ABC 的面积 S3，求 a.58、已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有 关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为 b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一

17、年末和第二年末的实际住房面积的表达式(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b是多少？(计算时取 1.151.6)59、在ABC 中，a 比 b 长 2，b 比 c 长 2，且最大角的正弦值是 3，求ABC 的面积260、已知不等式 ax23x64 的解集为x|xb，(1)求 a，b；(2)解不等式 ax2(acb)xbc0.61、已知an是首项为 19，公差为2 的等差数列，Sn为an的前 n 项和(1)求通项 an及 Sn；(2)设bnan是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的通项公式及前 n 项和 Tn.62、已知ABC

18、 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C，求ABC 的面积363、如图所示，扇形 AOB，圆心角 AOB 等于 60，半径为 2，在弧 AB 上有一动点 P，过P 引平行于OB 的直线和 OA 交于点 C，设AOP，求POC 面积的最大值及此时的值64、已知 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边，且a2c2b2ac（）求角B的大小；（）若c3a，求tanA的值65、在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知

19、c2，C.3(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b.(2)若 sinB2sinA，求ABC 的面积66、在ABC 中，已知(abc)(bca)3bc，且 sinA2sinBcosC，试确定ABC 的形状以下是答案一、解答题1、解在锐角三角形 ABC 中，A，B，C90，B90，即30B45.2B90，1803B90，asinAsin2B由正弦定理知：2cosB(2，3)，bsinBsinB故 a的取值范围是(2，3)b2、解析：由正弦定理asin Ac，即sinC20c，解得c202，1222由A30,C45，及ABC180可得B75，又由正弦定理asinAb，即sin B2016b2，解

20、得b1062243、解析：由正弦定理bsin Bc，即sinC313 33，解得sinC，sinC22因为cb，所以C60或120，当C60时，A90，ABC为直角三角形，此时ab2c26；当C120时，A30，AB，所以ab3。4、证明因为在ABC 中，asinAsinBsinC2R，bc2RsinA2RsinCcosB所以左边2RsinB2RsinCcosAsinBCsinCcosBsinBcosCsinB右边sinACsinCcosAsinAcosCsinAaccosBsinB所以等式成立，即.bccosAsinA5、解设三角形外接圆半径为 R，则 a2tanBb2tanAa2sinBb

21、2sinAcosBcosA4R4R2sin2AsinB2sin2BsinAcosBcosAsinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B 或 2A2BAB 或 AB.2ABC 为等腰三角形或直角三角形6、解 cosB2cos2B1，325 4故 B 为锐角，sinB.53B所以 sinAsin(BC)sin4.7210asinC10由正弦定理得 c，sinA7111048所以 SABCacsinB2.227577、解 a23，b6，ab，A30bsinA，所以本题有两解，由正弦定理得：bsin A6sin 30sin Ba2 33，故 B60或 120.2当 B60时，C90，c

22、a2b243；当 B120时，C30，ca23.所以 B60，C90，c43 或 B120，C30，c23.8、解a，bcsinAsinBsinC2 2asin B2 2sin 45bsin Asin 3012224.C180(AB)180(3045)105，22sin75asinC22sin105c223.1sinAsin30239、解(1)由 cos B，得 sin B14由 b2ac 及正弦定理得 sin2Bsin Asin C.11cos Acos C于是tan Atan Csin Asin Csin Ccos Acos Csin AsinAC3427.4sin Asin Csin B

23、2sin B 1 4 7sin2Bsin B7.3(2)由BABC=2得 cacosB =3由 cos B ，可得 ca2，即 b22.432由余弦定理：b2a2c22accosB，得 a2c2b22accosB5，(ac)2a2c22ac549，ac3.10、解（1）ABBC21，BABC=21.BABC=|BA|BC|cosB=accosB=21.34ac=35，cosB=，sinB=.55 114SABC=acsinB=35=14.225(2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accosB32，cbb42.由正弦定理：.sinCsinBc425sinCsinB.b4252

24、c0，且 0B，54sinB1cos2B.5由正弦定理得 absinAsinB，42asinB25sinA.b54114(2)SABCacsinB4，2c4，225 c5.3由余弦定理得 b2a2c22accosB225222517，b17.545、解设我艇追上走私船所需时间为 t 小时，则BC10t，AC14t，在ABC 中，由ABC18045105120，根据余弦定理知：(14t)2(10t)212221210tcos120，t2.答我艇追上走私船所需的时间为 2 小时46、解：（I）由题意及正弦定理，得ABBCAC21，BCAC2AB，两式相减，得AB111（II）由ABC的面积BCAC

25、sinCsinC，得261BCAC，3ACBC22由余弦定理，得cosC2ACBCAB2(ACBC)22ACBCAB22ACBC12所以C6047、解作出一元二次方程组1xy51xy3所表示的平面区域(如图)即可行域2121考虑 z2x3y，把它变形为 yxz，得到斜率为，且随 z 变化的一族平行直线，z 是直线在 y3333轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数 z2x3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数 z2x3y 取得最大值由图可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最小解方程组xy1xy5，得 A 的坐标为(2,3)所以 z

26、min2x3y22335.解方程组xy3xy1，得 B 的坐标为(2，1)，所以 zmax2x3y223(1)7.2x3y 的取值范围是5,748、解需要测量的数据有：A 点到 M、N 点的俯角1、1；B 点到 M、N 点的俯角2、2；A、B 的距离 d(如图所示)dsin2第一步：计算 AM，由正弦定理 AM；sin12dsin2第二步：计算 AN.由正弦定理 AN；sin21第三步：计算 MN，由余弦定理MNAM2AN22AMANcos11.49、解(1)在POC 中，由余弦定理，得 PC2OP2OC22OPOCcos54cos， 所以 ySOPCSPCD1312sin(54cos)245

27、32sin3.4553(2)当，即时，ymax2.326453答四边形 OPDC 面积的最大值为 2.450、解(1)a2bsinA，sinA2sinBsinA，1sinB.0B，B30.22(2)a33，c5，B30. 由余弦定理 b2a2c22accosB (33)2522335cos307.b7.51、解在ACD 中，DAC，由正弦定理，得 ACsinsin，DCasinACsinasinsinABAEEBACsinhh.sin52、解设 BDx，在ABD 中，由余弦定理有AB2AD2BD22ADBDcosADB，即 142x210220 xcos60，x210 x960，x16(x6

28、舍去)，即 BD16.BCBD在BCD 中，由正弦定理，sinCDBsinBCD16sin30BC82.sin13553、解(1)cos2C12sin2C1，0C，410sinC.4ac(2)当 a2,2sinAsinC 时，由正弦定理，sinAsinC得 c4.1由 cos2C2cos2C1及 0C0)， 解得 b6 或 26，b 6，c4或b2 6，c4.54、解(1)设这三个数为 n，n1，n2，最大角为，n2n12n22则 cos0，2nn1化简得：n22n301nn2，n2.49161cos.2234(2)设此平行四边形的一边长为 a，则夹角的另一边长为 4a，平行四边形的面积为：S

29、a(4a)sin 154(4aa2)154(a2)2415.当且仅当 a2 时，Smax15.55、解(1)BCD9060150，CBACCD，CBE15.cosCBEcos(4530)6 2.4(2)在ABE 中，AB2，AEAB由正弦定理得，sinABEsinAEBAE2即，sin4515sin90152sin 30故 AEcos 15122 6 2.6 2456、解(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图所示，设小艇与轮船在 C 处相遇在 RtOAC 中，OC20cos30103，AC20sin3010.又 AC30t，OCvt.101此时

30、，轮船航行时间 t，303103v303.13即小艇以 303 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图所示，设小艇与轮船在 B 处相遇由题意，可得(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，400600化简，得 v2900t2t 13400()2675.t411由于 04 的解集为x|xb，所以 x11 与 x2b 是方程 ax23x20 的两个实数根，且 b1.31b ，a由根与系数的关系，得21b .a解得a1，b2.所以 a1，b2.(2)所以不等式 ax2(acb)xbc0，即 x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2 时，不等式(x2)(xc)0 的

31、解集为x|2xc；当 c2 时，不等式(x2)(xc)0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式(x2)(xc)2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|2xc；当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为 .61、解(1)an是首项为 a119，公差为 d2 的等差数列，an192(n1)212n，1Sn19nn(n1)(2)20nn2.2(2)由题意得 bnan3n1，即 bnan3n1，bn3n12n21，3n1TnSn(133n1)n220n.262、(1)证明mn，asinAbsinB，ab

32、即 ab，2R2R其中 R 是ABC 外接圆半径，ab.ABC 为等腰三角形(2)解由题意知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40. ab4(舍去 ab1)，11SABCabsinC4sin3.22363、解CPOB，CPOPOB60，OCP120.OPCP在POC 中，由正弦定理得，sinPCOsin2CP，CPsin.4sin120sin3OC24又，OCsin(60)sin60sin1203因此POC 的面积为1S()CPOCsin12021sin sin(60)442334sin sin(60)3324si

33、n 331cos sin222sin cos 2sin233sin 2cos 2322 33sin6 3333 时，S()取得最大值为63.364、（1）由余弦定理得cosacb1222B，且0B，2ac2B3（2）将c3a代入a2c2b2ac，得b7a，由余弦定理得cosBa2c22acb25 7140A,sin A1cos2A2114sin Atan Acos A3565、解(1)由余弦定理及已知条件得a2b2ab4.又因为ABC 的面积等于 3，1所以 absin C 3，由此得 ab4.2a2b2ab4，联立方程组解得ab4，(2)由正弦定理及已知条件得 b2a.a2，b2.23a，3a2b2ab4， 联立方程组解得43b2a，b.3123所以ABC 的面积 SabsinC.2366、解由(abc)(bca)3bc，得 b22bcc2a23bc，b2c2a2bc1 即a2b2c2bc，cosA，2bc2bc2 A.3a2b2c2a2b2c2又 sinA2sinBcosCa2b，2aba b2c2，bc，ABC 为等边三角形