随机过程课件：sjgc1.2.ppt

1、随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量一、随机变量 定义定义1.2.1 设设(,F, P)是概率空间是概率空间, X()是是定义在定义在上的单值实函数上的单值实函数, 若对于任意实数若对于任意实数xR, 有有,)(:FxX 称称X()是随机变量是随机变量. . 可测空间可测空间( (,F) )上的上的可测函数可测函数. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学X是概率空间是概率空间( (, ,F, P) )上的随机变量上的随机变量, ,有有 对于对于，有唯一，有唯一X()与之对应与之对应, , XRRX x=X() 随机变量随机变

2、量X可理解为从可理解为从样本空间样本空间到实数集到实数集RX的一个映射的一个映射. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学注注由随机变量定义及由随机变量定义及代数性质代数性质, 有有 F11 kkxXxXxXF xXxXxXF, XXxXF F, ,: : )(xXxX使使PXx总有意义总有意义.随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学二、分布函数二、分布函数 定义定义1.2.2 设设X()是定义在概率空间是定义在概率空间(, F, P)上的随机变量上的随机变量, 令令R, )( xxXPxF称称F(x) 为为X 的分布函数的分布函数. .有有对对,Rba , )()(aFbFbX

3、aP 性质性质1) F(x)是单调不减函数；是单调不减函数；随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学; 1)(lim0,)(lim1,)(0)2 xFxFxFxx 3） F( (x) )是右连续函数是右连续函数, , 即对即对).()0(,xFxFRx 证证3）由于由于F(x)单调不减，根据单调原理单调不减，根据单调原理仅需证仅需证, ,对任意的对任意的xR, 有有 ).(1limxFnxFn 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学，因因11xXnxXn 1211nxXxXxX且且) ) )x x+1/2 x+1 事件列事件列 单调下降趋于单调下降趋于 Xx,由概率由概率的连续性知性

4、质的连续性知性质3成立成立.1nxX 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学三、二维随机变量三、二维随机变量 定义定义1.2.3 如果如果X和和Y是定义在同一概率空间是定义在同一概率空间(, F, P)上的两个随机变量上的两个随机变量, 称称(X,Y )为为二维二维随随机变量机变量(向量向量).如何准确理解如何准确理解“维维”的含义的含义? ?如何理解如何理解“定义在同一概率空间定义在同一概率空间” ? ?思考思考:随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 有唯一有唯一(X(),Y()与之对应与之对应. ., 对对x=X()y=Y()RRX RRY (X,Y)是概率空间是概率空间(,

5、F, P)上的随机向量上的随机向量. 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 Ex.1 随机试验随机试验E: :检查检查n个学生的健康情况，个学生的健康情况，i表示抽检到第表示抽检到第i名学生，记样本空间为名学生，记样本空间为, 2, 1n 对于样本点对于样本点 可定义可定义i 身高：身高： ,)(hiX 体重：体重：.)(wiY 身高身高X与体重与体重Y构成定义在构成定义在(, F)上的二维上的二维随机变量随机变量(X, Y). EX.2 先抛一枚均匀硬币先抛一枚均匀硬币, 再掷一颗均匀硬再掷一颗均匀硬币骰子试验的样本空间为币骰子试验的样本空间为随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技

6、大学=12=(1,2) , i i i=1, 2对对 = (1, i) , 1= H, T, i=1,2, ,6. 定义二维随机变量定义二维随机变量(X(),Y() = ), 0(), 1(ii1 =T， 2=i ；1 =H， 2=i ；随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学)(,)(:),(yYxXPyxF 定义定义1.2.4 设设(X, Y) 是定义在是定义在(,F, P)上的随上的随机向量机向量,对对2R),( yx称为称为( (X, Y)的的联合分布函数联合分布函数. .注注: 由由(X,Y)的分布可确定的分布可确定X, Y 各自的分布各自的分布, ,反反之不行之不行. .随机变

7、量及其分布随机变量及其分布电子科技大学1) F(x, y)分别对分别对x 和和y 单调不降；单调不降；2) F(x, y)对每个变元右连续；对每个变元右连续；定理定理1.2.1 若若F(x, y)是联合分布函数是联合分布函数,则有则有0,),(lim0,),(lim)3 yxFyxFyx; 1),(lim yxFxy. 0),(),(),(),(11122122 yxFyxFyxFyxF2,121,)4yyxx 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学注注1) 此定理的逆成立；此定理的逆成立；2) 可以推广到任意有限维的情形；可以推广到任意有限维的情形；3) 分布函数与概率空间分布函数与概

8、率空间(,(,F, P) )的概率的概率 一一对应一一对应. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学四、条件分布四、条件分布定义定义1.2.5 设设(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x, y)，记，记)0(,),(),(),(),(lim xFxFyxFyxFo()Y XFy xP Yy Xx 若极限存在，称为在若极限存在，称为在X=x 的的条件下条件下, ,随机变随机变量量Y的的条件分布函数条件分布函数. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学需满足对需满足对 0, 注注 离散型离散型随机变量随机变量( (X,Y), 在在y = yk 条件下条件下X的条件的条件分

9、布函数为分布函数为P)(kkYXyyxXyxF P,PkxxjiyYyYxXi 0)()(),()( xXxPxFxFxFxFXX，随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 1,2,P,P iyYyYxXyYxXPkkiki称为称为在在y = yk 条件下条件下X的的条件分布律条件分布律. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 PX= i，Y=j= p2(1p) j2 , ( 1ij2,3, ) 解解12ij 例例3. 某射手进行射击，击中目标两次则停止某射手进行射击，击中目标两次则停止射击射击, 每次的命中率为每次的命中率为p (0p1), 令令X 表示表示第一第一次命中目标次

10、命中目标时的射击次数，令时的射击次数，令Y表示表示第二次命中第二次命中目标目标时的射击次数，求条件分布律时的射击次数，求条件分布律. 1, 2 , 1, jijYiXP随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学当当 j2, 3, 时，条件分布律存在时，条件分布律存在 112211)1(,jijjippjYiXPjYP), 3 , 2(,)1()1(22 jppjj/ ,jYPjYiXPjYiXP 2222)1()1/()1( jjppjpp)1, 2 , 1(,11 jij随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学连续型连续型(X, Y), ,有有)(d ),(P)(xfvvxfxXyYx

11、yFXyXY )(),()()(xfyxfxyFxyfXXYXY 称称为在为在X=x条件条件下下, , 随机变量随机变量Y 的的条件密度函数条件密度函数. . 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学例例4 设随机变量设随机变量(X, Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布试求试求 fX|Y(x|y) 和和fY|X( y|x) .解：解： .),(0,),(,21),(DyxDyxyxf120, 10:),( yxxyxD dyyxfxfX),()( ., 0; 10, 121)1 ( 22其它其它xxxdy1120 x =12 y02 yxf(x,y)的非的非零区域零区域 随机变量及其分

12、布随机变量及其分布电子科技大学 dxyxfyfY),()( . , 0; 20),21 (2121; 02),21 (212121012其它其它yydxyydxyy . 0,;2|),2|1(21其它其它yy1120 x =12 y02 yxf(x,y)的非的非零区域零区域 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学当当0 x1 时时)(),()(xfyxfxyfXXY . 0);1 ( 22,21其它其它，xyx1120 x =12 y02 yxf(x,y)的非的非零区域零区域 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学当当-2y0时时)(),()(yfyxfyxfYYX.; 12,21

13、1其它 ，0 xyy1120 x =12 y02 yxf(x,y)的非的非零区域零区域 当当0 y 2 时时., 0;210 ,211)(),()(其它 yxyyfyxfyxfYYX随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 Ex.4已知已知X , ,给定给定X=x 的条件的条件下下,Y的条件分布为的条件分布为 , ,求求Y的分布及给的分布及给定定Y= y 的条件下的条件下X 的条件分布的条件分布. .),(2 N),(2 xN解解 已知已知,21)(22)(2RxexfxX R.,21)(222)( yexyfxyXY随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学22222),(2)(2)(

14、,21Ryxxyxe )()(),(xyfxfyxfXYX dxexyx22222)(2)(21 .),()(dxyxfyfY随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学Ryey ,)(21)(2)(22222五、随机向量的独立性五、随机向量的独立性)1(,yYPxXPyYxXP 2),(Ryx 定义定义1.2.6 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量, 对对 成立成立, ,称称X与与Y相互独立相互独立. .随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学 本质上是事件的独立本质上是事件的独立, ,(X,Y)定义在定义在(,(,F, P) )上上, ,对对 随机事件随机事件Xx与与Yy相相

15、互独立互独立. .,),(2Ryx 注注)2(),()()()1(yxFyFxFYX 式式对所有对所有(x, y)R2成立成立. . 定义定义1.2.6 (X1, X2 , Xn)是是n 维随机变量维随机变量,若对若对任意（任意（x1, x2 , xn） , 有有nR 随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学. )()()(),(212,121nXXXnxFxFxFxxxFn 定理定理1.2.2 若随机变量若随机变量X1, X2 , Xn相互独立，相互独立，则其中任意则其中任意k( (2kn) )个随机变量个随机变量 也相互独立也相互独立. .kiiiXXX,21成立成立, ,称随机向量称随机向量X1, X2 , Xn相互独立相互独立. .),(,12,2,11,1121knkknnXXXXXX定理定理1.2.3 设有设有n1+n2+nk维随机变量维随机变量随机变量及其分布随机变量及其分布电子科技大学),1,2,(),(,1kiXXYiniiii 若若i 是是ni 元实变实值连续函数元实变实值连续函数, ,令令有有 1) Y1,Y2,Yk 必为同一概率空间的随机变量必为同一概率空间的随机变量; ;相互独立相互独立, ,则则Y1,Y2,Yk也相互独立也相互独立. .12111,2,12,1,2),knnkk nXXXXXX若若()()