现代导航与制导课件：2 导航的数学基础V1.1.ppt

1、第二章 导航的数学基础2 导航的数学基础 重点：重点：l飞行器常用的坐标系及坐标转换；l时间统一系统；l空间飞行器位置参数的几何定义；l地球表面形态描述方法及地球重力场模型描述方法；l最优线性滤波理论与方法。难点：难点：l最优线性滤波理论与方法。 2.1 空间坐标系统与转换 去月球探测涉及八种空间坐标系统的转换：地球地理坐标系、地心惯性坐标系、地心地固坐标系、载体坐标系、地心月心旋转坐标系、月心惯性坐标系、月心月固坐标系，月球地理坐标系。脑筋急转弯神秘的魔镜镜子为什么能改变左右，而不能改变上下？旅游攻略成都 vs 北京在成都指路论左右，北京指路辨南北描述运动的三种空间坐标系：描述目标运动，即目

2、标坐标系目标坐标系。运动所参照的坐标系，即参考坐标系参考坐标系。用于表现运动的坐标轴组成的坐标系，记作投影坐标系投影坐标系。l 目标坐标系与参考坐标系不能相同，否则将不存在运动l 投影坐标系可以可能是目标坐标系或参考坐标系，也可能是其它坐标系。用以下符号表示笛卡尔位置、速度、加速度和角速度：式中：x在坐标系中描述了坐标系相对于坐标系的运动学特性。在对姿态的描述中，可不用投影坐标系。x2.1 空间坐标系与转换 任何导航问题至少包括两个坐标系：一个目标坐标系和一个参考坐标系。目标坐标系描述待求载体的位置或方向，而参考坐标系描述已知物体，如地球。目标相对于参考坐标系的位置和/或方向是待求的。通常情况

3、下，导航问题涉及的参考坐标系不止一个，甚至目标坐标系也不止一个。2.1 空间坐标系与转换 坐标系的定义有两种方式：一种定义是用来描述物体运动的一个原点和一组轴系（如参考系）；另一种定义是用来描述物体的位置和姿态。这两种定义方式可以互相转换。2.1.1 坐标系 物理学上，惯性坐标系是指相对于宇宙的其他部分而言没有加速度和转动的坐标系。在导航中，常用的是一个专门的惯性坐标系地心惯性坐标系。其定义为： 2.1 空间坐标系与转换 图2.1 地心惯性坐标系的坐标轴地心惯性坐标系以地球质心为坐标原点，X轴指向春分点，Z轴指向北极，Y轴和X轴、Z轴构成右手坐标系。坐标轴如图2.1所示。2.1 空间坐标系与转

4、换l原点在地心，基准面是赤道面，X轴从地心指向春分点，Z轴指向北极。l此坐标系不固定在地球上，也不跟随地球转动。l相对于恒星是不转动的，地球相对于该坐标系旋转。根据春分点的不同春分点的不同，又可定义：历元平赤道地心系（地心天球历元平赤道地心系（地心天球坐标系）坐标系）、瞬时平赤道地心系瞬时平赤道地心系和瞬时真赤道地心系瞬时真赤道地心系。后两者随时间变化，对于描述卫星的长久的运动不方便，因此常用常用历元平赤道地心系历元平赤道地心系描述卫星运动描述卫星运动。目前历元地心赤道坐标系采用J2000.0惯性坐标系，平春分点历元为2000年1月1.5日。2.1 空间坐标系与转换由于地球自转轴的移动，极点的

5、波动范围大概在一个半径为15m的圆内，所以当需要精确定义一个坐标系时，必须考虑地球极点的运动。采用IERS（国际地球自转与参考系统服务）参考极点（IERS Reference Pole，IRP）或者协议地极（Convention Terrestrial Pole，CTP），CTP是在1900年到1905年间测量的极点平均位置。协议惯性参考系：地心惯性坐标系以地球质心为原点，采用IRP或CTP，并以春分时地球太阳轴为x轴。由于惯性传感器测量的是相对于一般惯性坐标系的运动，因此惯性坐标系在导航中非常重要。 地心地固坐标系以地球质心为坐标原点，X轴指向赤道与本初子午线的交点，Z轴沿着地球自转轴从地心

6、指向北极点，Y轴与X轴、Z轴构成右手坐标系。它的所有坐标轴与地球固连，随着地球一起旋转。坐标轴如图2.2所示。2.1 空间坐标系与转换图2.2 地心地固坐标系的坐标轴2.1 空间坐标系与转换l以地球质心为坐标原点，基本面为地球的赤道面，X轴指向赤道面与本初子午线面的交点，Z轴指向地极，右手坐标系。l它的所有坐标轴与地球固连，随着地球一起旋转。由于地球自转轴与地球短轴不重合，地球自转轴会在地球内部绕行，周期305天，称为极移极移。由于极移的作用，使得地球极点相对于地球本身是在变化的。因此，定义：l基于平赤道和国际协议原点（CIO，由极移给出）所建立的右手地球坐标系称为协议地球坐标系协议地球坐标系

7、（CTS）或地固坐标系地固坐标系；l而以瞬时自转轴定义的坐标系称为准地固坐标系准地固坐标系。地固坐标系随地球一起自转，便于描述卫星的对地覆盖、描述地球重力场，对卫星的观测仿真。2.1 空间坐标系与转换l主要用于GPS导航系统l坐标原点为地球的质量中心，ZWGS84轴平行于国际时间局BIH 1984.0时元定义的协议地球极轴方向，XWGS84轴指向国际时间局BIH 1984.0时元定义的零子午面和国际时间局BIH 1984.0时元定义的协议地球赤道的交点，YWGS84轴垂直于XWGS84轴构成右手系。2.1 空间坐标系与转换l 基本平面：大地参考椭球面l 坐标描述：大地经度L、大地纬度B、大地高

8、度h。l 主要用于描述地面站点的位置。2.1 空间坐标系与转换 当地导航坐标系也称当地水平导航坐标系、测地坐标系或地理坐标系。其原点是导航对象上的一点（即导航系统、用户或载体的质心）。定义Z轴为参考椭球体的法线方向，大致指向地心，X轴或北向（North，N）轴，在垂直于Z轴的平面内，从用户指向北极的方向，由此得到的正交系，Y轴总是指向东方，因此又称作东向（East，E）轴。坐标轴如图2.3所示。图2.3 当地导航坐标系的坐标轴2.1 空间坐标系与转换l 以观测站站心为原点，与观测站的铅垂线垂直的大地水准面为参考平面，x轴指向北，z轴指向天顶，y轴完成右手系。l 主要用于飞机着陆、地面导航等。2

9、.1 空间坐标系与转换l 坐标原点与发射点o固连，x轴在发射点水平面发射点水平面内，指向发发射瞄准方向射瞄准方向，y轴垂直于发射点水平面指向上方，z轴完成右手系。l 主要用于利用该坐标系可建立火箭相对于地面的运动方程，便于描述火箭相对大气运动所受到的所用力。l 图中，A0为发射方位角。2.1 空间坐标系与转换 载体坐标系的原点与载体的质心重合，坐标轴与载体固连，通常定义X=前向（即正常航行的方向），Z=地向（即向下方向），Y=右向，并由三个坐标轴组成正交坐标系。对于角运动来说，X轴方向为滚动轴，Y轴方向为俯仰轴，而Z轴方向为偏航轴。坐标轴如图2.4所示。图2.4 载体坐标系的坐标轴2.1 空间

10、坐标系与转换原点与载体的质心重合，坐标轴与载体固连，通常定义X轴指向运动方向（前向），Z轴指向地心（下），Y轴完成右手系（右向），并由三个坐标轴组成正交坐标系。对于角运动来说，X轴方向为滚动轴滚动轴，Y轴方向为俯仰轴俯仰轴，而Z轴方向为偏航轴偏航轴。2.1 空间坐标系与转换l 坐标原点为卫星质心，x轴在轨道面内指向卫星的运动方向，z轴指向地心，y轴完成右手系。l 主要用于描述某空间目标相对于卫星的位置，如空间交会对接。2.1 空间坐标系与转换历元（历元（J2000.0）月心平赤道坐标系）月心平赤道坐标系 ：月球质心为坐标原点，xy平面取历元平赤道面， x轴方向即历元平春分点方向。用于研究月球探

11、测器空间运动。月固坐标系月固坐标系：月球质心为坐标原点，XY平面为月球的真赤道面，Z方向是真赤道面与过月面上的Sinus Medii子午面的交线方向。用于建立月球引力场模型。月心天球坐标系月心天球坐标系：月球质心为坐标原点，xeye平面为地球平赤道面（对应同一历元J2000.0），xe方向即历元平春分点方向。该坐标系与地心天球坐标系完全对应，所不同的只是坐标系原点由地心移至月心。2.1 空间坐标系与转换 原点在地月系质心O，xy平面为地球和月球的相对运动平面，x轴指向月心，z轴指向瞬时月球轨道角动量方向，y轴构成右手直角坐标系。 主要用于描述处于地月空间中的航天器的运动。2.1 空间坐标系与转

12、换 原点在地月平动点Lj（j=1，2）处，轴方向为由地球指向月球的方向， 轴方向为白道面（月球运动的轨道平面）的法线方向，轴完成右手系。 主要用于描述处于地月平动点轨道中的航天器的运动。jL2.1 空间坐标系统与转换 去月亮上到兔子家里吃月饼需要走很长很长的一段路涉及八种空间坐标系统的转换：地球地理坐标系、地心惯性坐标系、地心地固坐标系、载体坐标系、地心月心旋转坐标系、月心惯性坐标系、月心月固坐标系，月球地理坐标系。2.1 空间坐标系与转换B-L坐标是C.E.McIlwain于1961年为描述辐射带粒子强度分布而引入的一种磁层坐标系。辐射带中的带电粒子是被地磁场捕获的，它们沿磁力线振动的同时，

13、还围绕地球作漂移运动，在一条磁力线上各点粒子强度由该点的磁场强度B确定。粒子的漂移面是由磁力线组成的,长时间漂移的结果,使组成同一漂移面的各条磁力线上的粒子以同样强度沿磁力线分布,因此带电粒子强度可以用磁场强度B和标志各漂移面的参数L来描述,此即为B-L坐标系。磁场强度B以高斯为单位,漂移面参数L以地球半径为单位。2.1 空间坐标系与转换l.B-L坐标（物理磁层坐标）a.粒子捕获粒子捕获b.偶极磁场的偶极磁场的B-L坐标坐标2.1 空间坐标系与转换l.B-L坐标（物理磁层坐标）B-L坐标的转换应用例子坐标的转换应用例子-地球辐射带可视化：地球辐射带可视化：需要将将平面地理坐标（经度纬度）转到需

14、要将将平面地理坐标（经度纬度）转到B-L坐标下进行辐射坐标下进行辐射带的模型计算，计算完成后将平面地理坐标的值转到带的模型计算，计算完成后将平面地理坐标的值转到GEO坐标坐标下，完成辐射带的可视化。下，完成辐射带的可视化。平面地理坐标到平面地理坐标到B-L坐标的转换是通过：平面地理坐标坐标的转换是通过：平面地理坐标-平面平面地磁坐标地磁坐标-B-L坐标来完成的。坐标来完成的。 2.1 空间坐标系与转换平面地理坐标-平面地磁坐标：000coscoscossinsincos() 平面地磁坐标-B-L坐标的转换 ：3202()1 3sin1cosERBBrL030.311653BL其中 ：2.1 空

15、间坐标系与转换模型计算部分是根据输入的L、E、B/B0来计算，而E是通过L和B/B0的插值查询从表中得到，所以我们便可以计算出AP8/AE8模型对应平面地理坐标下的值，再将其转到GEO坐标（圆心在地心，X指向0经度，Z指向地理北极，右手准则确定Y）下，最后得到平面和三维的可视化结果： 其他坐标系：其他坐标系：2.1 空间坐标系与转换游动方位坐标系（wander azimuth frame），用符号表示。它的原点和z轴与当地导航坐标系一致，而x轴和y轴从北向和东向转了一个角度n或，即游动方位角，该角度随着坐标系相对地球的移动而变化。这一坐标系普遍用于惯性导航算法的机械编排。地心坐标系（geoce

16、ntric frame），用符号c表示。它的定义域当地导航坐标系类似，只不过地心坐标系的z轴从原点指向地球的中心（当地导航系的z轴是椭球面的法线方向）。X轴同样是指向北极的直线在z轴垂面内的投影。切平面坐标系（tangent plane frame），用符号t表示，又称当地测地坐标系。除了原点固连在地球上而非导航载体之外，其他定义与当地导航坐标系类似。该坐标系用于区域导航中，如航空器着陆。2.1 空间坐标系统与转换 去月亮上到兔子家里吃月饼需要走很长很长的一段路涉及八种空间坐标系统的转换：地球地理坐标系、地心惯性坐标系、地心地固坐标系、载体坐标系、地心月心旋转坐标系、月心惯性坐标系、月心月固坐

17、标系，月球地理坐标系。2.1.2 坐标系变换 以同一坐标系为参考，笛卡儿位置、速度、加速度和角速度在投影轴系之间的转换，只需使用坐标转换矩阵式：2.1 空间坐标系与转换, , , , ,xC xxr v ai e n b 包含载体的坐标系的坐标系转换矩阵为, ,bbCCi e n 它描述了载体坐标系相对于一个参考系的姿态。获取载体相对于一个新的参考系的姿态，仅需要乘以两个参考坐标系之间坐标转换矩阵：, ,bbbbCC CCC Ci e n 下面介绍导航中常用坐标系之间的转换。式中：i-地心惯性坐标系；e-地心地固坐标系；n-当地导航坐标系；b-载体坐标系。（2.1）（2.2）2.1 空间坐标系

18、与转换2.1.2 坐标系变换坐标系变换（1）地心坐标系系统相互之间的转换2.1 空间坐标系与转换2.1.2 坐标系变换坐标系变换其中，PR为岁差矩阵岁差矩阵，NR为章动矩阵章动矩阵，ER为地球自转矩阵地球自转矩阵，EP为极移矩阵极移矩阵，HG为由历元平赤道地心系到地固系的旋转矩阵，GR为岁差章动矩阵。 HGEPERNRPREPER GR GRNRPR（2）惯性系和地球系间转换 ECI坐标系和ECEF坐标系的原点及Z-轴都是相同的，而X-轴和Y-轴在t0时刻是一致的，且ECEF系以ie的角速度绕Z-轴旋转，因此有0000cossin0sincos0001ieieeiieiettttCtttt 0

19、000cossin0sincos0001ieieieieiettttCtttt2.1 空间坐标系与转换（2.3） 以这两个坐标系为参考的位置是一样的，只有投影轴系需要转换：,eeiiieebiibibe ebrC rrC r 速度和加速度的转换：22eeiiiebiibie ibiieeeibeebie ebeeiiiiiiebiibie ibieie ibiieeeeeeibeebieebieie ebvCvrvCvraCavraCavr 2.1 空间坐标系与转换 角速度转换为000,0eeiiieebiibibeebieieCC2.1 空间坐标系与转换（3）地球系和当地导航坐标系间转换 地

20、球坐标系和当地导航坐标系的相对姿态是由其相应的载体坐标系的地理纬度Lb和经度b决定的，载体坐标系的原点与相应的当地导航坐标系的原点是重合的：sincossinsincossincos0coscoscossinsinsincossincoscossinsincoscossincos0sinbbbbbnebbbbbbbbbbbbnebbbbbbbLLLCLLLLLCLLLL 2.1 空间坐标系与转换（2.4） 以当地导航坐标系为参考坐标系的位置、速度和加速度是无意义的，因为载体坐标系的原点和当地导航坐标系的原点是重合的。以地球为参考的位置、速度和加速度的投影坐标系转换采用式（2.1）。 角速度的转

21、换公式为,nneeneneennnbeebeneebenebnnbenCCC2.1 空间坐标系与转换（4）惯性系和当地导航坐标系间转换000000sincossinsincossincos0coscoscossinsinbbiebbiebnibiebiebbiebbiebLttLttLCttttLttLttL000000sincossincoscossinsincoscossincos0sinbbiebiebbieinbbiebiebbiebbLttttLttCLttttLttLL 惯性系和当地导航坐标系的坐标转换矩阵由式（2.3）和式（2.4）相乘得到：2.1 空间坐标系与转换 以地球为参考

22、的速度和加速度，在当地导航系与惯性系之间的相互转换关系如下：nniiiebiibib ibiinieeibnebeie ebvCvrvC vCr22nniiiiieebiibie ibieie ibiinnnieeeibnebieebeieie ebaCavraCavCr 角速度的转换为nniiniinnbiibiniibieenCCiinninniibnnbinnnbenieCC2.1 空间坐标系与转换2.1 空间坐标系与转换（5）地固坐标系和测站坐标系的转换其中， ，rb和Rb分别为某目标和测站在地固坐标系中的位置矢量，L和B分别为测站的大地经度和大地纬度。bbM rRsincos0cos

23、sinsinsincoscoscossincossinLLLBLBBLBLBB M2.1 空间坐标系与转换（6）大地坐标系和地固坐标系的转换式中： 为改点的卯酉圈曲率半径，RE为地球赤道半径，e为地球偏心率。2coscoscossin1sinXNHBLYNHBLZNeHB221sinERNeB2.1 空间坐标系与转换（7）J2000.0惯性系和卫星轨道坐标系的转换式中，G为从卫星轨道坐标系到J2000.0惯性系的转换矩阵：G(i,3)、G(j,2) 、G(k,1)分别表示矩阵G的第3列、第2列、第1列； 卫星在惯性系中的位置矢量和速度矢量；r某目标在惯性系中的位置矢量；某目标在轨道坐标系中的位

24、置矢量。TsGrr,3ssi Grr,2ssssj Grrrr,1,2,3kjiGGG,ssr r （8）导航结果的转换 设定坐标系B相对坐标系b的姿态为 ，坐标系B相对于坐标系b的位置在坐标系b中表示为 ，称之为杆臂或力矩臂。当B为目标坐标系，b为参考和投影坐标系时的笛卡儿位置与杠臂在数学上是相等的，如图2.5所示。 有时需要将导航结果从载体的一个位置转换到另一个位置，例如，在INS和GPS天线之间，在INS和载体重心之间，或者在一个参考系和一个正处于对准状态INS之间，都可能相互转换。下面给出将描述坐标系b的速度、位置和姿态转换到描述坐标系B的方程。BbCbbBl2.1 空间坐标系与转换直

25、接进行姿态转换，可得BBbbCC CbBbBCC C2.1 空间坐标系与转换图2.5 坐标系b到坐标系B的杆臂 笛卡儿位置的转换可采用如下公式：bBbb bBrrC l 纬度、经度和高度的精确转换需要转换到笛卡儿位置，然后再逆变换回来。然而，如果小角度的近似值为1/R，其中R是地球半径，可以使用一种更简单的方式进行转换：1/0001/()cos0001NbbBbn bBbEbbbb bBBbRLhLLRLhLC lhh 最后，通过微分式（2.5），再将其带入式（2.13）可以得到速度的变换：bBbbbBvvC C l2.1 空间坐标系与转换（2.5）2.1.3 坐标转换矩阵坐标转换矩阵 坐标转

26、换矩阵坐标转换矩阵是一个 的矩阵，用符号 表示，用于将矢量从一个投影坐标系转换到另一个投影坐标系。其中，下标表示源坐标系，上标表示转换坐标系。坐标转换矩阵的行对应转换坐标系，列对应源坐标系，即3 3CxC x式中：x是任意矢量。当坐标转换矩阵用于表示姿态时，更一般的表示方法是：用上标表示参考坐标系，用下标表示目标坐标系。因此，这个矩阵表示从目标坐标系到参考坐标系的转换，与欧拉角的习惯表示相反。2.1 空间坐标系与转换坐标转换矩阵 的严格定义严格定义：C 坐标转换矩阵各元素可以由两个坐标系的单位矢量点乘得到，分别等于各个相应轴夹角的余弦：,coscoscoscoscoscoscoscoscosx

27、xxayxazxxx ayx azyxyayyazyxyyy azzxzayzazzxzyzzuuuuuuCuuuuuuuuuuuu式中：i表示轴i的单位矢量；i,j表示i轴和j轴的夹角，因此该矩阵常称为方向余弦阵。（2.1）2.1 空间坐标系与转换坐标转换矩阵使用起来较简单。由式（2.1）可知，可以通过矩阵转置来实现旋转变换或坐标变换的逆变换，转置用符号T表示，故TCC通过坐标转换矩阵简单相乘即可实现连续的变换或旋转 ：CCC进行一次转换，然后逆变换一次就定可得到原始矢量或矩阵，故3CCI式中： 表示 的单位矩阵。因此，坐标转换矩阵是正交矩正交矩阵阵。nIn n2.1 空间坐标系与转换2.1

28、.4 姿态描述姿态描述欧拉角欧拉角 欧拉角欧拉角是描述姿态的最直观方法，尤其是在描述载体坐标系相对于对应的当地导航坐标系的运动。姿态被分解为三个连续转动，可将矢量x=（x，y，z）从一个投影坐标系转换到另一个投影坐标系的过程来理解，图2.1表示这种变换所包含的三次转动。图2.1 欧拉角的转动2.1 空间坐标系与转换第一次转动角度是偏航角偏航角，绕坐标系和第一个过渡坐标系共同的z轴旋转。它变换的是矢量在x向和y向的投影分量，z向分量保持不变。得到的结果矢量可在第一个过渡坐标系的各轴上投影，用上标符号表示：cossinsincosxxyyxyzz （2.2）2.1 空间坐标系与转换第二个旋转角为俯

29、仰角俯仰角，绕第一过渡坐标系和第二过渡坐标系共同的y轴旋转。变换矢量在x向和z向的分量，得到的结果矢量在第二过渡坐标系的各轴上投影，用上标符号表示：cossinsincosxxzyyzxz第三个旋转角为滚动角滚动角，绕第二过渡坐标系和坐标系共同的x轴旋转。变换矢量的y向和z向分量，得到的结果矢量在坐标系的各轴上投影：（2.3）2.1 空间坐标系与转换cossinsincosxxyyzzyz 将坐标系到坐标系的欧拉角旋转表示为在使用时，三个旋转角的顺序不能改变。如果按照不同的次序旋转，转换完成后坐标轴的姿态往往不同，即三个欧拉角旋转没有互换性。（2.4）2.1 空间坐标系与转换实现欧拉旋转的逆变

30、换，原先的操作都必须反转，从滚动旋转开始，或者使用不同的变换。当俯仰角为90时，欧拉角变换存在奇异值，这时滚动角和偏航角不能辨识。因为这些问题的存在，姿态计算中很少使用欧拉角。2.1 空间坐标系与转换欧拉角到坐标转换矩阵的转换方法欧拉角到坐标转换矩阵的转换方法：首先把式（2.2）式（2.4）的每次旋转都表示成一个矩阵，然后相乘，第一个矩阵一定要放置在右边，即100cos0sincossin00cossin010sincos00sincossin0cos001coscoscossinsincossincossinsincosCcossincossinsinsinsinsinsincoscosco

31、scossincoscossinsin和（2.5）2.1 空间坐标系与转换cossinsinsincoscossinsincoscossincoscoscossincoscossinsinsinsincossinsinsinsincCoscoscos逆变换为2,33,33,23,31,33,11,21,12,11,1arctan2,arctan2,arcsinarcsinarctan2,arctan2,CCCCCCCCCC 2.1 空间坐标系与转换 当用坐标转换矩阵和欧拉角描述一个小角度的扰动时，考虑到小角度近似，式（2.5）可表示为3111CI 式中：x表示矩阵x的斜对称矩阵。2.1 空间坐

32、标系与转换2.1.5 姿态描述姿态描述四元数法四元数法一次转动可用一个四元数表示，即由四个元素组成的超复数：0123,qqqqq式中：q0表示转动的幅度，其他三个元素表示转动的旋转轴。四元数姿态变换定义定义为,/,1,/,2,/,3,cos/ 2sin/ 2sin/ 2sin/ 2uquu 式中， 表示旋转角； 表示旋转轴的单位矢量。,u /u 2.1 空间坐标系与转换优点优点：由于只有四个元素，四元数表示法的计算效率较高。缺点缺点：四元数运算不具有直观性，如果用它替换坐标转换矩阵， 会使得导航方程的运算难以理解，增加了出错的概率。四元数转换为坐标转换矩阵：四元数转换为坐标转换矩阵：22220

33、1231230132022221230012323102222132023100123222222qqqqqqqqqqqqCC qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq2.1 空间坐标系与转换逆变换逆变换为01,12,23,31,12,23,33,22,32,33,21001,33,13,11,32002,11,21,22,1300111122444444qCCCCCCCCCCqqqCCCCqqqCCCCqqqqq C2.1 空间坐标系与转换l GPS卫星作为高空观测目标，位置不断变化，在给出卫星运行位置同时，必须给出相应的瞬间时刻。例如当要求GPS卫星的位置误差小于1cm，则相应的

34、时刻误差应小于2.6 10-6s。l准确地测定观测站至卫星的距离，必须精密地测定信号的传播时间。若要距离误差小于1cm，则信号传播时间的测定误差应小于3 10-11s。l由于地球的自转现象，在天球坐标系中地球上点的位置是不断变化的，若要求赤道上一点的位置误差不超过1cm，则时间测定误差要小于2 10-5s。2.2 时间系统 在天文学和空间科学技术中，时间系统是精确描述天体和在天文学和空间科学技术中，时间系统是精确描述天体和卫星运行位置及其相互关系的重要基准，也是利用卫星进行定卫星运行位置及其相互关系的重要基准，也是利用卫星进行定位的重要基准。位的重要基准。 在GPS卫星定位中，时间系统的重要性

35、重要性表现在： 显然，利用GPS进行精密导航和定位，尽可能获得高精度的时间信息是至关重要的。 时间包含了“时刻”和“时间间隔”两个概念。时刻时刻是指发生某一现象的瞬间。在天文学和卫星定位中，与所获取数据对应的时刻也称历元。时间间隔时间间隔是指发生某一现象所经历的过程，是这一过程始末的时间之差。时间间隔测量称为相对时间测量，而时刻测量相应称为绝对时间测量。2.2 时间系统2.2.1 恒星时（Sidereal Time，ST）定义：以春分点为参考点，由春分点的周日视运动所确定的时 间称为恒星时恒星时。2.2 时间系统春分点连续两次经过本地子午圈的时间间隔为一个恒星日恒星日，含24个恒星小时。所以恒

36、星时在数值上等于春分点相对于本地子午圈的时角。因为恒星时是以春分点通过本地子午圈时为原点计算的，同一瞬间对不同测站的恒星时各异，所以恒星时具有地方性地方性，有时也称之为地方恒星时。 计量时间单位：恒星日、恒星小时、恒星分、恒星秒；1个恒星日=24个恒星小时=1440个恒星分=86400个恒星秒一个地方的当地恒星时与格林尼治天文台的恒星时之间的差就是这个地方的经度。因此通过观测恒星时可以确定当地的经度（假如格林尼治天文台的恒星时已知的话）或者可以确定时间（假如当地的经度已知的话）。2.2 时间系统由于岁差、章动的影响，严格地讲，地球自转轴在空间的指向是变化的，春分点在天球上的位置并不固定，所以对

37、于同一历元所相应的真北天极和平北天极，也有真春分点和平春分点之分。因此，相应的恒星时也有真恒星时真恒星时和平恒星时平恒星时之分。真恒星时：即周日视运动所观察春分点两次经过本地子午线的 时间间隔。平恒星时：由于地球自转不均匀从而导致每一个恒星日的长短 不一，为了确定一个恒星日的大小取一年的恒星日 的平均值定义为平恒星时平恒星时。北黄极北黄极南黄极南黄极黄赤交角黄赤交角点点2.2.2 平太阳时（Mean Solar Time，MT）（1）太阳时定义：以太阳作为参考点，由它的周日视运动即两次经过本地 子午线的时间间隔所确定的时间称为一个太阳日太阳日。一个太阳日=24个太阳小时=1440个太阳分=86

38、400太阳秒。（2）平太阳时定义：以平太阳作为参考点，由它的周日视运动所确定的时间 称为平太阳时平太阳时。一个平太阳日=24个平太阳小时=1440个平太阳分=86400个平太阳秒。平太阳时与日常生活中使用的时间系统是一致的，它是一种地方时。2.2 时间系统2.2.3 世界时（Universal Time，UT）（1）世界时 以平子夜为零时起算的格林尼治平太阳时称为世界时世界时。世界时与平太阳时的时间尺度相同，其差别（12小时）仅在于起算点不同。2.2 时间系统世界时有UT0，UT1，UT2之分：UT0：直接由天文观测测定的，对应瞬时极的子午圈；UT1：UT0加上极移改正后的世界时；UT2：UT

39、1加上地球自转速度的季节性变化改正后的世界时。 在这三种世界时中，UT1由于代表地球的实际旋转，所以最为重要。UT1在卫星定轨中，主要用来计算地球自转角，建立地固系与惯性系之间的联系。 由于世界时UT1有长期变慢的趋势，原子时与世界时差值越来越大。为了避免由此造成的不便。1972年开始采用一种以原子时秒长为基础，在时刻上尽量接近于世界时的一种折衷的时间系统协调世界时，简称协调时协调时。 协调时的秒长严格等于原子时的秒长，采用跳秒的方法，使协调时与世界时的时刻相差不超过1秒。跳秒一般在12月31日或6月30日末加入，具体由国际地球自转服务组织（IERS）发布。因此，UTC是均匀但不连续的时间尺度

40、。UT1-UTC或TAI-UTC用于地固系和惯性系之间的坐标转换中。（2）协调世界时（Coordinate Universal Time，UTC）2.2 时间系统2.2.4 原子时（Atomic Time，AT ）2.2 时间系统 现代物理学发现，物质内部原子的跃迁，所辐射或吸收的电磁波频率，具有极高的稳定性和复现性。所以根据这一物理现象所建立的原子时，便称为当代最理想的时间系统。 1967年定义了原子时的尺度标准：国际制秒（SI）。原子时秒长的定义定义为：位于海平面上的铯原子基态两个超精细能级，在零磁场中跃迁辐射震荡9192631770周所持续的时间，为一原子秒。原子时的原点由下式确定：AT

41、UT20.0039(s)原子时的出现，在全球各国获得迅速的应用，但不同地方的原子时之间存在着差异。为此，国际时间局对世界上精选出的100座原子钟进行相互比对，经数据处理推算出统一的原子时系统，称为国际原子时国际原子时（international atomic time, IAT）。原子时是通过原子钟来守时和授时的，该原子钟的准确度和稳定度取决于其中的核心部件振荡器振荡器，不同类型的振荡器的原子时精度不同。在全球定位系统中，采用原子时作为高精度的时间基准，它被应用于系统的各部分。2.2 时间系统2.2.5 GPS时间系统（GPS Time，GPST）2.2 时间系统 为了GPS数据处理方便，GP

42、S建立了其专用的、基于原子时的GPS时间（GPST）系统，它的秒长是根据安装在GPS地面监测站上的原子钟和卫星原子钟的观测量综合得出的。它使用IAT的秒长基准，而又避免UTC跳秒的麻烦。GPS时间原点的规定：GPS时间的零时刻与协调时的1980年1月6日（星期日）零时刻相一致。GPST的原点与国际原子时IAT相差19s，即 IAT-GPST=19（s）每颗卫星按照其本身的时钟运行，比如卫星信号的发射是在卫星时钟的驱动下进行的，而GPS的地面监控部分保证各颗GPS卫星的时钟与GPS时间的差异维持在1s之内。在卫星播发的导航电文中，除了遥测字和交接字的时间数据基于卫星时间之外，其余的数据均以GPS

43、时间为基准。随着时间的积累， GPS时间与协调时的差异将表现为秒的整数倍。它们之间整数秒的差异是随着协调时的跳秒而不断变化的。 GPS时与协调时UTC之间的关系式为： GPST=UTC+ 1S n-19（s）式中：n为调整参数，其值由国际地球自转服务组织（IERS）发布。2.2 时间系统图2.6 GPS时间系统与各时间系统2.2 时间系统2.3.1 旋转矢量旋转矢量 旋转矢量旋转矢量是一个三元素的矢量，它的方向给出了转动轴的方向，旋转矢量的幅值给出转动角度的大小。与四元数一样，旋转轴的表示在两个坐标系中是相同的。与四元数类似，旋转矢量的运算也不直观，下面仅讨论旋转矢量到坐标转换矩阵的转换。通过

44、下式可将旋转矢量转换为坐标转换矩阵：232sin1 cosCI 逆变换为2,33,23,11,31,22,11,arccos2sin2CCtr CCCCC2.3 运动学理论2.3 运动学理论2.3.2 2.3.2 角速度角速度角速度矢量 ，表示坐标系相对于坐标系的转动角速度在坐标系中的投影。如图2.8所示。若一个角速度的目标坐标系与另一个角速度的参考坐标系相同，则在同一投影轴系投影的角速度可简单相加，即图2.8 加速度旋转和矢量方向2.3 运动学理论2.3.2 2.3.2 角速度角速度角速度矢量的斜对称矩阵常表示为式中： 的行和列都是在坐标系投影。斜对称矩阵的坐标转换表示为式中：左边的坐标转换

45、矩阵转换斜对称矩阵的行，右边的坐标转换矩阵转换斜对称矩阵的列。在 条件下采用小角度近似，可证明坐标转换矩阵的时间导数为323121000 C C0t CC CC C2.3 运动学理论2.3.32.3.3笛卡尔位置笛卡尔位置如图2.9所示，坐标系的原点相对于坐标系原点的笛卡尔位置在坐标系中的投影，记为 笛卡尔位置区别于曲线位置的地方是投影轴独立于位置矢量。笛卡尔位置又称为欧几里德位置。xyzr图2.9 坐标系中表示的坐标系原点相对于坐标系原点的笛卡尔位置2.3 运动学理论2.3.32.3.3笛卡尔位置笛卡尔位置笛卡尔位置的目标坐标系与参考坐标系的转换：笛卡尔位置矢量相加：笛卡尔位置在不同投影坐标

46、系间的转换： (2.11)特殊情况：如ECI坐标系的原点与ECEF坐标系的原点重合，当地导航坐标系与载体坐标系的原点重合，有同时 (2.12)式(2.12)对相应矢量的时间导数同样成立。 rrrrr rC rrC r0ienbrribebinenrrrr2.3 运动学理论2.3.42.3.4速度速度速度速度目标坐标系原点的位置相对于参考坐标系原点和坐标轴的变化率。坐标系相对于坐标系的速度在坐标系中的投影： (2.13)如图2.10为引入速度的三种运动。目标坐标系的旋转，或是投影坐标系相对于参考坐标系原点的移动或是旋转都不会产生速度。需注意的是，除非投影坐标系相对于参考坐标系没有角运动时， 不等

47、于 对时间的导数。由式(2.11)和式(2.13)可知 vC r rC rC rC rvvr图2.10 产生相对速度的运动2.3 运动学理论r2.3 运动学理论2.3.42.3.4速度速度投影坐标系和参考坐标系间的旋转在导航中很重要，因为当地导航坐标系的原点相对于地球发生移动时，当地导航坐标系就会相对于ECEF坐标系旋转。如果参考坐标系和目标坐标系之间存在角运动，则有参考坐标系间存在转动时，速度不可加：速度在不同投影坐标系中的变换： vvC C rvvv0|Cvvv2.3 运动学理论2.3.42.3.4速度速度ECI与ECEF具有共同的坐标原点，载体坐标系与当地导航坐标系也是如此，则由于ECE

48、F坐标系相对于惯性坐标系有旋转，不管投影坐标系是坐标系e还是i系，都有速率是速度矢量的模值：0,ienbibinebenvvvvvv,ibebinenvvvvv v2.3 运动学理论2.3.5 2.3.5 加速度加速度加速度加速度一个坐标系的原点位置相对于另一个坐标系原点和坐标轴的二次时间导数。坐标系相对于坐标系的加速度在坐标系中投影： (2.14) (2.15)式(2.15)右边第一部分是离心加速度，第二部分 是哥氏加速度。加速度的可加性和不同投影坐标系之间的转换与速度类似。 aC r 22 rC rC rvC rC ra r ra vC ra2 r 2.3 运动学理论2.3.6典型空间飞行

49、器的运动规律典型空间飞行器的运动规律（1）飞机的起飞和着陆2.3 运动学理论2.3.6典型空间飞行器的运动规律典型空间飞行器的运动规律（2）导弹的运动规律以两级弹道式导弹为例，根据弹道式导弹从发射点到目标点的运动过程中的受力情况，可将其弹道分为几段： 动力飞行段（简称主动段）； 无动力飞行段（简称被动段）： a.自由飞行段（简称自由段） b.再入大气层飞行段（简称再入段）2.3 运动学理论2.3.6典型空间飞行器的运动规律典型空间飞行器的运动规律（3）卫星的运动规律卫星的无摄运动方程式中, G为引力常数，M为地球质量，ms为卫星质量，r为卫星的地心向径。卫星的无摄运动称为开普勒运动开普勒运动，

50、遵循开普勒三大定律。3sG Mmrr r2.3 运动学理论2.3.6典型空间飞行器的运动规律典型空间飞行器的运动规律（4）火箭发射和飞船再入2.4 地球表面形状和重力场模型2.4.1 2.4.1 地球表面的椭球模型地球表面的椭球模型 大部分导航系统中用到的地球表面模型是一种椭球体，称为扁的旋转球体。该参考椭球的横截面如图2.11所示。图2.11 地球表面椭球模型横截面2.4 地球表面形状和重力场模型2.4.1 2.4.1 地球表面的椭球模型地球表面的椭球模型参考椭球体的定义：参考椭球体的定义：赤道半径和椭球体的偏心率e或扁率f。椭球表面方程：椭球表面方程：参考椭球体表面上，点S的笛卡尔位置是