概率论与数理统计课件：xiech4-4.3.ppt

1、 4.3 矩、矩、协方差和相关系协方差和相关系数数问题问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. ( )( )EXE XYE Y数反映了随机变量反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系之间的某种关系几个重要的 r.v. 函数的数学期望)(kXE X 的 k 阶原点矩)|(|kXE X 的 k 阶绝对原点矩)(kXEXE X 的 k 阶中心矩)()(2XDXEXE X 的 方差矩)(lkYXE X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩lkYEYXEXE)()( X ,Y

2、 的 k + l 阶混合中心矩)(XYE X ,Y 的 二阶原点矩)()(YEYXEXE X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差XYYDXDYEYXEXE)()()()( X ,Y 的相关系数 称( )( )E XE XY E Y为 X ,Y 的协方差. 记为 cov( , )( )( )X YE XE XYE Y称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X , Y ）的协方差矩阵可以证明可以证明 协方差矩阵协方差矩阵 为为 半正定矩阵半正定矩阵协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义定义定义若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称)()(),cov()()()()

3、(YDXDYXYDXDYEYXEXE为X ,Y 的 相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY事实上，),cov(YXXY 若, 0XY 称 X ,Y 不相关.无量纲 的量 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，11cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y p若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型，cov( , )( )( ) ( , )X Yx E Xy EY f x y dxdy 协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q )()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P

4、 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 时，当且仅当0( )()1P YE Yt XE X时, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式证证 令2( )( )()g tEYE Yt XE X)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数 t ,0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(| ),cov(|2YDXDYX等号成立0)(tg有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)()(20XEXtYEYE0)(0tg即显然0)()(0XEXtYEYE 0)(

5、)(0XEXtYEYD1 0)()(0XEXtYEYP10)()(0XEXtYEYP即1)()(0XEXtYEYP即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当1)(0XtYP时, 等式成立.相关系数的性质q q 1|XY1|XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1XYP. )(/ )(, )(/ )(YDEYYYXDEXXX1XY0),cov(YX1XY0),cov(YX1XYP1

6、XYP如例1中 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1./ )(,/ )(pqpYYpqpXX1)(YXP1XY已求得 , 则必有其中q 0XYX , Y 不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX ,Y 相互独立X , Y 不相关若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，X , Y 相互独立X , Y 不相关例例4 4 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解解, 4)()(, 1)()(YDXDYEXE1/2, cov( , )2XYX Y6),c

7、ov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYDXDYXDZD3/ 123/2.XZ 若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的平均平方误差为2)(baXYE当取）（ XEXDYDYEXEaYEbXY)()()()()(平均平方误差最小.,)(),cov(XDYXa 矩在线性回归中 的应用附录附录附例附例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV 解解)()()(),cov(VEUEUVEVU)()()()()()(2222Y

8、bEXaEYbEXaEYEbXEa由2)()(, 0)()(YDXDYEXE2222)()(YEXE222)(),cov(baVU而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV a,b 取何值时, U与V 不相关？此时, U与V 是否独立？继续继续讨论讨论但 UN (0, 2a2 2), VN (0, 2a2 2 ), )()(YXaVYXaU)(21)(21VUaYVUaX)(21),(21|21212121|),(vuavuafaaaavufXYUV若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关. )(21)(2121),(2vuafvuafavufYXUV222222222121avuavuea222242)2(21avuea),0;2, 0;2, 0(),(2222aaNVU且U ,V 相互独立