张治国 线性系统理论2线性系统的数学描述.ppt

1、2.1线性系统的传递函数描述2.1.1单变量情形的简单回顾( )(1)110( )(1)110111011101110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0:nnnnmmmmmmmnnnnnnytayta y ta y tb utbutb u tb u tb sbsb sbY sG sU ssasa sasasa sa 特特征征方方程程 121211111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ):()rmrrrrmmmmrruuuyyyy sgs u

2、 sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u s 多多输输入入多多输输出出线线性性定定常常系系统统输输入入输输出出系系统统满满足足叠叠加加原原理理 线线性性11111 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )lim( )lim( ):( )( )rmmmrssy sgsgsy sG s u sysgsgsG sG sG sG s 其其向向量量方方程程的的形形式式为为零零阵阵或或 非非零零常常数数矩矩 阵阵传传递递函函数数矩矩阵阵为为严严格格真真的的或或真真的的. .当当且且仅仅当当为为真真的的或或严严格格真真的的,

3、,它它才才是是物物理理上上可可以以 实实现现的的. .2.2.12.2.1状态与状态空间状态与状态空间定义定义2.2.1 完全地表征系统时间域行为的一完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组称为动力学系统的状态。组个最小内部变量组称为动力学系统的状态。组成这个变量组的变量成这个变量组的变量 10( )( ),( )nxtx tttxt 12( ),( ),( )nx tx txt称为系统的状态变量，其中称为系统的状态变量，其中 00,ttt 为初始时刻。由状态变量构成的列向量为初始时刻。由状态变量构成的列向量 称为系统的状态向量，简称为状态。状态向量称为系统的状态向量，简称为状态。状态向量

4、取值的向量空间称为状态空间。取值的向量空间称为状态空间。命题命题2.2.12.2.1 一个动态系统的任意选取的一个动态系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系的关系。1.1.状态变量组可以完全表征系统行为状态变量组可以完全表征系统行为; ;2.2.状态变量组的最小性体现状态变量组的最小性体现; ;3.3.状态变量组在数学上的特征体现状态变量组在数学上的特征体现; ;4.4.状态变量组包含了系统的物理特征状态变量组包含了系统的物理特征. .11110110111(,; )(,; )( , , ),( , , ),( , , )nrnnnrnnxf

5、xxuu tttxfxxuu txf x u tttxufx u txuf x u txu (2.2.6) (2.2.6) 动动态态系系统统一一阶阶非非线线性性时时变变微微分分方方程程组组: :简简化化为为向向量量方方程程形形式式: :其其中中 ( (: :2.2.7)2.2.7)( , , )nfx u t (2.2.8) (2.2.8)111111111(,; )(,; )( , , )( , , ), ( , , )( ,:, )nrmmnrmnmygxxuu tygxxuu tyg x u tyugx u tyug x u tyugx u t 连连续续动动力力学学系系统统的的输输出出方

6、方程程向向量量方方程程的的形形式式其其中中 (2.2.9) (2.2.9) (2.2.10) (2.2.10) (2.2.11) (2.2.11)0( , , ),( , , )xf x u tttyg x u t 系系统统的的状状态态空空间间描描述述由由状状态态方方程程和和输输出出方方程程组组成成: : 00( )( ) ,:( )( )( ),( ),( ),( ):,:,xA t xB t u ttyC t xD t uA tB t C tD txAxu ttyxu T TT T都都是是与与时时间间无无关关的的常常数数矩矩阵阵线线性性系系 L (2.2.12) L (2.2.12)统统的

7、的状状态态空空间间描描述述的的一一般般形形 L L 式式 那那么么 系系统统称称为为定定 (2.2 (2.2常常的的果果: :如如.13).13)定义定义2.2.22.2.2 对于系统对于系统nrank sIABn的的 为系统的输入解耦零点；为系统的输入解耦零点； 称满足称满足 nsIAranknC 的的 为系统的输出解耦零点；为系统的输出解耦零点； 称满足称满足称满足称满足 min, nsIABranknr mCD 的的 为系统的传输零点。为系统的传输零点。sss0,:xAx u ttyx u T TL L ( (2 2. .2 2. .1 13 3) )2Ru，输出变量取为电阻的端电压，输

8、出变量取为电阻的端电压 。例例2.2.1 考查图考查图2.2.2所示的简单电路，电路各所示的简单电路，电路各组成元件的参数值未已知，输入变量取为电压源组成元件的参数值未已知，输入变量取为电压源( )e t 和流经电感的电流和流经电感的电流iL作为电路的作为电路的 状态变量。状态变量。第二步：列出原始电路方程第二步：列出原始电路方程 运用电路定律，可列出图中左、右两个回路的运用电路定律，可列出图中左、右两个回路的 电路方程为电路方程为第一步：确定状态变量第一步：确定状态变量 根据电路理论可知，此电路最多有根据电路理论可知，此电路最多有2个线性无关个线性无关 的变量；因此，可选取独立储能元件的变量

9、，即的变量；因此，可选取独立储能元件的变量，即 电容端电压电容端电压 cu12()( )LLLCLCCdii R iiLe tdtdiuR iLdt ，所以可将上述方程改写为只，所以可将上述方程改写为只包含未知变量包含未知变量和和Li CCiCdudtcuLi11( ) CLLdudiR CLR ie tdtdt考虑到规定考虑到规定为状态变量，并有为状态变量，并有和和的方程组的方程组和和cu2 CLCdudiR CLudtdt112121211( )()()() CCLduRuie tdtRR CRR CRR CCdudtLdidt1122121212( )()()() LCLdiRR RRu

10、ie tdtL RRL RRL RR第三步：导出状态方程第三步：导出状态方程 首先，以首先，以和和 为待定变量为待定变量求解上述联立方程，得到求解上述联立方程，得到进而，将其表为向量方程的形式，就导出了此电进而，将其表为向量方程的形式，就导出了此电路的状态方程路的状态方程1121212211212121211()()()( )()()() CCLLRuRR CuRR CRR Ce tRRR RiiL RRL RRL RR 2122222121212( ) CRCCLduRR RRuR iR Cuie tdtRRRRRR21222121212( ) CRLuRR RRue tRRRRRRi第四步

11、：导出输出方程第四步：导出输出方程 根据电路的关系式，有根据电路的关系式，有 将其改写后即可得到此电路的输出方程将其改写后即可得到此电路的输出方程2.3.1 2.3.1 两种描述形式的比较两种描述形式的比较1.1.使用的数学方法不同使用的数学方法不同; ;2.2.对于复杂系统对于复杂系统: :用系统辨识方法容易用系统辨识方法容易系统的传递函数系统的传递函数, ,而辨识系统完整的状而辨识系统完整的状态方程各测量方程有时做不到态方程各测量方程有时做不到; ;3.3.传递函数是经典控制理论实现分析传递函数是经典控制理论实现分析和综合的基础和综合的基础, ,状态空间方法是现代控状态空间方法是现代控制理

12、论中系统设计的基础。制理论中系统设计的基础。传递函数仅描述输入传递函数仅描述输入- -输出关系（外部输出关系（外部特性）。特性）。 ，由点，由点A到点到点B之间平行板电容的两端电压为之间平行板电容的两端电压为例例2.3.1 对于图对于图2.3.1所示的网络系统，设系统的所示的网络系统，设系统的输入电流为输入电流为( )I t( )y t1( )x t2( )x t3( )x t1( )( ) y tx t，输出电压为，输出电压为 。由点由点C到到D之间平行板电容的两端电压为之间平行板电容的两端电压为流经电阻电感的电流为流经电阻电感的电流为。显然，。显然，。由。由Kirchhoff电流定律得出电

13、流定律得出12( )( )( )x tx tI t 33( )( )( )x tx tI t 122( )( )( )x tx tx t 再由再由Kirchhoff电压定律得电压定律得112233( )( )0101( )110( )0( )0011( )( ) x tx tx tx tI tx tx t 123( )( )100( )( ) x ty tx tx t2(1)(1)0sss于是得到系统得状态方程和量测方程为于是得到系统得状态方程和量测方程为由此看出，它是一个三阶系统。这个系统的特征由此看出，它是一个三阶系统。这个系统的特征方程为方程为另一方面，我们容易求得该系统得传递函数为另一

14、方面，我们容易求得该系统得传递函数为21( )1 sG sss它所代表得是一个稳定得二阶系统。它所代表得是一个稳定得二阶系统。( )(1)110( )(1)110( )( )( )( )( )( )( )(:)nnnnmmmytayta y ta y tb utbutb u tb u txAxbuycxdu 对对于于单单输输入入- -单单输输出出系系统统, ,其其单单变变量量微微分分方方程程: :线线性性定定常常系系统统的的状状态态空空间间描描述述 00110001100010100101.1000100:102.1nmnnnnnxxumnaaaybbxxxumnaaaybb abb axb

15、u 方方法法 (3)(2)(1)(1)16194640160720yyyyuu0110010010100 nmxxuaaaybbx 例例2.3.2 给定系统得输入给定系统得输入输出描述为输出描述为则利用式则利用式即可定出相应得一个状态空间描述为即可定出相应得一个状态空间描述为 123123010000106401941617201600 xxxuxxyxx 00110000110100101.01:0001012.100nnnnxxumaaabyxxxumnaaayxb u 法法 方方 01110221120011221100:nnnnnnnnnnbbabaabaaaa 其其中中(3)(2)(

16、1)(3)(1)161946404160720yyyyuuu01100110100101()() nnnnnnxxuaaaybb abb axb u 例例2.3.3 给定系统得输入给定系统得输入输出描述为输出描述为则利用式则利用式即可定出其相应得一个状态空间描述为即可定出其相应得一个状态空间描述为 112233123010000106401941611840616644 xxxxuxxxyxux (3)(2)(1)(3)(1)161946404160720yyyyuuu01110221120011221100 nnnnnnnnnnnbbabaabaaaa 例例2.3.4 给定系统得输入给定系统

17、得输入输出描述为输出描述为先利用式先利用式定出定出0312202121103022111004644048 bbabaabaaa 10110101100 nnnxxuaaayxb u 010640014086401941640481004 xxuyxu 从而由式从而由式即可导出相应得状态空间描述为即可导出相应得状态空间描述为定理定理2.3.12.3.1 线性定常系统线性定常系统 00, (0), xAxBu xx ttyCxDu 的传递函数矩阵为的传递函数矩阵为 1( )() G sC sIABD0 D( )G s0 D( )G s并且，当并且，当时时为真的，当为真的，当时时为严格真的，且有为

18、严格真的，且有 lim( ) sG sDL xAxBuyCxDu L.xAxBuyCxDu , L LLL,11, APAPBPB CCPDD, L L定义定义2.4.1 已知两个同维的由式已知两个同维的由式：和式和式：表示的线性定常系统表示的线性定常系统如果存在一个适当阶的定常可逆矩阵如果存在一个适当阶的定常可逆矩阵P，使得，使得的系统参数矩阵满足式的系统参数矩阵满足式则称系统为代数等价的。则称系统为代数等价的。2.4.2 2.4.2 代数等价系统的公有属性代数等价系统的公有属性命题命题2.4.22.4.2 相互代数等价的线性定常系相互代数等价的线性定常系统具有相同的特征多项式，特征方程和极

19、统具有相同的特征多项式，特征方程和极点。点。命题命题2.4.32.4.3 相互代数等价的线性定常系相互代数等价的线性定常系统具有相同的输入解耦零点，输出解耦零统具有相同的输入解耦零点，输出解耦零点和传输零点。点和传输零点。命题命题2.4.42.4.4 相互代数等价的线性定常系相互代数等价的线性定常系统具有相同的传递函数统具有相同的传递函数 2.5.1 2.5.1 子系统并联的情形子系统并联的情形11111111(:)(),1:,( )NNNNNNNiiiiixAxBxAxBxyCCDDuxG sC sIABND iNG sG 个个子子系系统统并并联联构构成成的的组组合合系系统统其其状状态态空空

20、间间描描述述子子系系统统的的传传递递函函数数矩矩阵阵组组合合系系统统的的传传递递函函数数阵阵 矩矩 )1Nsi 111122122211212212110()(:)( )( )( )NNxAxBuxB CAxB DxyD CCD D uxG sGsG sNGs 两两个个子子系系统统串串联联状状态态空空间间描描述述(N(N个个子子系系统统串串联联形形式式相相当当复复杂杂, ,从从略略) )个个串串联联组组合合系系统统的的传传递递函函数数 矩矩阵阵为为 111211221221121121112100( )( )( )( ):( )( )( )( )xAB CxBuxB CAxxyCxG sIG s G sG sG sG s IG s G s 反反馈馈系系统统状状态态空空间间描描述述的的标标准准形形式式反反馈馈系系统统的的传传递递函函数数矩矩阵阵