矩阵理论课件：1.6 初等矩阵及酉矩阵.ppt

1、返回 1.6 初等矩阵及酉矩阵初等矩阵及酉矩阵()=nHu,vC,C ,E u,v,Euv. 设设则则称称 为为初初等等矩矩阵阵定义定义 1 100u,v,. 1 1. .初初等等矩矩阵阵的的特特征征向向量量( () )一、初等矩阵的一般形式一、初等矩阵的一般形式1111nnuv,u ,uv,u,u ,uE( u,v,)n ( (2 2) ) 设设是是的的一一组组基基 则则是是的的 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量. .111nuv ,u ,uv,E(u,v,)n ( (1 1) ) 设设是是的的一一组组基基 它它们们也也是是的的个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量. .返回3()

2、=1H.det E u,v,vu 1 11 1HE u,v, , ,v u 2.2.初等矩阵的特征值初等矩阵的特征值( ()=( ()=nHa,bCu,v,abE( u,v,)ab,(u)v a 5 5. .非非零零向向量量, ,存存在在使使得得. .1(10)1HHE(u,v, )E(u,v,),v uv u 4 4. . 返回()()(1)TijijijijijEEeeeeE ee ,ee , 6.6.初等变换矩阵初等变换矩阵( )()TijjijiEkEke eE e ,e , k( )(1)(1)TiiiiiE kEk e eE e ,e ,k返回1,1,11( )( , ,1),11

3、(0,0,)(0,0,1,0,0)iiiiiin iTiiin iTiL lE l ellllle 其中,(1, ), ( , ,1)0(1, ).k ik iiik ii ialkin E l eAAakina 二、初等下三角矩阵二、初等下三角矩阵返回( )(2)2(1)HHH uE u,u;Euu, u u Householder三.初等酉阵(变换)三.初等酉阵(变换)1(1) ( )( )( )HH uH uH u ()()(2)H u aruaru, au ,rC 镜象变换镜象变换返回(3)Householder变化的特性变化的特性 Householder变换不仅适用于常数向量，也适用

4、于变换不仅适用于常数向量，也适用于 随机向量随机向量. 它能够保持随机向量的协方差（即二阶统它能够保持随机向量的协方差（即二阶统 计计量不变）量不变）. Householder变换的范数（或协方差）不变性是几变换的范数（或协方差）不变性是几乎所有乎所有Householder变换的关键变换的关键. Householder变换最典型的应用是在数值算法中构变换最典型的应用是在数值算法中构造正交基，使得数值问题变成一种容易求解的形式造正交基，使得数值问题变成一种容易求解的形式.22( ) ,( ) )( , )( )( ) ,( ) )( , )( )H u x H u yx yH u xH u x H u xx xxH u xx