厦门市2021-2022高三上学期数学期末质量检测试卷及答案.pdf

1、书书书数学试题 第?页?共?页?保密?启用前准考证号姓名?在此卷上答题无效?福建省四地市 ? 届高中毕业班第一次质量检测数学试题? ?本试卷共?页?考试时间?分钟?总分?分?注意事项?答卷前?考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上?回答选择题时?选出每小题答案后?用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改动?用橡皮擦干净后?再选涂其他答案标号?回答非选择题时?将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效?考试结束后?将本试卷和答题卡一并交回?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?已知? ?若集合? ? ? ? ?则? ?是? ? ?

2、的? ?充分不必要条件? ?必要不充分条件? ?充要条件? ?既不充分也不必要条件?直线? ? ? ? ? ? ?经过第一?二?四象限?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知向量? ?夹角为? ?且? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?则? ? ?槡? ? ? ? ? ?互不重合的直线? ? ?互不重合的平面? ? ? ? ?下列四个命题?错误的?命题是? ?若? ? ? ? ? ? ? ?则? ?若? ? ? ? ? ?则? ?若? ? ? ? ? ? ?则? ?若? ? ? ?则?函数? ? ? ? ?的图象大致是数学试

3、题 第?页?共?页?某学生在?捡起树叶树枝?净化校园环境?的志愿活动中拾到了三支小树枝?视为三条线段?想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形?经测量?其长度分别为? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ?能作出一个锐角三角形? ?能作出一个直角三角形? ?能作出一个钝角三角形? ?不能作出这样的三角形?已知? ? ? ? ? ?且? ? ? ? ? ?则? ? ?的最小值为? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ?已知点? ?分别是椭圆? ? ? ? ? ? ?的左?右焦点?过?的直线交椭圆于? ? ?两点?且满足? ? ? ? ? ? ? ? ?则该椭圆的离心率是? ? ?槡? ?槡?

4、 ?槡?二?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得?分?有选错的得?分?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ?与函数? ? ? ? ? ? ? ?的图象的对称轴相同?则? ?的值可以为? ?的值可以为? ?函数? ? ?的单调递增区间为? ? ? ? ? ? ?函数? ? ?的所有零点的集合为? ? ? ?已知随机事件? ? ?发生的概率分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?下列说法正确的有? ?若? ? ? ? ? ? ?则? ? ?相互独立? ?若? ? ?相互独立?则? ? ? ? ?

5、? ? ? ?若? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ?若? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ?数学试题 第?页?共?页?下图为陕西博物馆收藏的国宝? ? ?唐金筐宝钿团花纹金杯?杯身曲线内收?巧夺天工?是唐代金银细作的典范?该杯的主体部分可以近似看作是双曲线? ? ? ? ? ? ? ?的右支与直线? ? ? ? ? ? ? ? ?围成的曲边四边形? ? ? ?绕?轴旋转一周得到的几何体?若该金杯主体部分的上口外直径为槡? ?下底外直径为槡? ?双曲线?的左右顶点分别为? ? ? ?则? ?双曲线?的方程为? ? ?双曲线? ? ?与双曲线?有相同的渐近线? ?存在

6、一点?使过该点的任意直线与双曲线?都有两个交点? ?双曲线?上存在无数个点?使它与? ? ?两点的连线的斜率之积为?已知函数? ? ? ? ? ? ?令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ?当? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? ?函数? ? ?在区间?上单调递增? ? ? ? ?中最大的是? ? ? ? ?中最小的是?三?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?复数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ?若二项式?槡?的展开式中含有非零常数项?则正整数?的最小值是?意大利数学家斐波那契的?算

7、经?中记载了一个有趣的数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若从该数列的前?项中随机地抽取一个数?则这个数是奇数的概率为?已知? ? ? ? ? ? ?是体积为槡? ?的球体表面上四点?若? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?且三棱锥? ? ? ?的体积为槡? ?则线段? ?长度的最大值为?数学试题 第?页?共?页?四?解答题?本题共?小题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?本小题满分?分?在下列条件? ?数列?的任意相邻两项均不相等? ? ?且数列? ?为常数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?中?任选一个条件?补充在横线上?并回答下面问题?已知数列

8、?的前?项和为?求数列?的通项公式与前?项和?本小题满分?分?在? ? ?中?角? ? ? ? ?对应的边分别是? ? ? ? ?已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求? ?若? ? ?的面积?槡? ? ? ? ? ?求? ? ? ? ? ?的值?本小题满分?分?如图?在三棱柱? ? ? ?中? ? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求证? ? ?平面? ?记?和? ?的交点为?点?在线段?上?满足? ? ?平面? ? ?求直线? ?与平面? ?所成角的正弦值?本小题满分?分?某次围棋比赛的决赛?由甲乙两人争夺最后的冠军?决赛先进行两天?每天实行三盘

9、两胜制?即先赢两盘者获得该天胜利?此时该天比赛结束?若甲乙中的一方能连续两天胜利?则其为最终冠军?若前两天双方各赢一天?则第三天只进行一盘附加赛?该附加赛的获胜方为最终冠军?设每盘比赛甲获胜的概率为? ? ? ? ?每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立?记第一天需要进行的比赛盘数为? ?求? ? ?并求当? ?取最大值时?的值?结合实际?谈谈?中结论的意义?当? ?时?记总共进行的比赛盘数为? ?求? ? ?本小题满分?分?设点? ?动圆经过点?且和直线? ? ?相切?记动圆的圆心?的轨迹为曲线? ?求曲线?的方程?过点?的直线交曲线?于? ? ?两点?另一条与直线? ?平行的直线交?轴于点?

10、交?轴于点? ?若? ? ?是以点?为直角顶点的等腰直角三角形?求点?的横坐标?本小题满分?分?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中? ? ?当? ? ?时?求曲线? ? ? ? ?在点? ? ? ? ? ? ?处的切线方程?若对任意? ? ? ? ? ?有? ? ?恒成立?求实数?的取值范围?福建省四福建省四地市地市20222022 届届高中毕业班第一次质量检测高中毕业班第一次质量检测 数学试卷数学试卷参考参考答案答案与与评分评分 一一、选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。 1 1- -4 4：B

11、C A D 5-8：B C D B 二二、选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 9 9. .BC 10.ABC 11.ABD 12.AC 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13. 1 14. 7 15. 23 16. 3 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题小题，共，共 7070 分分. . 17.17.（1 10 0 分分） 解：选：因为12a =，数列2nnaa为常数列，所以12221222nnaaaa=，解得2na =或1na

12、 = ，又因为数列 na的任意相邻两项均不相等，且12a =， - 2 分 所以数列 na为2, 1,2, 1,2, 1， - 5 分 所以()112,nnaannN+=，即()112nnaan+=， 所以()111222nnaan= ，又113022a =， 所以12na是以32为首项，公比为1的等比数列，所以()113122nna=，即()113122nna=+； - 7 分 所以()()()1111133321142214nnnSnn +=+ . - 10 分 法 2：分奇偶表示通项，分奇偶讨论求和. 选：因为()()112nnSannN=+，易知32a =，()()1111 122nn

13、Sann=+ +， 所以两式相减可得1111222nnnaaa=+，即()112nnaan+=， - 5 分 以下过程与相同； 选：由121nnSS+=，可得112(1)nnSS+ =+， - 2 分 又111Sa=，故1nS +是以112S + =为首项，2 为公比的等比数列， - 4 分 故112 2nnS+ =，即21nnS =. - 6 分 当2n 时，112nnnnaSS=， - 9 分 又11a =也满足上式. 综上所述：12nna=，21nnS =. - 10 分 18.（12 分） 解:（）由已知条件()cos23cos1BAC=+，22cos3cos20BB+=, - 2 分

14、 解得1cos2B =或cos2B = (舍), - 4 分 故3B=. - 6 分 （）1sin5 32SacB=，由10a =，得2c =. - 8 分 由余弦定理2222cos84bacacB=+= - 10 分 由正弦定理sinsinsinabcABC=，可得：225sinsinsin28acACBb=. - 12 分 19.（12 分） （） 证明： 在三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC， 因为BC 平面ABC， 故1BBBC，同理111BBAB.因为112AACABC=，故四边形11B BCC为菱形，故11BCBC. - 2 分 因为ABBC，故1111ABBC，111

15、1BBBCB=，11AB 平面11BCC B， 1BC 平面11BCC B，111ABBC， - 5 分 1111ABBCB=，1BC 平面11A BC. - 6 分 （）解：由MN平面11A ACC，MN 平面11BAC，平面11BAC平面11A ACC11AC=， 故MN11AC，又 M 为1BC中点，故 N 为1BA中点. - 7 分 以 B 为坐标原点，1,BC BA BB的方向为正方向建立空间直角坐标系. 则(0,1,1)N,1(2,0,2)C,(0,0,0)B,1(0,2,2)A,(2,0,0)C - 8 分 (2,0,0)BC =,1(0,2,2)BA =,设平面1ABC的法向量

16、( , , )mx y z=， 由100BC mBA m=，得20220 xyz=+=，取011xyz= =，(0, 1,1)m =. - 10 分 又1(2, 1,1)NC =,设直线1NC与平面1ABC所成的角大小为， 则111|23sin|cos,|3| |62NC mNC mNCm=. 即直线1NC与平面1ABC所成角的正弦值为33. - 12 分 20.（12 分） 解： （） （i）X 可能取值为 2，3， 222(2)(1)221P Xpppp=+=+； 2(3)2 (1)22P Xpppp= + - 2 分 故2222(221)3( 22 )222EXpppppp=+= + -

17、 3 分 即2152()22EXp= +，则当12p =时，EX取得最大值. - 4 分 (ii)结合实际，当12p =时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多. - 5 分 （）当12p =时，双方前两天的比分为 2：0 或 0：2 的概率均为111=224；比分为 2：1 或 1：2 的概率均为11112=2224. - 7 分 5Y 则4Y =或=5Y. 4Y =即获胜方两天均为 2：0 获胜， 故111(4)2448P Y =； - 9 分 5Y =即获胜方前两天的比分为 2：0 和 2：1 或者 2：0 和 0：2 再加附加赛， 故111113(5)2 (22)44

18、4428P Y = + =- 11 分 所以131(5)(4)(5)=+=882P YP YP Y=+= - 12 分 21. （12 分） 解： （）由题意，点 P 到点 F 的距离等于到直线1x = 的距离，所以点 P 的轨迹是以(1,0)F为焦点，直线1x = 为准线的抛物线，曲线 E 的方程是24yx= . - 3 分 （）显然，直线 AB 不与 x 轴重合，设直线 AB 的方程为1xmy=+， 与 E 联立得：2440ymy= 设1122( ,), (,)A x yB xy，则121244yymy y+= ， 则1222yym+=，2121212yymm+ =+， - 5 分 即 A

19、B 中点 C 坐标为2(21,2 )mm+， 21212| (1)(1)()444ABxxm yym=+=+=+. - 7 分 由题意，NCAB，过 C 作与 AB 垂直的直线，其方程为2(21)2ym xmm= +， 令0 x =，得323ymm=+，故点 N 坐标为3(0,23 )mm+ 又21| 222NCABm=+， - 9 分 故2221(21)22mmm+=+， - 10 分 令21mt+=，则22(21)2ttt=，由1t ，解得132t+=， 即21312m+=，解得232m =. - 11 分 又直线 MN 的方程为3123yxmmm=+， 令0y =，得到点 M 横坐标为4

20、23(13)232Mxmm+= =. - 12 分 22. （12 分） 解： （）0 x =时，2( )(2)22xf xexx= 2( )(2) 22xxfxexex= +， - 1 分 ( 1)2(2)232feee= = +，( 1)2fe=， 故所求切线方程为( 32)(1)2yexe= + ， 整理得：(32)20exye+=. - 4 分 （）由题意，( 1)(2)(1)0fek= +，解得：1k ， (0)20fk=，解得：2k ，故必须满足12k，- 6 分 下面证明充分性： 若12k， 当1ln2x 时，此时20 xe，22( )(2)(1)22(2)(1)2(1)xxf xexxexx=+ 此时20 xe，210 x ，2(1)0 x+， 故2(2)(1)2(1)0 xexx+，满足( )0f x . - 8 分 当ln2x 时，此时20 xe， 2( )(2)(2)222(2)22xxf xexxex ， 令( )2(2)22222xxg xexex= = +，- 9 分 则( )22xg xe=，令( )0g x =，得0 x =，故ln20 x时，( )0g x ，( )g x单调递增；0 x 时，( )0g x ，( )g x单调递减； 所以，( )(0)0g xg=，满足( )0f x . - 11 分 综上所述，12k. - 12 分